Zentrische Streckung/Eigenschaften der zentrischen Streckung

Vorlage:Lernpfad-M

1. Station: Fixelemente

Für k$\not=$1 gilt:

Das Streckungszentrum Z ist Fixpunkt, da es immer auf sich selbst abgebildet wird.

Betrachte das Bild und überleg dir, wie die Geraden f' und g' verlaufen, wenn man f und g an dem Zentrum Z zentrisch streckt.

Datei:Porzelt Fixgerade.jpg

Hier kannst du deine Lösung mit der von Dia vergleichen:

Lösung anzeigen

f' wird auf f und g' wird auf g abgebildet. Geometrisch bedeutet dies: f=f' und g=g'.

Panto will auch etwas dazu sagen. Lass es dir anzeigen:

Vorlage:Versteckt

2. Station: Geradentreue und Parallelentreue

• Geradentreue bedeutet, wenn das Bild einer Geraden ebenfalls auf eine Gerade abgebildet wird.
• Parallelentreue liegt vor, wenn das Bild einer parallelen Geraden wieder auf eine parallele Gerade abgebildet wird.

Hier siehst du einen Punkt P der auf der Geraden g verläuft. P wird durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z

auf den Punkt P' abgebildet.

Arbeitsauftrag

Schritt 1: Bewege den Punkt P auf der Geraden g und beobachte die Spur die der Punkt P' hinterlässt.

Schritt 2: Änder den Streckungsfaktor und wiederhole Schritt 1.

Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.

1 Was zeigen die roten Spuren, die du gezeichnet hast? Geraden Dreiecke Ich sehe keine Spuren. 2 Ist die zentrische Streckung geradentreu? Ja Nein

Um herauszufinden bei einer zentrische Streckung, ob eine Urstrecke auf eine parallele Bildstrecke mit

|k|-facher Länge abgebildet wird, musst du dir das nächste Applet anschauen.

Arbeitsauftrag:

Klicke Schritt 1 an. Es wird eine Hilfsstrecke [ZP] mit [ZP] || [AB] und AB = A'B' eingezeichnet.

Klicke Schritt 2 an. [ZH] wird zentrisch gestreckt, so dass gilt: ZP' = |k| ∙ ZP

Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.

Setze in die Lücken richtig ein: Das Viereck ZA'B'P' ist ein . Mit ZP' = und = AB. Daraus folgt durch einsetzen in die Gleichung zur in Schritt 2: A'B' = ∙ ZPParallelogramm|k|A'B'AB neu starten

<b>Ist die zentrische Streckung parallelentreu?</b>

1. Ja
2. Nein

prüfen!

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3. Station: Winkeltreue, Längentreue und Flächeninhaltstreue

• Winkeltreue bedeutet, wenn alle Bildwinkel genauso groß sind wie die Urbildwinkel.
• Ebenso gilt für die Längentreue, dass alle Bildstrecken genauso lang sind wie die Urbildstrecken.
• Flächeninhaltstreue liegt vor, wenn der Flächeninhalt des Bildes genauso groß ist, wie der Flächeninhalt des Urbildes.

In diesem Applet siehst du ein Dreieck, dass um k= 3.5 zentrisch gestreckt wurde. Lass dir das Winkelmaß,

die Streckenlängen und den Flächeninhalt nacheinander anzeigen.

Arbeitsauftrag:

Vergleiche die Werte und überlege, welche Eigenschaften zutreffen.

Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.

<b>Welche Eigenschaften treffen auf die zentrische Streckung zu?</b>

1. Längentreue
2. Winkeltreue
3. Flächeninhaltstreue

prüfen!

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Nur wie kann man jetzt den Flächeninhalt des zentrisch gestreckten Dreiecks berechnen?

Finde es durch Umformung heraus! Setze dafür die richtigen Aussagen in die passenden Lücken ein:

A$\Delta$ABC = 0,5 ∙ AB ∙ h A$\Delta$A'B'C' = 0,5 ∙ A'B' ∙ h' A$\Delta$A'B'C' = 0,5 ∙ |k| ∙ ∙ ∙ A$\Delta$A'B'C' = ∙ 0,5 ∙ AB ∙ h A$\Delta$A'B'C' = ∙ |k|²|k|²ABh|k|A$\Delta$ABC neu starten

4. Station: Längenverhältnistreue

Längenverhältnistreue liegt vor, wenn das Längenverhältnis der Bildstrecke gleich dem der Urstrecke ist.

