Einführung in quadratische Funktionen/Bremsbeschleunigung: Unterschied zwischen den Versionen
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Zunächst stellen wir fest, dass es eine funktionale Abhängigkeit des Bremsweges von der Geschwindigkeit gibt; wir können unsere Formel als Funktionsgleichung schreiben: | |||
<math>s(v)=\frac{1}{2a}\cdot v^2</math>. | |||
Die rechte Seite der Funktionsgleichung besteht aus dem Vorfaktor <math>\frac{1}{2a}</math> und dem Quadrat der Variablen. Besonders interessant ist dabei der Einfluss des Vorfaktors auf den Verlauf des Graphen: | |||
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Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn der Vorfaktor von <math>v^2</math>, d.h. wenn <math>\frac{1}{2a}</math> kleiner bzw. größer wird? | Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn der Vorfaktor von <math>v^2</math>, d.h. wenn <math>\frac{1}{2a}</math> kleiner bzw. größer wird? | ||
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<math>\frac{1}{2a}</math> wird kleiner, wenn a größer wird. Wenn a größer wird, verläuft der Graph flacher. | <math>\frac{1}{2a}</math> wird kleiner, wenn a größer wird. Wenn a größer wird, verläuft der Graph flacher. | ||
Entsprechend wird <math>\frac{1}{2a}</math> größer, wenn a kleiner wird. Wenn a kleiner wird, verläuft der Graph steiler. | Entsprechend wird <math>\frac{1}{2a}</math> größer, wenn a kleiner wird. Wenn a kleiner wird, verläuft der Graph steiler. | ||
Version vom 22. November 2008, 18:18 Uhr
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Unterschiedliche Straßenverhältnisse
Bisher waren wir davon ausgegangen, dass die Länge des Bremsweges lediglich von der Geschwindigkeit abhängt. Das ist natürlich Unsinn. Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten "Bremsbeschleunigung" zum Ausdruck. Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg.
In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel:
(s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit in m/s und a = Bremsbeschleunigung in m/s²).
In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.
Hinweis: Der Einfachkeit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.
Wenn wir die bisherigen Überlegungen verallgemeinern wollen, müssen wir unsere Gleichung für den Bremsweg genauer analysieren.
Zunächst stellen wir fest, dass es eine funktionale Abhängigkeit des Bremsweges von der Geschwindigkeit gibt; wir können unsere Formel als Funktionsgleichung schreiben:
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Die rechte Seite der Funktionsgleichung besteht aus dem Vorfaktor und dem Quadrat der Variablen. Besonders interessant ist dabei der Einfluss des Vorfaktors auf den Verlauf des Graphen:
Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen
| Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form Zahl mal Variable im Quadrat. Sie zählen daher zu den quadratischen Funktionen. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen (welches ja bekanntlich Geraden sind). Das Applet rechts zeigt den Graphen einer reinquadratischen Funktion, d.h. einer Funktion, deren Funktionsterm die Form ax² hat. Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!). |
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Als nächstes kannst du prüfen, ob du bis jetzt alles verstanden hast. |
