Experimentierkasten zur Binomial- und Normalverteilung: Unterschied zwischen den Versionen

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== Die Binomialverteilung und Wahrscheinlichkeiten binomial verteilter Größen ==
+
</small>
 
 
Für die Binomialverteilung gelten bekanntlich folgende wichtige Formeln:
 
 
 
<center>[[bild: binformel.gif]]</center>
 
 
 
 
 
Sie spielen eine wichtige Rolle bei den Tests binomial verteilter Größen. In der Regel kommt man dabei nicht ohne eine [http://www.informatik.uni-bremen.de/~shahn/mathematik/stochastik/binomial_tabelle.PDF Stochastische Tabelle] aus.
 
 
 
Mittels Geogebra sollen nun diese Berechnungen wie mit einem Computer-Algebra-System durchgeführt. Neben den reinen Berechnungen ergibt sich auch ein besseres Verständnis mancher Zusammenhänge.
 
 
 
<center>[[Bild:Heim22.jpg]]</center>
 
<br>
 
<small>Ansicht der GEOGEBRA-Anwendung</small>
 
 
 
 
 
 
 
<ggb_applet height="650" width="800" filename="Binomialverteilung.ggb‎" />
 
<br>
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
<small>'''Erklärungen'''<br>
 
1. Geogebra läuft nur mit dem Geometriefenster innerhalb des Wikis. Um die volle Funktionalität von Geogebra zur Verfügung zu haben (hier das Algebra-Fenster) mit Doppelklick ins Geometriefenster und die entsprechende Datei öffnet sich mit der auf ihrem Rechner installierten Geogebraversion.<br>
 
2. Erklärung der Regeler und Variablen im Algebra-Fenster: ./.
 
 
 
</small>
 
 
 
{{Aufgaben-M|1|
 
 
 
 
 
 
 
Du solltest Dir zuvor das Arbeitsblatt [[Datei:Binomialverteilung1.pdf]] ausdrucken!<br>
 
<table cellpadding="2" cellspacing="2" border="0" style="text-align: left; width: 100%;">
 
<tr>
 
<td style="vertical-align: top; background-color: rgb(51, 102, 255); width: 1%;"><br>
 
</td>
 
<td style="vertical-align: top;">
 
'''Eigenschaften der Binomialverteilung'''
 
 
 
1. Verändere bei gleichem p den Wert für n und beschreibe die Beobachtungen. Lies die Werte für den Erwartungswert und die Standardabweichung ab. Wie ändert sich die Standardabweichung bei wachsendem n?
 
 
 
<small> Den Mittelwert kann man sich durch Aktivieren des Schalters b im Algebrafenster im Geometriefenster anzeigen lassen.</small>
 
 
 
2. Verändere nun bei konstantem n den Wert für p. <br><br>Für welches p ergibt sich eine symmetrische Verteilung?<br> Für welches p besitzt das Maximum der Wahrscheinlichkeitsverteilung den kleinsten Wert? <br> Für welchen Wert k wird bei vorgegebenem  n das Maximum der  Wahrscheinlichkeit P(Z = k) angenommen?
 
 
 
3. Gehört folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung zu B(80; 0,5), B(80;0,6) B(100;0,4). Begründe ausführlich!
 
 
 
<br><br><center>[[bild: heim25.gif]]</center><br><br>
 
 
 
}}
 
 
 
'''Wahrscheinlichkeiten bestimmen'''
 
<br>
 
<small>
 
Die B(n,p,r)-Werte liest man im Geometrie-Fenster ab. Um die F(n,p,r), also die aufsummierten Wahrscheinlichkeiten bis r zu erhalten, aktiviert man den Knopf c und variiert den Schieberegler r. Eine ähnliche Funktion hat der Knopf d mit dem Schieberegler s, die Wahrscheinlichkeiten ab s bis n aufsummiert. Die Werte liest man im Algebrafenster ab. Einstellungen für die Genauigkeit, maximalem n, r, s nach Bedarf ändern.</small>
 
 
 
4. Bestimme mittels des der Geo-Gebra-Datei
 
 
 
....a)P(Z = k)  für p = 0,5  n = 1000  k = 400;  p = 0,8 n =  50  k = 40 <br>
 
....b)P(Z <=k)  für p = 0,4  n =  500  k = 350;  p = 0,6 n =  100 k = 55<br>
 
....c)P(Z >=k)  für p = 0,25 n =  200  k = 75;  p = 0,2 n =  500 k = 70<br>
 
....d)P(k1<=Z<=k2) für p= 0,4 n = 200  k1= 60; k2 = 100<br>
 
 
 
Vergleiche die Werte mit Taschenrechnerwerten bzw. Werten aus der Tabelle.
 
 
 
 
 
'''Beispiel für eine Fragestellung, die mit Tabelle nicht lösbar ist:'''
 
 
 
In einem Biotop treten zwei Varietäten der gleichen Art auf, die sich äußerlich nicht unterscheiden: Varietät A mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 %, Varietät B mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 %. Unter der Annahme die beiden Varietäten seien in dem Biotop binomial verteilt sollen nun für weitere Untersuchungen eine bestimmte Anzahl n von der Art gefangen werden:
 
<br>
 
a) Wie groß ist n zu wählen, damit man mit 80-%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens 1 Exemplar der Varietät A fängt.<br>
 
b) Wie groß ist n zu wählen, damit man mit 80-%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens 50 Exemplare der Varietät A fängt.
 
<br>
 
 
 
'''Lösung Aufgabe a)'''<br>
 
 
 
Über das Gegenereignis erhält man: [[Bild: Bin1.gif]]
 
 
 
Mittels der festen Einstellung p = 0,4 und s = 1 erhält man mittels Experimentieren mit dem Schieberegler n die Lösung n = 4  <br>
 
 
 
'''Lösung Aufgabe b)'''
 
 
 
Die Aufgabe ist mit der Binomialverteilung rechnerisch nicht lösbar. Auch die Stochastische Tabelle liefert keine Lösung, da Die F(n,p,r) über n tabelliert sind, aber nicht über r.
 
 
 
Die Aufgabe mit dem "Experimentierkasten" für festeingestelltes p = 0,4 und s = 50 liefert n = 136.
 
 
 
{{Aufgaben-M|2|
 
 
 
}}
 
 
 
== Testverfahren für binomial verteilte Größen ==
 
{{Aufgaben-M|4|
 
 
 
}}
 
 
 
<table cellpadding="2" cellspacing="2" border="0" style="text-align: left; width: 100%;">
 
<tr>
 
<td style="vertical-align: top; background-color: rgb(51, 102, 255); width: 1%;"><br>
 
</td>
 
 
 
<td style="vertical-align: top;">
 
'''Arbeitsaufgaben:'''<br>
 
<center>
 
{{#ev:youtube|k0HoBVEJ6qc|500}}<br>Einseitiger Hypothesentest
 
</center><br><br>
 
1. Sieh das Video genau an. Es hat sich ein Fehler eingeschlichen. Entdeckst Du ihn?<br>
 
2. Überprüfe die Entscheidungsregel mittels der Tabelle bzw. dem Experimentierkasten.
 
 
 
 
 
 
 
<br>
 
</td>
 
</tr>
 
</table>
 
[[Exkurs zur Normalverteilung]]
 
 
 
== Links ==
 
 
 
*[http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm Rechner für Normal- Bionomial- und Poissonverteilung]
 
 
 
<br>
 
<center></center>
 

Version vom 24. Februar 2018, 17:37 Uhr