Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Die Ableitung als lokale lineare Approximation: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Box|Info|Für diese Grundvorstellung werden Sie verschiedene Funktionen unter die Lupe nehmen und feststellen wie sich diese in kleinen Umgebungen verhalten. Für die Bearbeitung der Aufgaben sollten Ihnen die Begriffe Sekante, lineare Funktion und Differenzenquotient geläufig sein. Falls Ihnen die Hilfestellungen zu den Aufgaben nicht genügen, steht Ihnen auf der Seite [[Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Vorwissen|Vorwissen]] eine ausführlichere Zusammenfassung der benötigten Begriffe zur Verfügung.|Kurzinfo
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{{Box|Info|Für diese Grundvorstellung werden Sie verschiedene Funktionen unter die Lupe nehmen und feststellen wie sich diese in kleinen Umgebungen verhalten. Für die Bearbeitung der Aufgaben sollten Ihnen die Begriffe Sekante, lineare Funktion und Differenzenquotient geläufig sein. Falls Ihnen die Hilfestellungen zu den Aufgaben nicht genügen, steht Ihnen auf der Seite [[Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Vorwissen|Vorwissen]] eine ausführlichere Zusammenfassung der benötigten Begriffe zur Verfügung.
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==Funktionen unter der Lupe==
 
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b) Was erwarten Sie, wenn Sie an den Punkt B zoomen? Überprüfen Sie Ihre Vermutung mit dem Applet. Beschreiben Sie Ihre Vermutung und was Sie festgestellt haben.
 
b) Was erwarten Sie, wenn Sie an den Punkt B zoomen? Überprüfen Sie Ihre Vermutung mit dem Applet. Beschreiben Sie Ihre Vermutung und was Sie festgestellt haben.
 
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{{Box|Aufgabe 2|In dieser Aufgabe werden Sie Funktionen untersuchen in denen die lokale Linearität nicht auf Anhieb ersichtlich ist. Geben Sie im Applet die kritischen Punkte ein die Sie untersuchen möchten und überprüfen Sie die lokale Linearität durch Hineinzoomen. <br />
 
{{Box|Aufgabe 2|In dieser Aufgabe werden Sie Funktionen untersuchen in denen die lokale Linearität nicht auf Anhieb ersichtlich ist. Geben Sie im Applet die kritischen Punkte ein die Sie untersuchen möchten und überprüfen Sie die lokale Linearität durch Hineinzoomen. <br />
 
a) <math>f(x)= \sqrt{x^2}</math>          [[/Aufgabe 2a)|zum Applet]] <br />
 
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c) <math>h(x)=|x^2-4|</math>  [[/Aufgabe 2c)|zum Applet]] <br />|Arbeitsmethode
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c) <math>h(x)=|x^2-4|</math>  [[/Aufgabe 2c)|zum Applet]] <br />
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d) Notieren Sie sich Ihre Erkenntnis, die Sie in dieser Aufgabe gewonnen haben. |Arbeitsmethode
 
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{{Box|Aufgabe 3|Nun werden Sie mit Hilfe des Funktionenmikroskop die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Punkt bestimmen. <br />
 
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b) Welches Problem kann bei der Verschiebung von B gegen A auftreten? Was muss für die Bestimmung der Steigung gewährleistet sein?<br />
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b) Welches Problem kann bei der Verschiebung von B gegen A (Verkleinerung von h) auftreten? Was muss für die Bestimmung der Steigung für h gelten?<br />
c) Betrachten Sie in [[/Aufgabe 3c)/|diesem Applet]] die Sekante durch die Punkte A und B und verschieben Sie erneut den Punkt B in Richtung A. Beschreiben Sie die Gerade die entsteht.{{Lösung versteckt|Hier die Lösung {{Box|Tangente|Die Gerade, die den Graphen von <math>f</math> am Punkt <math>P(x_0|f(x_0))</math> berührt und die gleiche Steigung wie der Graph von <math>f</math> in diesem Punkt hat, nennt man die Tangente von <math>f</math> am Punkt <math>P</math>.|Merksatz
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c) Betrachten Sie in [[/Aufgabe 3c)/|diesem Applet]] die Sekante durch die Punkte A und B und verschieben Sie erneut den Punkt B in Richtung A. Beschreiben Sie mit Hinblick auf den Graphen die Gerade die entsteht.{{Lösung versteckt|Hier die Lösung {{Box|Tangente|Die Gerade, die den Graphen von <math>f</math> am Punkt <math>P(x_0|f(x_0))</math> berührt und die gleiche Steigung wie der Graph von <math>f</math> in diesem Punkt hat, nennt man die Tangente von <math>f</math> am Punkt <math>P</math>.|Merksatz
 
