Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Die Ableitung als lokale lineare Approximation: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Navigation verstecken|{{Vorlage:Lernpfad-Navigation| [[Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff]]<br />[[Die Ableitung als lokale Änderungsrate]]}}|Navigation anzeigen|Navigation verbergen}}{{Box|Aufgabe 1|a) Zoomen Sie vermehrt an den Punkt A. Was stellen Sie fest? Beschreiben sie Ihre Beobachtung?  
 
{{Lösung versteckt|<ggb_applet height="500" width="1000" showmenubar="true" showreseticon="true" id="e9jhefpy" />
{{Box|Info|Für diese Grundvorstellung werden Sie verschiedene Funktionen unter die Lupe nehmen und feststellen wie sich diese in kleinen Umgebungen verhalten. Für die Bearbeitung der Aufgaben sollten Ihnen die Begriffe Sekante, lineare Funktion und Differenzenquotient geläufig sein. Falls Ihnen die Hilfestellungen zu den Aufgaben nicht genügen, steht Ihnen auf der Seite [[Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Vorwissen|Vorwissen]] eine ausführlichere Zusammenfassung der benötigten Begriffe zur Verfügung.
|Applet anzeigen|Applet verbergen}}<br /> b) Was erwarten Sie, wenn Sie an den Punkt B zoomen? Überprüfen Sie Ihre Vermutung mit dem Applet. Beschreiben Sie Ihre Vermutung und was Sie festgestellt haben.
[[Datei:Funktion unter der Lupe.jpg|rand|400x400px]]
{{Lösung versteckt|<ggb_applet height="500" width="1000" showmenubar="true" showreseticon="true" id="dyeqwu9b" />
|Kurzinfo
|Applet anzeigen|Applet verbergen}} <br /> c) An welchen Stellen des Funktionsgraphen würde es beim hineinzoomen ebenfalls sie aussehen wie im Punkt B?|Arbeitsmethode
}}
}}{{Vorlage:Lernpfad-Navigation|Wenn wir beim Hineinzoomen in einen Funktionsgraphen bemerken, dass dieser aussieht wie eine Gerade, nennen wir diese Funktion linear ,,lokal linear" an diesem Punkt.}}{{Box|Aufgabe 2|In dieser Aufgabe werden Sie Funktionen untersuchen in denen die lokale Linearität nicht auf Anhieb ersichtlich ist. Geben Sie im Applet die kritischen Punkte ein die Sie untersuchen möchten und überprüfen Sie die lokale Linearität durch Hineinzoomen. <br />
==Funktionen unter der Lupe==
a) <math>f(x)= \sqrt{x^2}</math> <br />
{{Box|Aufgabe 1|a) Zoomen Sie vermehrt an den Punkt A. Was stellen Sie fest? Beschreiben sie Ihre Beobachtung?  
b) <math>g(x)=100x^2</math><br />
{{Lösung versteckt|[[/Aufgabe 1 a)/|zum Applet]]<ggb_applet height="500" width="1000" showmenubar="true" showreseticon="true" id="e9jhefpy" />
c) <math>h(x)=|x^2-4|</math><br />|Arbeitsmethode
|Applet anzeigen|Applet verbergen}}<br />  
}}{{Vorlage:Lernpfad-Navigation|Wenn man beim Hineinzoomen in einem Punkt feststellt, dass die Funktion an dieser Stelle lokal linear ist, nennen wir die Funktion an dieser Stelle differenzierbar.}}{{Box|Aufgabe 3|Nun werden Sie mit Hilfe des Funktionenmikroskop die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Punkt bestimmen. <br/>
b) Was erwarten Sie, wenn Sie an den Punkt B zoomen? Überprüfen Sie Ihre Vermutung mit dem Applet. Beschreiben Sie Ihre Vermutung und was Sie festgestellt haben.
a) Zoomen Sie vermehrt in den Punkt A hinein und schieben B durch Verkleinerung von h näher an A heran. Berechnen Sie die Steigung mit Hilfe des Differenzenquotienten. <br/> Tipp: Mit den Pfeiltasten lässt sich der Schieberegler feiner ändern.<br/>
{{Lösung versteckt|[[/Aufgabe 1 b)/|zum Applet]]<ggb_applet id="dyeqwu9b" height="450" width="1000" border="8888"></ggb_applet>
b) Welche Probleme treten bei der Bestimmung der Steigung auf? Lassen sich diese Beheben?
|Applet anzeigen|Applet verbergen}} <br /> c) An welchen Stellen des Funktionsgraphen würde es beim Hineinzoomen ebenfalls so aussehen wie um den Punkt B?
c) Lassen Sie sich die Gerade durch den Punkt A und B anzeigen und beschreiben sie die Gerade.|Arbeitsmethode
{{Lösung versteckt|{{Box|Lokal linear|Wenn man beim Hineinzoomen in einen Funktionsgraphen bemerken, dass dieser aussieht wie eine Gerade, nennen wir diese Funktion an diesem Punkt '''lokal linear''' .|Merksatz}}
}}{{Box|Tangente|Die Geraden, die durch den Punkt P(x0{{!}}f(x0)) verläuft und die gleiche Steigung wie der Graph von f an dieser Stelle hat, nennt man Tangente.|Merksatz
|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
|Arbeitsmethode
}}
 
