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| Hier bist Du genau richtig, wenn Du etwas über Integrale lernen willst. Los geht's! <br>
| | Im folgenden Lernpfad soll eine Einführung in die Integralrechnung mit den wichtigsten Grundlagen für einen Mathematik-Grundkurs der Jahrgangsstufe 12 gegeben werden. <br> |
| Im folgenden Applet wird sowohl der Wert des Integrals als auch der Summe der einzelnen Flächeninhalte angezeigt. Du kannst mittels Schiebereglern und Kontrollkästchen einzelne Werte ändern bzw. anzeigen lassen oder ausblenden. <br> | | Der Lernpfad wurde im Rahmen der schriftlichen Hausarbeit zur zweiten Staatsprüfung für das Lehramt an Gymnasien und Gesamtschulen von Daniel Jacobs erstellt. <br> |
| Wenn Du die beiden Schieberegler mit gedrückter linker Maustaste betätigst, werden die untere (a in orange) und die obere Grenze (b in grün) für das Integral verschoben. Zwischen diesen beiden Grenzen wird dann der Flächeninhalt der Rechtecke mittels Summenbildung bestimmt. Angezeigt wird dieser, wenn Du das Kontrollkästchen "Untersumme anzeigen" anklickst. <br>
| | So, jetzt geht's aber los! Zunächst etwas zum Aufwärmen, Fokussieren und Eingewöhnen: <br> <br> |
| Der Wert des Integrals wird im oberen Bereich des Applets angezeigt. Dort steht so etwas wie: <br> <br> | | {{Aufgabe-M|}} |
| <center><math>\int_{\mathrm{untere Grenze}}^{\mathrm{obere Grenze}}f(x) \mathrm{d}x</math> </center> <br> <br>
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| Probiere es einfach aus, und Du wirst schnell verstehen, was damit gemeint ist! <br>
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| <center><ggb_applet height="400" width="800" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Integral1.ggb" /></center> <br>
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| Wenn Du die Untersumme anzeigen lässt, wird ein zusätzlicher Schieberegler angezeigt, mit dem Du die Anzahl der einzelnen Rechtecke für die Untersumme anzeigen und verändern kannst. Probiere es einfach aus und schaue, wie sich die Summe U im Vergleich zum Wert des Integrals verändert! Was kannst Du beobachten? <br>
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| {{Lösung versteckt|{{Merke-Mathe|Der Wert von n bezeichnet die Anzahl der Untersummen-Rechtecke. Je größer dieser Wert wird, desto besser stimmt die Untersumme mit dem Integral überein, d.h. je mehr Rechtecke man benutzt, desto näher kommt man dem Wert des Integrals, also des Flächeninhalts unter dem Graphen von f(x).}}}}<br>
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| Im zweiten Applet kannst Du (wieder mittels Schieberegler) einen konstanten Faktor c unter dem Integral (also vor dem Funktionsterm von f(x) verändern und an den angezeigten Werten die Auswirkungen beobachten. <br>
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| <center> <ggb_applet height="400" width="800" showMenuBar="false" showResetIcon="true" filename="Integral2.ggb" /> </center> <br>
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| Was kannst Du erkennen, wenn Du den Wert von c verdoppelst, verdreifachst, etc. ? <br>
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| {{Lösung versteckt|{{Merke-Mathe|Wenn der Wert von c verdoppelt, verdreifacht, etc. wird, dann wird der Wert des Integrals ebenfalls verdoppelt, verdreifacht, etc. Also kann man den konstanten Faktor einfach vor das Integral schreiben: <br> | |
| <center><math>\int_a^b c \cdot f(x) \ \mathrm{d}x = c \cdot \int_a^b f(x) \ \mathrm{d}x</math></center>
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| }}}}
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