Einführung in quadratische Funktionen/allgemeine Form: Unterschied zwischen den Versionen

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Im vorigen Kapitel hatten wir es mit einer Funktion zu tun, die neben dem reinquadratischen Teil (dem Bremsweg) auch noch einen linearen Teil (den Reaktionsweg) besaß.
Im vorigen Kapitel hatten wir es mit einer Funktion zu tun, die neben dem reinquadratischen Teil (dem Bremsweg) auch noch einen linearen Teil (den Reaktionsweg) besaß.
Den allgemeinsten Fall einer quadratischen Funktion haben wir, wenn die Funktionsgleichung folgende Form hat:  
Den allgemeinsten Fall einer quadratischen Funktion haben wir, wenn die Funktionsgleichung folgende Form hat:  
<center><big>'''f(x)=ax<sup>2</sup>+bx+c'''</big></center>   
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|}
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{{Box|Aufgabe 1|
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{{Arbeiten|  
NUMMER=1|
ARBEIT=
Experimentiere mit dem Applet und erläutere, welchen Einfluss die Parameter a, b und c auf den Verlauf des Graphen haben.
Experimentiere mit dem Applet und erläutere, welchen Einfluss die Parameter a, b und c auf den Verlauf des Graphen haben.
 
{{Lösung versteckt|1=
:{{Lösung versteckt|1=
#<span style="color: red">a bestimmt die Weite und die Öffnung nach oben und unten</span><br />
#<span style="color: red">a bestimmt die Weite und die Öffnung nach oben und unten</span><br />
#<span style="color: blue">b verschiebt den Scheitel</span><br />
#<span style="color: blue">b verschiebt den Scheitel</span><br />
#<span style="color: green">c verschiebt den Scheitel für '''c > 0 nach oben''' und für '''c < 0 nach unten'''</span><br />
#<span style="color: green">c verschiebt den Scheitel für '''c > 0 nach oben''' und für '''c < 0 nach unten'''</span><br />
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|Arbeitsmethode}}
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{{Box|Aufgabe 2|
|}
 
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{{Arbeiten|  
NUMMER=2|
ARBEIT=
Stelle die drei Schieberegler so ein, dass der schwarze Graph genau auf dem
Stelle die drei Schieberegler so ein, dass der schwarze Graph genau auf dem
#roten
#roten
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Graphen liegt.
Graphen liegt.


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{{Lösung versteckt|1=
#<span style="color: blue">a = 0,5; b = 2,4; c = - 1</span><br />
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{{Box|1=Aufgabe 3|2=
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Untersuche nun die Funktionen f mit '''f(x) = 1,5x<sup>2</sup> + 9x + 11,5''' und g mit '''g(x) = - 0,5x<sup>2</sup> + x + 2,5'''
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{{Arbeiten|  
NUMMER=3|
ARBEIT=
Untersuche nun die Funktionen f mit '''f(x) = 1,5x<sup>2</sup> + 9x + 11,5''' und g mit '''g(x) = 0,5x<sup>2</sup> + x + 2,5'''
#Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle die Graphen G<sub>f</sub> und G<sub>g</sub> in ein gemeinsames Koordinatensystem.  
#Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle die Graphen G<sub>f</sub> und G<sub>g</sub> in ein gemeinsames Koordinatensystem.  
#Gib die Koordinaten der beiden Scheitel S<sub>f</sub> und S<sub>g</sub> an.
#Gib die Koordinaten der beiden Scheitel S<sub>f</sub> und S<sub>g</sub> an.
#Vergleiche die beiden Parabeln mit der Normalparabel.
#Vergleiche die beiden Parabeln mit der Normalparabel.
   
   
:{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=
#[[Bild:Quadratisch_Wertetabelle.jpg]] [[Bild:Quadratisch_allgemein3.jpg]]
#[[Bild:Quadratisch_Wertetabelle.jpg]] [[Bild:Quadratisch_allgemein3.jpg]]
#<span style="color: green">Scheitel von f: '''S(-3/-2)'''</span>;  <span style="color: blue">Scheitel von g:''' S(1/3)'''</span>
#<span style="color: green">Scheitel von f: '''S(-3/-2)'''</span>;  <span style="color: blue">Scheitel von g:''' S(1/3)'''</span>
#Parabel zu f: Enger als Normalparabel, nach oben geöffnet, verschoben
#'''Parabel von f''': Enger als Normalparabel, nach oben geöffnet, verschoben
::Parabel zu g: Weiter als Normalparabel, nach unten geöffnet, verschoben
::'''Parabel von g''': Weiter als Normalparabel, nach unten geöffnet, verschoben
}}
}}
}}
|3=Arbeitsmethode}}
|}
=== Die allgemeine quadratische Funktion in der Anwendung ===


== Die allgemeine quadratische Funktion in der Anwendung ==
Der Term einer allgemeinen quadratischen Funktion enthält einen reinquadratischen Teil ('''ax<sup>2</sup>'''), einen linearen Teil ('''bx''') und einen konstanten Teil ('''c''').  
Der Term einer allgemeinen quadratischen Funktion enthält einen reinquadratischen Teil ('''ax<sup>2</sup>'''), einen linearen Teil ('''bx''') und einen konstanten Teil ('''c''').  