Arbeitsauftrag: Berechne den Streckungsfaktor k. Berechne A'P' und P'B'. Berechne ${\overline{AP}\over\overline{PB}}$ und ${\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}$. Runde auf 2 Nachkommastellen.

Um herauszufinden ob deine Lösungen richtig sind, klicke hier die Lösung an:

1 Der Streckungsfaktor k beträgt:

	2.0
	1.5
	3.0

2 A'P' beträgt:

	1.4 cm
	1.5 cm
	1.3 cm

3 P'B' beträgt:

	3.0 cm
	2.0 cm
	2.5 cm

4 ${\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}$ beträgt:

	0.47
	0.50
	1.00

5 ${\overline{AP}\over\overline{PB}}$ beträgt:

	0.47
	0.52
	0.45

Warum ist ${\overline{AP}\over\overline{PB}}$ = ${\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}$?

Für $\overline{AP}$ kann man auch und für $\overline{PB}$ kann man einsetzen.
Daraus folgt: ${\overline{AP}\over\overline{PB}}$ = ∙ . |k| kann man rauskürzen, so dass = ${\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}$ gilt.

${{|k|}\over{|k|}}$|k| ∙ $\overline{P'B'}$${\overline{AP}\over\overline{PB}}$${\overline{A'P'}\over\overline{P'B'}}$|k| ∙ $\overline{A'P'}$

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<b>Ist die zentrische Streckung längenverhältnistreu?</b>

1. Ja
2. Nein

prüfen!

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5. Station: Kreistreue

Kreistreue bedeutet, wenn das Bild eines Kreises ebenfalls ein Kreis ist.

Mit Hilfe dieses Applets kannst du einen Kreis zentrisch um den Faktor m = 3 strecken. Finde heraus,

ob die zentrische Streckung kreistreu ist.

Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.

Es gilt: $\overline{PM}$ = r
Deshalb kann man schreiben: $\overline{P'M'}$ = ∙ = r'
Der Bildpunkt P' liegt auf einem um M' mit Radius r' = |m| ∙ .

Kreis k'r|m|$\overline{PM}$

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<b>Ist die zentrische Streckung kreistreu?</b>

1. Ja
2. Nein

prüfen!

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6. Station: Zusammenfassung

Hier ist alles was du bisher herausgefunden hast zusammengefasst. Übertrage diese Zusammenfassung in dein Heft.

Eigenschaften der zentrischen Streckung
Jede Gerade die durch das Zentrum Z verläuft, wird auf sich selbst abgebildet. Sie ist eine Fixgerade.
Jede Gerade, die nicht durch das Zentrum Z verläuft, wird auf eine parallele Bildgerade abgebildet. Sie ist parallelentreu.
Die Bildstrecke ist |k|-mal so lang wie die Urstrecke. Sie ist also nicht längentreu.
Jedoch ist sie längenverhältnistreu.
Die zentrische Streckung ist geradentreu, winkeltreu und kreistreu.
Der Flächeninhalt der Bildfigur beträgt das |k|²-fache des Flächeninhalts der Urfigur. (A_{$\Delta$A'B'C'} = |k|² ∙ A_$\Delta$ABC)
Die zentrische Streckung ist deshalb nicht flächeninhaltstreu.

7. Station: Übung

Mit Hilfe der Eigenschaften Geradentreue und Parallelentreue kann man Figuren wie folgt konstruieren:

Zeichne ein Koordinatensystem (0 $\le$ x $\le$ 14;-3 $\le$ y $\le$ 6) mit dem Dreieck PQR und dem Zentrum Z in dein Heft.

(Die Koordinaten für die Punkte kannst du im Bild ablesen.)

1. Bilde den Punkt R wie gewohnt auf R' ab.
2. Zeichne die Parallele zu RP durch R' ein. Sie schneidet [ZP im Punkt P'.
3. Jetzt kennst du 2 Möglichkeiten um Bildpunkte zu konstruieren. Entscheide selbst, wie du den Punkt Q' konstruierst.

Hier kannst du deine Lösung mit der von Dia vergleichen: