Einführung in die Integralrechnung: Unterschied zwischen den Versionen
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|{{Lernpfad-M|[[Bild:Integral Titel.png|200px|left]]In diesem Lernpfad können die Schüler die grundlegenden Zusammenhänge der Integralrechnung anhand vieler interaktiver Übungen entdecken. Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/index.htm Einführung in die Integralrechnung] der österreichischen Arbeitsgruppe Medienvielfalt entnommen, die aus einer Kooperation von [http://www.mathe-online.at/ mathe-online] und [http://www.geogebra.at GeoGebra] entstanden ist. | |{{Lernpfad-M|[[Bild:Integral Titel.png|200px|left]]In diesem Lernpfad können die Schüler die grundlegenden Zusammenhänge der Integralrechnung anhand vieler interaktiver Übungen entdecken. Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/index.htm Einführung in die Integralrechnung] der österreichischen Arbeitsgruppe [http://www.austromath.at/medienvielfalt/ Medienvielfalt im Mathematikunterricht] entnommen, die aus einer Kooperation von [http://www.mathe-online.at/ mathe-online] und [http://www.geogebra.at GeoGebra] entstanden ist. | ||
<br>'''Voraussetzungen: ''' | <br>'''Voraussetzungen: ''' | ||
<br>'''Zeitbedarf: ''' etwa 3 Schulstunden | <br>'''Zeitbedarf: ''' etwa 3 Schulstunden | ||
'''Materialien:'''{{pdf|Infini_AB1.pdf|Das bestimmte Integral}}; {{pdf|Infini AB02.pdf|Aufgaben mit Lösung}}; {{pdf|Infini_AB7.pdf|Integralfunktion}} | <br>'''Materialien:'''{{pdf|Infini_AB1.pdf|Das bestimmte Integral}}; {{pdf|Infini AB02.pdf|Aufgaben mit Lösung}}; {{pdf|Infini_AB7.pdf|Integralfunktion}} | ||
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==Das bestimmte Integral== | ==Das bestimmte Integral== | ||
*Informiere dich im {{pdf|Infini_AB1.pdf|Arbeitsblatt | *Informiere dich im {{pdf|Infini_AB1.pdf|Arbeitsblatt "Das bestimmte Integral"}} über die Definition des Begriffs "bestimmtes Integral". | ||
*Berechne: <math>\int_{0}^{3}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>; <math>\int_{1}^{4}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>; <math>\int_{4}^{1}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math> | *Berechne: <math>\int_{0}^{3}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>; <math>\int_{1}^{4}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>; <math>\int_{4}^{1}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math> | ||
*Überprüfe die Lösung mit folgendem {{Ggb|LP_best_Int.ggb|Applet}} | *Überprüfe die Lösung mit folgendem {{Ggb|LP_best_Int.ggb|Applet}}, in dem du mit Hilfe der Schieberegler die Integrationsgrenzen anpasst! | ||
*{{pdf|Infini AB02.pdf|Weitere Aufgaben mit Lösung}} | *{{pdf|Infini AB02.pdf|Weitere Aufgaben mit Lösung}} | ||
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*[http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue1.htm Aufgaben zur Flächenberechnung] mit Geogebra | *[http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue1.htm Aufgaben zur Flächenberechnung] mit Geogebra | ||
* Kläre die Bedeutung [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue2.htm "negativer Flächeninhalt"]! | * Kläre die Bedeutung des Begriffs [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue2.htm "negativer Flächeninhalt"]! | ||
*Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem [http://www.geogebra.at/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/orientierteflaeche/flaeche.html| Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse!] | *Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem [http://www.geogebra.at/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/orientierteflaeche/flaeche.html| Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse!] | ||
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* Bearbeite die Punkte 1 bis 6 des dynamischen Arbeitsblatts zur [http://www.geogebra.at/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/integralfkt/integralfkt1.html Integralfunktion]. Halte die Ergebnisse in deinem Heft fest. | * Bearbeite die Punkte 1 bis 6 des dynamischen Arbeitsblatts zur [http://www.geogebra.at/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/integralfkt/integralfkt1.html Integralfunktion]. Halte die Ergebnisse in deinem Heft fest. | ||
*Überlege: Welche Funktionen der Kurvenschar sind keine Integralfunktionen? | *Überlege: Welche Funktionen der Kurvenschar sind keine Integralfunktionen? | ||
*Bearbeite nun als Zusammmenfassung das {{pdf|Infini_AB7.pdf|Arbeitsblatt | *Bearbeite nun als Zusammmenfassung das {{pdf|Infini_AB7.pdf|Arbeitsblatt "Integralfunktion"}}. | ||
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==Für Interessierte== | ==Für Interessierte== | ||
*[http://teacher.eduhi.at/alindner/Dyn_Geometrie/DiffInt/HS_DiffInt.htm | *Vergleiche die drei [http://teacher.eduhi.at/alindner/Dyn_Geometrie/DiffInt/HS_DiffInt.htm Beweise] des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Welchen Beweis würdest du bevorzugen? Begründe deine Entscheidung! | ||
*Informiere dich im Internet über die Geschichte der Integralrechnung. | *Informiere dich im Internet über die Geschichte der Integralrechnung. | ||
*Bei welchen Fragestellungen außerhalb der Schulmathematik kommt die Integralrechung zum Einsatz? Finde möglichst vielfältige Beispiele. | *Bei welchen Fragestellungen außerhalb der Schulmathematik kommt die Integralrechung zum Einsatz? Finde möglichst vielfältige Beispiele. | ||
Version vom 5. Juni 2007, 14:54 Uhr
| Vorlage:Lernpfad-M |
Das Flächenproblem
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Ziel der folgenden Überlegungen ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Flächen berechnet werden können.
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Unter- und Obersumme
- Begriffsklärung Unter- und Obersumme
- Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x².
- Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
- Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
- Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.
- Lösung
- Berechnung von Unter- und Obersummen mit GeoGebra
Das bestimmte Integral
- Informiere dich im
Arbeitsblatt "Das bestimmte Integral" über die Definition des Begriffs "bestimmtes Integral".
- Berechne: ; ;
- Überprüfe die Lösung mit folgendem
Applet, in dem du mit Hilfe der Schieberegler die Integrationsgrenzen anpasst! - Weitere Aufgaben mit Lösung
Flächenberechnung
- Aufgaben zur Flächenberechnung mit Geogebra
- Kläre die Bedeutung des Begriffs "negativer Flächeninhalt"!
- Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse!
Integralfunktion
- Bearbeite die Punkte 1 bis 6 des dynamischen Arbeitsblatts zur Integralfunktion. Halte die Ergebnisse in deinem Heft fest.
- Überlege: Welche Funktionen der Kurvenschar sind keine Integralfunktionen?
- Bearbeite nun als Zusammmenfassung das Arbeitsblatt "Integralfunktion".
Zusätzliche Übungsaufgaben
Für Interessierte
- Vergleiche die drei Beweise des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Welchen Beweis würdest du bevorzugen? Begründe deine Entscheidung!
- Informiere dich im Internet über die Geschichte der Integralrechnung.
- Bei welchen Fragestellungen außerhalb der Schulmathematik kommt die Integralrechung zum Einsatz? Finde möglichst vielfältige Beispiele.
