Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Die Ableitung als lokale lineare Approximation

Aus ZUM-Unterrichten

Für diese Grundvorstellung werden Sie verschiedene Funktionen unter die Lupe nehmen und feststellen wie sich diese in kleinen Umgebungen um einen Punkt verhalten.

Bild einfügen


Aufgabe 1

a) Zoomen Sie vermehrt an den Punkt A. Was stellen Sie fest? Beschreiben sie Ihre Beobachtung?


b) Was erwarten Sie, wenn Sie an den Punkt B zoomen? Überprüfen Sie Ihre Vermutung mit dem Applet. Beschreiben Sie Ihre Vermutung und was Sie festgestellt haben.


c) An welchen Stellen des Funktionsgraphen würde es beim Hineinzoomen ebenfalls so aussehen wie um den Punkt B?

Aufgabe 2

In dieser Aufgabe werden Sie Funktionen untersuchen in denen die lokale Linearität nicht auf Anhieb ersichtlich ist. Geben Sie im Applet die kritischen Punkte ein die Sie untersuchen möchten und überprüfen Sie die lokale Linearität durch Hineinzoomen.
a)

                              zum Applet 

b)

c)

Aufgabe 3

Nun werden Sie mit Hilfe des Funktionenmikroskop die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Punkt bestimmen.
a) Zoomen Sie vermehrt in den Punkt A hinein und schieben B durch Verkleinerung von h näher an A heran. Berechnen Sie die Steigung mit Hilfe des Differenzenquotienten.
Tipp: Mit den Pfeiltasten lässt sich der Schieberegler feiner ändern.
b) Welche Probleme treten bei der Bestimmung der Steigung auf? Lassen sich diese Beheben?

c) Lassen Sie sich die Gerade durch den Punkt A und B anzeigen und beschreiben sie die Gerade.

Tangente
Die Geraden, die durch den Punkt P(x0|f(x0)) verläuft und die gleiche Steigung wie der Graph von f an dieser Stelle hat, nennt man Tangente.

Die Tangente als lokale lineare Approximation

Wie du in den Aufgaben zuvor schon gesehen hast, lässt sich der Graph der Funktion in einer kleinen Umgebung sehr gut durch die Tangente nähern.

Aufgabe 4

Wir betrachten die Funktion f(x)=0,25x², die Tangente der Funktion am Punkt P (x0|f(x0)) mit x0 = 1,5und die Abweichung h von x0.
a) Für welche Werte von h lassen sich die Werte der Funktion durch die der Tangente gut annähern? Entscheiden Sie mit Hilfe des Applets und interpretieren Sie die rote Strecke.
b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente mit Hilfe des Differentialquotienten.

c) Bestimmen Sie durch Berechnung des Approximationsfehlers einen h-Wert für eine ,,gute" und ein h-Wert für eine ,,schlechte" Näherung durch die Tangente.

Aufgabe 5
Bestimmen Sie durch Addition der farbigen Strecken die allgemeine Gleichung zur Berechnung der Werte für f(x0+h). Nutzen Sie als Hilfe das folgende Applet.

Approximation farbliche Strecken.png

Aufgabe 6
Lassen Sie nun den Approximationsfehler für kleine h außer Acht und betrachten die Näherungsfunktion f(x_0+h)=f(x_0 )+f´(x_0 )·h Stellen Sie die Gleichung nach f´(x) um. Was fällt Ihnen auf?