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Aktuelle Version vom 14. August 2019, 17:42 Uhr


Info

Für diese Grundvorstellung werden Sie verschiedene Funktionen unter die Lupe nehmen und feststellen wie sich diese in kleinen Umgebungen verhalten. Für die Bearbeitung der Aufgaben sollten Ihnen die Begriffe Sekante, lineare Funktion und Differenzenquotient geläufig sein. Falls Ihnen die Hilfestellungen zu den Aufgaben nicht genügen, steht Ihnen auf der Seite Vorwissen eine ausführlichere Zusammenfassung der benötigten Begriffe zur Verfügung. Funktion unter der Lupe.jpg

Funktionen unter der Lupe

Aufgabe 1

a) Zoomen Sie vermehrt an den Punkt A. Was stellen Sie fest? Beschreiben sie Ihre Beobachtung?


b) Was erwarten Sie, wenn Sie an den Punkt B zoomen? Überprüfen Sie Ihre Vermutung mit dem Applet. Beschreiben Sie Ihre Vermutung und was Sie festgestellt haben.


c) An welchen Stellen des Funktionsgraphen würde es beim Hineinzoomen ebenfalls so aussehen wie um den Punkt B?
Lokal linear
Wenn man beim Hineinzoomen in einen Funktionsgraphen bemerken, dass dieser aussieht wie eine Gerade, nennen wir diese Funktion an diesem Punkt lokal linear .


Aufgabe 2

In dieser Aufgabe werden Sie Funktionen untersuchen in denen die lokale Linearität nicht auf Anhieb ersichtlich ist. Geben Sie im Applet die kritischen Punkte ein die Sie untersuchen möchten und überprüfen Sie die lokale Linearität durch Hineinzoomen.
a) zum Applet
b) zum Applet
c) zum Applet

d) Notieren Sie sich Ihre Erkenntnis, die Sie in dieser Aufgabe gewonnen haben.


Aufgabe 3

Nun werden Sie mit Hilfe des Funktionenmikroskop die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Punkt bestimmen.
a) Zoomen Sie in diesem Applet vermehrt in den Punkt A hinein und schieben Sie B durch Verkleinerung von h näher an A heran. Berechnen Sie mit Hilfe des Differenzenquotienten die Steigung, die der Graph ,,im" Punkt A hat so genau wie möglich.
Tipp: Mit den Pfeiltasten lässt sich der Schieberegler feiner ändern.

Hier die Lösung der Rechnung

Differentialquotient

Der Differenzenquotient kommt der Steigung im Punkt beliebig nahe, je näher der Null kommt.

Dieser Grenzwert des Differenzenquotienten ist der Differentialquotient .
Der Differentialquotient wird auch als Ableitung der Funktion an der Stelle bezeichnet.

b) Welches Problem kann bei der Verschiebung von B gegen A (Verkleinerung von h) auftreten? Was muss für die Bestimmung der Steigung für h gelten?

c) Betrachten Sie in diesem Applet die Sekante durch die Punkte A und B und verschieben Sie erneut den Punkt B in Richtung A. Beschreiben Sie mit Hinblick auf den Graphen die Gerade die entsteht.

Hier die Lösung

Tangente
Die Gerade, die den Graphen von am Punkt berührt und die gleiche Steigung wie der Graph von in diesem Punkt hat, nennt man die Tangente von am Punkt .

Die Tangente als lokale lineare Approximation


Aufgabe 4

Wie du in den Aufgaben zuvor schon gesehen hast, lässt sich der Graph der Funktion in einer kleinen Umgebung sehr gut durch die Tangente nähern.
Wir betrachten die Funktion , die Tangente der Funktion am Punkt mit und die Abweichung von .

a) Für welche Werte von h lassen sich die Werte der Funktion durch die der Tangente gut annähern? Entscheiden Sie mit Hilfe des Applets und interpretieren Sie die rote Strecke.
b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente mit Hilfe des Differentialquotienten.

c) Bestimmen Sie durch Berechnung des Approximationsfehlers einen h-Wert für eine ,,gute" und ein h-Wert für eine ,,schlechte" Näherung durch die Tangente.


Aufgabe 5
Bestimmen Sie durch Addition der farbigen Strecken die allgemeine Gleichung zur Berechnung der Werte für . Nutzen Sie als Hilfe das folgende Applet.

Approximation farbliche Strecken.png

Aufgabe 6
Lassen Sie nun den Approximationsfehler für kleine h außer Acht und betrachten die Näherungsfunktion Stellen Sie die Gleichung nach um. Was fällt Ihnen auf?