Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung/Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung/Wahrscheinlichkeit

Kommen wir nun zum wohl wichtigsten Begriff der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Die Wahrscheinlichkeit !

Definition

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Unter Wahrscheinlichkeit versteht man die Chance, dass bei einem Zufallsexperiment ein bestimmtes Ereignis auftritt. Wahrscheinlichkeiten werden Werte zwischen 0 und 1 zugeordnet. Dabei entspricht die 0, dass das Ereignis mit Sicherheit nicht eintreten kann. Bei der Wahrscheinlichkeit 1 trifft das Ereignis mit Sicherheit ein. Schreibweise: P(A) = 0,5 (sprich: Die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A ist 0,5)

Wahrscheinlichkeitsmaß -> Prozent

Wie bestimmt man Wahrscheinlichkeiten?

Um Wahrscheinlichkeiten bei einem Zufallsexperiment zu bestimmen, gibt es verschiedene Strategien. Zwei werdet ihr in diesem Lernpfad kennenlernen.

Die erste Strategie habt ihr im Einstiegsbeispiel schon unbewusst kennengerlernt: Wenn die Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Ereignisse nicht bekannt oder gegeben sind, führt man das Zufallsexperiment mit vielen Wiederholungen durch und man notiert die relativen Häufigkeiten der Ergebnisse (siehe ... ). Bei genügend großer Anzahl von Wiederholungen des Zufallsexperiments nähern sich die relativen Häufigkeiten der Ergebnisse den theoretischen Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnissen an. Dieser Zusammenhang wird mit dem Gesetz der großen Zahlen bezeichnet.

BILD mit Zusammenhang

Eine Frage bleibt euch dabei sicherlich:

Wie oft muss man das Zufallsexperiment denn nun wiederholen, um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten?

Dies kann man nicht eindeutig beantworten. Das Gesetzt der großen Zahlen besagt nur, dass die realtiven Häufigkeiten bei ein größerer Anzahl von Wiederholungen näher an den theoretischen Wahrscheinlichkeiten liegen.

Oder anders gesagt: Je öfter wir das Zufallsexperiment wiederholen, desto genauer nähern sich die realtiven Häufigkeiten den theoretischen Wahrscheinlichkeiten an.

ACHTUNG: Das Gesetz der großen Zahlen sagt nichts über ... aus. Das heißt ....

Die andere Strategie ist auf Laplace-Experimenten anwendbar. Was das sind erfahrt ihr auf der nächsten Seite!

Beispiel

Siehe Didaktik der Stochastik I von Krüger, Sill und Sikora ab S.81 für Beispiele

Aufgaben

Aufgabe 1: Schwarzfahrer in der Bahn

Kontrolleure in der Bahn haben in der letzten Zeit 1235 Fahrgäste auf einen gültigen Fahrschein kontrolliert. Darunter waren 87 Schwarzfahrer.

• a) Wie wahrscheinlich ist, dass ein Kontrolleur einen Schwarzfahrer bei der nächsten Kontrolle erwischt?
• b) Mit wieviel Verlust muss der Verkehrsbetrieb jährlich rechnen, wenn er monatlich 45.000 Fahrgäste befördert und ein Fahrschein 2,70€ kostet?

Aufgabe 2: Würfelexperiment

Ihr seht hier Würfelnetze dreier verschiedener Würfel:

• 1)
• 2)
• 3)

Johann hat mit einem der Würfel 125 Würfe gemacht und die Augenzahl bei jedem Wurf notiert. Hier ist seine Tabelle mit den Häufigkeiten:

Augenzahl	Eins	Zwei	Drei
Häufigkeit	??	??	??

Mit welchem Würfel hat Johann wohl geworfen? Begründe deine Antwort!

Aufgabe 3: Musik-Dienste

Im Jahr 2017 gibt es 136,3 Mio. zahlende Nutzer von Musik-Streamingdiensten (Quelle zur Lösung: Statista https://de.statista.com/infografik/10431/weltweite-marktanteile-musik-streaming-anbieter/) Folgende Nutzerzahlen wurden dabei ermittelt:

Spotify	Apple Music	Amazon Music	Andere
54,52 Mio	25,897 Mio	16,356 Mio	39,527 Mio

Auf der Straße wird zufällig ein zahlender Nutzer von einem Streamindienst getroffen. Wie wahrscheinlich ist es...

• a) dass er Kunde von Amazon Music ist?
• b) dass er nicht Kunde von Apple Music ist?
• c) dass er Kunde von Spotify oder einem anderen (Andere) Dienst ist?