{{Box|Aufgabe 2|In dieser Aufgabe werden Sie Funktionen untersuchen in denen die lokale Linearität nicht auf Anhieb ersichtlich ist. Geben Sie im Applet die kritischen Punkte ein die Sie untersuchen möchten und überprüfen Sie die lokale Linearität durch Hineinzoomen. <br />
a) <math>f(x)= \sqrt{x^2}</math>         [[/Aufgabe 2a)|zum Applet]] <br />
b) <math>g(x)=100x^2</math> [[/Aufgabe 2b)|zum Applet]] <br />
c) <math>h(x)=|x^2-4|</math> [[/Aufgabe 2c)|zum Applet]] <br />
d) Notieren Sie sich Ihre Erkenntnis, die Sie in dieser Aufgabe gewonnen haben. |Arbeitsmethode
}}
 
{{Box|Aufgabe 3|Nun werden Sie mit Hilfe des Funktionenmikroskop die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Punkt bestimmen. <br />
a) Zoomen Sie in [[/Aufgabe 3a)/|diesem Applet]] vermehrt in den Punkt A hinein und schieben Sie B durch Verkleinerung von h näher an A heran. Berechnen Sie mit Hilfe des Differenzenquotienten die Steigung, die der Graph ,,im" Punkt A hat so genau wie möglich. <br /> Tipp: Mit den Pfeiltasten lässt sich der Schieberegler feiner ändern.<br />
{{Lösung versteckt|Hier die Lösung der Rechnung{{Box|Differentialquotient|Der Differenzenquotient  <math>  \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math> kommt der Steigung im Punkt <math>P (x_0,f(x_0))</math> beliebig nahe, je näher <math>h</math> der Null kommt.<br/>
Dieser Grenzwert des Differenzenquotienten ist der Differentialquotient <math> f'(x_0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>. <br/> Der Differentialquotient <math> f'(x_0) </math> wird auch als Ableitung der Funktion <math>f</math> an der Stelle <math>x_0</math> bezeichnet. |Merksatz
}}
| Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}
b) Welches Problem kann bei der Verschiebung von B gegen A (Verkleinerung von h) auftreten? Was muss für die Bestimmung der Steigung für h gelten?<br />
c) Betrachten Sie in [[/Aufgabe 3c)/|diesem Applet]] die Sekante durch die Punkte A und B und verschieben Sie erneut den Punkt B in Richtung A. Beschreiben Sie mit Hinblick auf den Graphen die Gerade die entsteht.{{Lösung versteckt|Hier die Lösung {{Box|Tangente|Die Gerade, die den Graphen von <math>f</math> am Punkt <math>P(x_0|f(x_0))</math> berührt und die gleiche Steigung wie der Graph von <math>f</math> in diesem Punkt hat, nennt man die Tangente von <math>f</math> am Punkt <math>P</math>.|Merksatz
}}
| Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}
}}


