Zentrische Streckung/Eigenschaften der zentrischen Streckung/4.Station

1. Station: Fixelemente - 2. Station: Geradentreue und Parallelentreue - 3. Station: Winkeltreue, Längentreue und Flächeninhaltstreue - 4. Station: Längenverhältnistreue - 5. Station: Kreistreue - 6. Station: Zusammenfassung - 7. Station: Übung

4. Station: Längenverhältnistreue

Längenverhältnistreue liegt vor, wenn das Längenverhältnis der Bildstrecke gleich dem der Urstrecke ist.

Arbeitsauftrag:

1.Berechne den Streckungsfaktor k.
2.Berechne $\overline{A'P'}$ und $\overline{P'B'}$ .

3.Berechne ${\overline{AP}\over\overline{PB}}$ und ${\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}$ . Runde auf 2 Nachkommastellen.

Mit Hilfe des folgenden Lückentextes kannst du den Arbeitsauftrag lösen.

Denk konzentriert nach und setze die richtige Aussage in die passende Lücke ein, um die Ergebnisse berechnen zu können:

1.
|k| = $\overline{ZB'}$ : $\overline{ZB}$
Einsetzen der Werte:
|k| = 6 : 3 = 2 (Berechne das Ergebnis mit dem Taschenrechner)
2.
$\overline{A'P'}$ = $\mid k \mid$ $\cdot$ $\overline{AP}$
Einsetzen der Werte:
$\overline{A'P'}$ = 2 $\cdot$ 0,7 cm = 1,4 cm (Berechne das Ergebnis mit dem Taschenrechner)

$\overline{P'B'}$ = $\mid k \mid$ $\cdot$ $\overline{PB}$
Einsetzen der Werte:
$\overline{P'B'}$ = 2 $\cdot$ 1,5 cm = 3 cm (Berechne das Ergebnis mit dem Taschenrechner)
3.
Einsetzen der Werte:
${\overline{AP}\over\overline{PB}}$ = ${\overline{0,7 cm}\over\overline{1,5 cm}}$ = 0,47 cm (Berechne das Ergebnis mit dem Taschenrechner)
${\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}$ = ${\overline{1,4 cm}\over\overline{3 cm}}$ = 0,47 cm (Berechne das Ergebnis mit dem Taschenrechner)

Das hast du super gemeistert!

Warum ist

{\overline{AP}\over\overline{PB}}

=

{\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}

?

Für $\overline{AP}$ kann man auch $\mid k\mid \cdot \overline{A'P'}$ und für $\overline{PB}$ kann man $\mid k\mid \cdot \overline{P'B'}$ einsetzen.
Daraus folgt: ${\overline{AP}\over\overline{PB}} ={{|k|}\over{|k|}}\cdot$ ${\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}$ .
$\mid k\mid$ kann man rauskürzen, so dass ${\overline{AP}\over\overline{PB}}$ $= {\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}$ gilt.