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| == Die Binomialverteilung und Wahrscheinlichkeiten binomial verteilter Größen ==
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| Für die Binomialverteilung gelten bekanntlich folgende wichtige Formeln:
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| <center>[[bild: binformel.gif]]</center>
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| Sie spielen eine wichtige Rolle bei den Tests binomial verteilter Größen. In der Regel kommt man dabei nicht ohne eine [http://www.informatik.uni-bremen.de/~shahn/mathematik/stochastik/binomial_tabelle.PDF Stochastische Tabelle] aus.
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| Mittels Geogebra sollen nun diese Berechnungen wie mit einem Computer-Algebra-System durchgeführt. Neben den reinen Berechnungen ergibt sich auch ein besseres Verständnis mancher Zusammenhänge.
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| <center>[[Bild:Heim22.jpg]]</center>
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| <small>Ansicht der GEOGEBRA-Anwendung</small>
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| <ggb_applet height="650" width="800" filename="Binomialverteilung.ggb" />
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| <br>
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| <small>'''Erklärungen'''<br>
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| 1. Geogebra läuft nur mit dem Geometriefenster innerhalb des Wikis. Um die volle Funktionalität von Geogebra zur Verfügung zu haben (hier das Algebra-Fenster) mit Doppelklick ins Geometriefenster und die entsprechende Datei öffnet sich mit der auf ihrem Rechner installierten Geogebraversion.<br>
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| 2. Erklärung der Regeler und Variablen im Algebra-Fenster: ./.
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| {{Aufgaben-M|1|
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| Du solltest Dir zuvor das Arbeitsblatt [[Datei:Binomialverteilung1.pdf]] ausdrucken!<br>
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| <table cellpadding="2" cellspacing="2" border="0" style="text-align: left; width: 100%;">
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| <tr>
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| <td style="vertical-align: top; background-color: rgb(51, 102, 255); width: 1%;"><br>
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| </td>
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| <td style="vertical-align: top;">
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| '''Eigenschaften der Binomialverteilung'''
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| 1. Verändere bei gleichem p den Wert für n und beschreibe die Beobachtungen. Lies die Werte für den Erwartungswert und die Standardabweichung ab. Wie ändert sich die Standardabweichung bei wachsendem n?
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| <small> Den Mittelwert kann man sich durch Aktivieren des Schalters b im Algebrafenster im Geometriefenster anzeigen lassen.</small>
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| 2. Verändere nun bei konstantem n den Wert für p. <br><br>Für welches p ergibt sich eine symmetrische Verteilung?<br> Für welches p besitzt das Maximum der Wahrscheinlichkeitsverteilung den kleinsten Wert? <br> Für welchen Wert k wird bei vorgegebenem n das Maximum der Wahrscheinlichkeit P(Z = k) angenommen?
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| 3. Gehört folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung zu B(80; 0,5), B(80;0,6) B(100;0,4). Begründe ausführlich!
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| <br><br><center>[[bild: heim25.gif]]</center><br><br>
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| }}
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| '''Wahrscheinlichkeiten bestimmen'''
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| <br>
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| Die B(n,p,r)-Werte liest man im Geometrie-Fenster ab. Um die F(n,p,r), also die aufsummierten Wahrscheinlichkeiten bis r zu erhalten, aktiviert man den Knopf c und variiert den Schieberegler r. Eine ähnliche Funktion hat der Knopf d mit dem Schieberegler s, die Wahrscheinlichkeiten ab s bis n aufsummiert. Die Werte liest man im Algebrafenster ab. Einstellungen für die Genauigkeit, maximalem n, r, s nach Bedarf ändern.</small>
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| 4. Bestimme mittels des der Geo-Gebra-Datei
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| ....a)P(Z = k) für p = 0,5 n = 1000 k = 400; p = 0,8 n = 50 k = 40 <br>
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| ....b)P(Z <=k) für p = 0,4 n = 500 k = 350; p = 0,6 n = 100 k = 55<br>
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| ....c)P(Z >=k) für p = 0,25 n = 200 k = 75; p = 0,2 n = 500 k = 70<br>
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| ....d)P(k1<=Z<=k2) für p= 0,4 n = 200 k1= 60; k2 = 100<br>
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| Vergleiche die Werte mit Taschenrechnerwerten bzw. Werten aus der Tabelle.
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| '''Beispiel für eine Fragestellung, die mit Tabelle nicht lösbar ist:'''
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| In einem Biotop treten zwei Varietäten der gleichen Art auf, die sich äußerlich nicht unterscheiden: Varietät A mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 %, Varietät B mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 %. Unter der Annahme die beiden Varietäten seien in dem Biotop binomial verteilt sollen nun für weitere Untersuchungen eine bestimmte Anzahl n von der Art gefangen werden:
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| <br>
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| a) Wie groß ist n zu wählen, damit man mit 80-%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens 1 Exemplar der Varietät A fängt.<br>
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| b) Wie groß ist n zu wählen, damit man mit 80-%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens 50 Exemplare der Varietät A fängt.
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| <br>
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| '''Lösung Aufgabe a)'''<br>
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| Über das Gegenereignis erhält man: [[Bild: Bin1.gif]]
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| Mittels der festen Einstellung p = 0,4 und s = 1 erhält man mittels Experimentieren mit dem Schieberegler n die Lösung n = 4 <br>
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| '''Lösung Aufgabe b)'''
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| Die Aufgabe ist mit der Binomialverteilung rechnerisch nicht lösbar. Auch die Stochastische Tabelle liefert keine Lösung, da Die F(n,p,r) über n tabelliert sind, aber nicht über r.
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| Die Aufgabe mit dem "Experimentierkasten" für festeingestelltes p = 0,4 und s = 50 liefert n = 136.
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| {{Aufgaben-M|2|
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| }}
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| == Testverfahren für binomial verteilte Größen ==
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| {{Aufgaben-M|4|
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| }}
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| <table cellpadding="2" cellspacing="2" border="0" style="text-align: left; width: 100%;">
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| <tr>
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| <td style="vertical-align: top; background-color: rgb(51, 102, 255); width: 1%;"><br>
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| </td>
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| <td style="vertical-align: top;">
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| '''Arbeitsaufgaben:'''<br>
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| <center>
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| {{#ev:youtube|k0HoBVEJ6qc|500}}<br>Einseitiger Hypothesentest
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| </center><br><br>
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| 1. Sieh das Video genau an. Es hat sich ein Fehler eingeschlichen. Entdeckst Du ihn?<br>
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| 2. Überprüfe die Entscheidungsregel mittels der Tabelle bzw. dem Experimentierkasten.
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| </td>
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| </table>
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| [[Exkurs zur Normalverteilung]]
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| == Links ==
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| *[http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm Rechner für Normal- Bionomial- und Poissonverteilung]
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