==Die Tangente als lokale lineare Approximation==
==Die Tangente als lokale lineare Approximation==
Wie du in den Aufgaben zuvor schon gesehen hast, lässt sich der Graph der Funktion in einer kleinen Umgebung sehr gut durch die Tangente nähern.{{Box|Aufgabe 4|<nowiki>Wir betrachten die Funktion f(x)=0,25x², die Tangente der Funktion am Punkt P (x0|f(x0)) mit x0 = 1,5und die Abweichung h von x0. </nowiki><br/>  
<br />{{Box|Aufgabe 4|Wie du in den Aufgaben zuvor schon gesehen hast, lässt sich der Graph der Funktion in einer kleinen Umgebung sehr gut durch die Tangente nähern.
a) Für welche Werte von h lassen sich die Werte der Funktion durch die der Tangente gut annähern? Entscheiden Sie mit Hilfe des Applets und interpretieren Sie die rote Strecke.<br/>
<br/>
b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente mit Hilfe des Differentialquotienten. <br/>
Wir betrachten die Funktion <math>f(x)=0,25x^2</math>, die Tangente der Funktion am Punkt <math>P=(x_0|f(x_0)</math> mit <math>x_0=1,5</math>und die Abweichung <math>h</math> von <math>x_0</math>.
c) Bestimmen Sie durch Berechnung des Approximationsfehlers einen h-Wert für eine ,,gute" und ein h-Wert für eine ,,schlechte" Näherung durch die Tangente. <br/>|Arbeitsmethode
<br/>
}}{{Box|Aufgabe 5|Bestimmen Sie durch Addition der farbigen Strecken die allgemeine Gleichung zur Berechnung der Werte für f(x0+h). Nutzen Sie als Hilfe das folgende Applet. <br/>{{Lösung versteckt|[[Datei:Tangentensteigung_Bild.png|rand|571x571px]]
 
a) Für welche Werte von h lassen sich die Werte der Funktion durch die der Tangente gut annähern? Entscheiden Sie mit Hilfe [[/Aufgabe 4 a)/|des Applets]]  und interpretieren Sie die rote Strecke.<br/>
b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente mit Hilfe des Differentialquotienten.<br/>
c) Bestimmen Sie durch Berechnung des Approximationsfehlers einen h-Wert für eine ,,gute" und ein h-Wert für eine ,,schlechte" Näherung durch die Tangente.|Arbeitsmethode
}}<br />
{{Box|Aufgabe 5|Bestimmen Sie durch Addition der farbigen Strecken die allgemeine Gleichung zur Berechnung der Werte für <math>f(x_0+h)</math>. Nutzen Sie als Hilfe das folgende Applet. <br/>{{Lösung versteckt|[[Datei:Approximation_farbliche_Strecken.png|rand|571x571px]]
|Graphik anzeigen|Graphik verbergen}}|Arbeitsmethode
|Graphik anzeigen|Graphik verbergen}}|Arbeitsmethode
}}
}}
{{Box|Aufgabe 6|<nowiki>Lassen Sie nun den Approximationsfehler für kleine h außer Acht und betrachten die Näherungsfunktion f(x_0+h)=f(x_0 )+(x_0 )·h Stellen Sie die Gleichung nach (x) um. Was fällt Ihnen auf?</nowiki>|Arbeitsmethode
{{Box|Aufgabe 6|Lassen Sie nun den Approximationsfehler für kleine h außer Acht und betrachten die Näherungsfunktion <math> f(x_0+h) =f(x_0)+f'(x_0)*h</math>  Stellen Sie die Gleichung nach <math>f'(x)</math> um. Was fällt Ihnen auf?|Arbeitsmethode
}}{{Box|Aufgabe 7|Aufgabe zu ,,die beste Gerade"|Arbeitsmethode
}}
}}
<br />
<br />

Aktuelle Version vom 14. August 2019, 15:42 Uhr

Info

Für diese Grundvorstellung werden Sie verschiedene Funktionen unter die Lupe nehmen und feststellen wie sich diese in kleinen Umgebungen verhalten. Für die Bearbeitung der Aufgaben sollten Ihnen die Begriffe Sekante, lineare Funktion und Differenzenquotient geläufig sein. Falls Ihnen die Hilfestellungen zu den Aufgaben nicht genügen, steht Ihnen auf der Seite Vorwissen eine ausführlichere Zusammenfassung der benötigten Begriffe zur Verfügung. Funktion unter der Lupe.jpg

