Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Zusammenfassung Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff

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Auf dieser Seite finden Sie die Grundvorstellungen, die Sie sich in diesem Lernpfad selbst erschließen können in einer detaillierten Zusammenfassung.

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Die Ableitung als lokale Änderungsrate

Die Grundvorstellung der Ableitung als lokale Änderungsrate baut auf dem Verständnis von Änderungsprozessen auf, die bereits in der Sekundarstufe 1 behandelt wurden. Es wird nun also neben der absoluten Änderung $f(x_1)-f(x_0)$und der mittleren (durchschnittlichen) Änderungsrate $\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$die lokale Änderungsrate $f'(x_0) = \lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$beschrieben.

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Wie auch in der Bearbeitung des Lernpfades lässt sich diese Grundvorstellung am besten mit einem Weg-Zeit-Zusammenhang erschließen.

So entspricht im Kontext eines Weg-Zeit-Zusammenhangs die absolute Änderung der Wegzunahme vom Zeitpunkt $x_0$bis $x_1$die mittlere Änderungsrate der mittleren (durchschnittlichen) Geschwindigkeit im Intervall $[x_0,x_1]$.

Durch sukzessive Verkleinerung dieses Intervalls lässt sich dann einer Stelle $x_0$eine lokale (momentane) Änderungsrate zuschreiben, die der momentanen Geschwindigkeit entspricht.

Der Begriff der Änderungsrate beruht auf vielfältigen Erfahrungen mit der Beschreibung von Änderungsprozessen. In der Sekundarstufe I wird neben der absoluten Änderung f.x1/ � f.x0/ auch die relative (oder auch mittlere) Änderungsrate f.x1/�f.x0/ x1�x0 betrachtet, beispielsweise bei der Diskussion über Durchschnittsgeschwindigkeiten oder bei derBerechnungvonGeradensteigungenmithilfevon Steigungsdreiecken.

Mittlere Änderungsraten beziehen sich immer auf ein Intervall und können mithilfe des Differenzenquotienten berechnet werden. Dieses Intervall kann systematisch verkleinert werden, sodass man letztlich einer Stelle ein lokales Änderungsverhalten mithilfe des Grenzwertes zuschreiben kann.