Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung/Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung/Wahrscheinlichkeit

Kommen wir nun zum wohl wichtigsten Begriff der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Die Wahrscheinlichkeit !

Was sind Wahrscheinlichkeiten?

Hervorhebung2

Zur Veranschaulichung einer Wahrscheinlichkeit kann man sich folgenden Maßstab vorstellen:

Hier sind einige Beispiele von Ereignissen, die auf dem Maßstab eingeordnet sind:

Multipliziert man die ausgerechnete Wahrscheinlichkeit mit dem Faktor 100, so erhält man das Prozentmaß der Wahrscheinlichkeit:

Eine Wahrscheinlichkeit von 0,12 entspricht also eine Wahrscheinlichkeit von 0,12*100 = 12%.

Wie bestimmt man Wahrscheinlichkeiten?

Um Wahrscheinlichkeiten bei einem Zufallsexperiment zu bestimmen, gibt es verschiedene Strategien. Zwei werdet ihr in diesem Lernpfad kennenlernen.

Die erste Strategie habt ihr im Einstiegsbeispiel schon mithilfe der Applets kennengerlernt: Wenn die Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Ereignisse nicht bekannt oder gegeben sind, wiederholt ihr das Zufallsexperiment häufig, um die Wahrscheinlichkeit schätzen zu können.

Bei genügend großer Anzahl von Wiederholungen des Zufallsexperiments nähern sich die relativen Häufigkeiten der Ereignisse den theoretischen Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse an. Dieser Zusammenhang wird mit dem Gesetz der großen Zahlen bezeichnet.

Eine Frage bleibt euch dabei sicherlich:

Wie oft muss man das Zufallsexperiment wiederholen, um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten?

Dies kann man nicht eindeutig beantworten. Das Gesetz der großen Zahlen besagt nur, dass die realtiven Häufigkeiten bei ein größerer Anzahl von Wiederholungen näher an den theoretischen Wahrscheinlichkeiten liegen.

Oder anders gesagt: Je öfter wir das Zufallsexperiment wiederholen, desto mehr nähern sich die realtiven Häufigkeiten den theoretischen Wahrscheinlichkeiten an.

ACHTUNG

Das Gesetz der großen Zahlen sagt nichts darüber aus, wie die absoluten Verteilungen einer Zufallsversuchsreihe aussehen muss. Das heißt, dass wenn man relativ gesehen in einem Spiel sehr wenig 6en gewürfelt hat, nicht automatisch in den nächsten Runden viele 6en fallen müssen, um den Rückstand auszugleichen. 

Ein Rückstand eines Ergebnisses wird also in zukünftigen Durchführungen eines Zufallsexperiments nicht ausgeglichen, dies ist leider ein weitverbreiteter Irrtum!

Die andere Strategie ist auf Laplace-Experimenten anwendbar. Was das sind erfahrt ihr auf der nächsten Seite !

Beispiel für das Abschätzen von Wahrscheinlichkeiten

Ein Achter-Legostein wird wiefolgt mit Zahlen von 1 bis 6 beschriftet, damit er als Würfel dienen kann:

Die Augenzahl 2 ist auf der Unterseite des Legosteins.

Da die Form und die Flächen des Lego-Würfels sehr unregelmäßig sind, kann man die Wahrscheinlichkeit der Augenzahlen am besten durch die häufige Durchführung des Zufallsexperiments bestimmen.

Nun wurde 2000-mal der Legowürfel geworfen und es kam folgendes Ergebnis raus:

Augenzahl	Eins	Zwei	Drei	Vier	Fünf	Sechs
abs. Häufigkeit	24	980	18	176	160	642
rel. Häufigkeit	0,012	0,49	0,009	0,088	0,08	0,321

Durch das Gesetz der großen Zahlen können wir nun annehmen, dass die Wahrscheinlicheiten in etwa mit den relativen Häufigkeiten übereinstimmen. Das heißt:

Die Augenzahl 1 fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,012, also etwa 1,2%.

Die Augenzahl 2 fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,49, also etwa 49%.

Die Augenzahl 3 fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,009, also etwa 0,9%.

Die Augenzahl 4 fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,088, also etwa 8,8%.

Die Augenzahl 5 fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,08, also etwa 8%.

Die Augenzahl 6 fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,321, also etwa 32,1%.

Aufgaben

1. Abschätzen von Wahrscheinlichkeiten

Ihr führt folgende Zufallsexperimente 100-mal durch:

a) Ihr werft einen normalen Würfel und betrachtet die Augenzahl als Ergebnis.

Wie oft schätzt ihr, dass die Augenzahl 4 fällt? Begründe deine Antwort und tausche dich mit deinem Übungspartner aus!

b) Ihr dreht folgendes Glücksrad und betrachtet die Farbe auf dem es stehen bleibt:

Wie oft kommt das Glücksrad auf die Farbe rot zum stehen? Begründe deine Antwort und tausche dich mit deinem Übunsgpartner aus!

Lösung für a):

Man kann schätzen, dass die 4 etwa 17-mal vorkommt. (Der genaue Wert schwankt natürlich um die 17 herum)

Warum? : Ein Würfel hat 6 verschiedene Augenzahlen und alle sollten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit fallen, da der Würfel regelmäßig ist und alle Flächen gleich groß sind. Bei 100 Versuchen sollte also jede Augenzahl ungefähr gleich viel fallen: $\frac{100}{6} = 16,667$, also ca. etwa 17-mal.

Lösung für b):

Man kann schätzen, dass die Frabe rot etwa 25-mal vorkommt.

Warum? : Das Glücksrad hat 8 verschiedene Sektoren, davon sind 2 rot. Jeder Sektor wird mit gleicher Wahrscheinlichkeit vorkommen, da sie gleich groß sind: $\frac{100}{8}= 12,5$, also sollte jeder Sektor etwa 12- bis 13-mal vorkommen. Da die Farbe Rot zwei Sektoren einnimmt, kann man schätzen, dass rot 2 * 12,5, also etwa 25-mal vorkommt.

2. Schwarzfahrer in der Bahn

Kontrolleure in der Bahn haben in der letzten Zeit 1235 Fahrgäste auf einen gültigen Fahrschein kontrolliert. Darunter waren 87 Schwarzfahrer.

a) Wie wahrscheinlich ist, dass ein Kontrolleur einen Schwarzfahrer bei der nächsten Kontrolle erwischt?

b) Mit wie viel Verlust muss der Verkehrsbetrieb jährlich rechnen, wenn er monatlich 45.000 Fahrgäste befördert und ein Fahrschein 2,70€ kostet?

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3. Alles durcheinander

4. Würfelexperiment

Ihr seht hier Würfelnetze dreier verschiedener Würfel:

1)

2)

3)

Johann hat mit einem der Würfel 125 Würfe gemacht und die Augenzahl bei jedem Wurf notiert. Hier ist seine Tabelle mit den Häufigkeiten:

{

5. Musik-Dienste

Im Jahr 2017 gibt es 136,3 Mio. zahlende Nutzer von Musik-Streamingdiensten

Folgende Nutzerzahlen wurden dabei ermittelt:

{

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