Funktionen unter der Lupe

Aufgabe 1

a) Zoomen Sie vermehrt an den Punkt A. Was stellen Sie fest? Beschreiben sie Ihre Beobachtung?


b) Was erwarten Sie, wenn Sie an den Punkt B zoomen? Überprüfen Sie Ihre Vermutung mit dem Applet. Beschreiben Sie Ihre Vermutung und was Sie festgestellt haben.


c) An welchen Stellen des Funktionsgraphen würde es beim Hineinzoomen ebenfalls so aussehen wie um den Punkt B?
Lokal linear
Wenn man beim Hineinzoomen in einen Funktionsgraphen bemerken, dass dieser aussieht wie eine Gerade, nennen wir diese Funktion an diesem Punkt lokal linear .

Aufgabe 2

In dieser Aufgabe werden Sie Funktionen untersuchen in denen die lokale Linearität nicht auf Anhieb ersichtlich ist. Geben Sie im Applet die kritischen Punkte ein die Sie untersuchen möchten und überprüfen Sie die lokale Linearität durch Hineinzoomen.
a) zum Applet
b) zum Applet
c) zum Applet

d) Notieren Sie sich Ihre Erkenntnis, die Sie in dieser Aufgabe gewonnen haben.

Aufgabe 3

Nun werden Sie mit Hilfe des Funktionenmikroskop die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Punkt bestimmen.
a) Zoomen Sie in diesem Applet vermehrt in den Punkt A hinein und schieben Sie B durch Verkleinerung von h näher an A heran. Berechnen Sie mit Hilfe des Differenzenquotienten die Steigung, die der Graph ,,im" Punkt A hat so genau wie möglich.
Tipp: Mit den Pfeiltasten lässt sich der Schieberegler feiner ändern.

Hier die Lösung der Rechnung
Differentialquotient

Der Differenzenquotient kommt der Steigung im Punkt beliebig nahe, je näher der Null kommt.

Dieser Grenzwert des Differenzenquotienten ist der Differentialquotient .
Der Differentialquotient wird auch als Ableitung der Funktion an der Stelle bezeichnet.

b) Welches Problem kann bei der Verschiebung von B gegen A (Verkleinerung von h) auftreten? Was muss für die Bestimmung der Steigung für h gelten?

c) Betrachten Sie in diesem Applet die Sekante durch die Punkte A und B und verschieben Sie erneut den Punkt B in Richtung A. Beschreiben Sie mit Hinblick auf den Graphen die Gerade die entsteht.
Hier die Lösung
Tangente
Die Gerade, die den Graphen von am Punkt berührt und die gleiche Steigung wie der Graph von in diesem Punkt hat, nennt man die Tangente von am Punkt .

Die Tangente als lokale lineare Approximation


Aufgabe 4

Wie du in den Aufgaben zuvor schon gesehen hast, lässt sich der Graph der Funktion in einer kleinen Umgebung sehr gut durch die Tangente nähern.
Wir betrachten die Funktion , die Tangente der Funktion am Punkt mit und die Abweichung von .

a) Für welche Werte von h lassen sich die Werte der Funktion durch die der Tangente gut annähern? Entscheiden Sie mit Hilfe des Applets und interpretieren Sie die rote Strecke.
b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente mit Hilfe des Differentialquotienten.

c) Bestimmen Sie durch Berechnung des Approximationsfehlers einen h-Wert für eine ,,gute" und ein h-Wert für eine ,,schlechte" Näherung durch die Tangente.


Aufgabe 5
Bestimmen Sie durch Addition der farbigen Strecken die allgemeine Gleichung zur Berechnung der Werte für . Nutzen Sie als Hilfe das folgende Applet.

Approximation farbliche Strecken.png

Aufgabe 6
Lassen Sie nun den Approximationsfehler für kleine h außer Acht und betrachten die Näherungsfunktion Stellen Sie die Gleichung nach um. Was fällt Ihnen auf?