Du hast in den vorangegangenen Kapiteln erfahren, dass sich beim Bremsen eines Pkws der Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit und dem zurückgelegten Weg durch eine quadratische Funktion der Form '''f(x) = ax<sup>2</sup> + bx''' beschreiben lässt, wobei der reinquadratische Teil den Bremsweg und der lineare Teil den Reaktionsweg bestimmt.<br>  
Du hast in den vorangegangenen Kapiteln erfahren, dass sich beim Bremsen eines Pkws der Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit und dem zurückgelegten Weg durch eine quadratische Funktion der Form '''f(x) = ax<sup>2</sup> + bx''' beschreiben lässt, wobei der reinquadratische Teil den Bremsweg und der lineare Teil den Reaktionsweg bestimmt.<br>  


{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
 
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{{Box|1=Aufgabe 4|2=
{{Arbeiten|  
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ARBEIT=
Welche Bedeutung hat der konstante Teil des Funktionsterms im Anwendungsbeispiel "Abbremsen eines Pkw"?
Welche Bedeutung hat der konstante Teil des Funktionsterms im Anwendungsbeispiel "Abbremsen eines Pkw"?


:{{Lösung versteckt|1=
{{Lösung versteckt|1=


:Der lineare Teil gibt den Weg an, den das Fahrzeug zurücklegt, bevor die Gefahrensituation eintritt.
Der lineare Teil gibt den Weg an, den das Fahrzeug zurücklegt, bevor die Gefahrensituation eintritt.


:Beispiel:  
Beispiel:  
::Ein Fahrzeug biegt in eine Straße ein. Nach 30 m sieht der Fahrer, dass vor ihm ein Ball auf die Straße rollt und bremst. Wieviel Meter von der Kreuzung entfernt kommt das Fahrzeug zum Stehen?
Ein Fahrzeug biegt in eine Straße ein. Nach 30 m sieht der Fahrer, dass vor ihm ein Ball auf die Straße rollt und bremst. Wieviel Meter von der Kreuzung entfernt kommt das Fahrzeug zum Stehen?


::Entfernung zur Kreuzung: s = a·v<sup>2</sup> + b·v + c  mit c = 30m
Entfernung zur Kreuzung: s = a·v<sup>2</sup> + b·v + c  mit c = 30m


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}}
|3=Arbeitsmethode}}
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{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=../Übungen 3}}


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{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
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[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Quadratische_Funktionen_-_Abschlusstest|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''


|}
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
== Arbeitsblätter ==
[[Kategorie:GeoGebra]]
*[http://www.sinus.lernnetz.de/aufgaben1/materialien/mathematik/sek_I/quadratische_funktionen.doc Arbeitsblatt aus dem Sinus-Lernnetz]

Aktuelle Version vom 29. März 2022, 22:23 Uhr

Im vorigen Kapitel hatten wir es mit einer Funktion zu tun, die neben dem reinquadratischen Teil (dem Bremsweg) auch noch einen linearen Teil (den Reaktionsweg) besaß. Den allgemeinsten Fall einer quadratischen Funktion haben wir, wenn die Funktionsgleichung folgende Form hat:

f(x)=ax2+bx+c


Aufgabe 1

Experimentiere mit dem Applet und erläutere, welchen Einfluss die Parameter a, b und c auf den Verlauf des Graphen haben.

  1. a bestimmt die Weite und die Öffnung nach oben und unten
  2. b verschiebt den Scheitel
  3. c verschiebt den Scheitel für c > 0 nach oben und für c < 0 nach unten
GeoGebra
Aufgabe 2

Stelle die drei Schieberegler so ein, dass der schwarze Graph genau auf dem

  1. roten
  2. grünen
  3. blauen

Graphen liegt.

  1. a = 0,5; b = 2,4; c = - 1
  2. a = - 1; b = -3; c = 2
  3. a = 0,5; b = - 2,4; c = - 1
GeoGebra


Aufgabe 3

Untersuche nun die Funktionen f mit f(x) = 1,5x2 + 9x + 11,5 und g mit g(x) = - 0,5x2 + x + 2,5

  1. Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle die Graphen Gf und Gg in ein gemeinsames Koordinatensystem.
  2. Gib die Koordinaten der beiden Scheitel Sf und Sg an.
  3. Vergleiche die beiden Parabeln mit der Normalparabel.
  1. Quadratisch Wertetabelle.jpg Quadratisch allgemein3.jpg
  2. Scheitel von f: S(-3/-2); Scheitel von g: S(1/3)
  3. Parabel von f: Enger als Normalparabel, nach oben geöffnet, verschoben
Parabel von g: Weiter als Normalparabel, nach unten geöffnet, verschoben

Die allgemeine quadratische Funktion in der Anwendung

Der Term einer allgemeinen quadratischen Funktion enthält einen reinquadratischen Teil (ax2), einen linearen Teil (bx) und einen konstanten Teil (c).

Du hast in den vorangegangenen Kapiteln erfahren, dass sich beim Bremsen eines Pkws der Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit und dem zurückgelegten Weg durch eine quadratische Funktion der Form f(x) = ax2 + bx beschreiben lässt, wobei der reinquadratische Teil den Bremsweg und der lineare Teil den Reaktionsweg bestimmt.


Aufgabe 4

Welche Bedeutung hat der konstante Teil des Funktionsterms im Anwendungsbeispiel "Abbremsen eines Pkw"?

Der lineare Teil gibt den Weg an, den das Fahrzeug zurücklegt, bevor die Gefahrensituation eintritt.

Beispiel: Ein Fahrzeug biegt in eine Straße ein. Nach 30 m sieht der Fahrer, dass vor ihm ein Ball auf die Straße rollt und bremst. Wieviel Meter von der Kreuzung entfernt kommt das Fahrzeug zum Stehen?

Entfernung zur Kreuzung: s = a·v2 + b·v + c mit c = 30m