Quadratische Funktionen/Kapitel 1: Die Quadratische Funktion stellt sich vor

Auf gehts:

Heute lernen wir eine neue Klasse von Funktionen kennen!

Es handelt sich dabei um die "Quadratische Funktion".

Aus der 8. Jahrgangsstufe kennst du die "Lineare Funktion".

STATION 1: Einführung und Eigenschaften der quadratischen Funktion

Wir erarbeiten und jetzt die Eigenschaften der quadratischen Funktionen, in dem wir die "Lineare Funktion" mit der "Quadratischen Funktion" vergleichen.

Bearbeite mit Hilfe der zwei Grafiken die danach folgenden Aufgaben:

Funktionsgraphen

Aufgaben

Lineare Funktion Quadratische Funktion

1.Aufgabe: Betrachte die beiden Graphen und löse damit das Quiz! Löse das Quiz: Betrachte den Anstieg beider Graphen. Welche Aussagen treffen zu? (Die lineare Funktion hat einen konstanten Anstieg) (!Die quadratische Funktion hat einen konstanten Anstieg) (!Die lineare Funktion hat keinen Anstieg) (Der Anstieg der quadratischen Funktion ist nicht konstant) Wie bezeichnet man den Graph der jeweiligen Funktion? (!Die lineare Funktion ist ein Kreis) (!Die quadratische Funktion ist eine Gerade) (Die quadratische Funktion ist eine Parabel) (Die lineare Funktion ist eine Gerade) Untersucht man beide Graphen auf Symmetrie, zu welchem Ergebnis gelangt man? (!Die lineare Funktion ist symmetrisch zur y-Achse) (Die quadratische Funktion ist symmetrisch zur y-Achse) (!Die quadratische Funktion hat keine Symmetrieachse) (Die lineare Funktion hat keine Symmetrieachse) Betrachte die Form der Graphen, welche Aussage ist zutreffend? (Die quadratische Funktion besitzt eine Öffnung nach oben) (!Die lineare Funktion besitzt eine Öffnung) (Die quadratische Funktion hat einen tiefsten Punkt und zwar im Koordinatenursprung) (Die lineare Funktion hat keinen tiefsten Punkt) 2.Aufgabe: Mit dieser Aufgabe sollen nun die Eigenschaften der quadratischen Funktion festgehalten werden. Ziehe dafür die möglichen Lösungen mit gehaltener linker Maustaste in die Felder. Los geht’s!! - Ordne die richtigen Begriffe zu: Anders als bei den linearen Funktionen ist die Steigung der Parabel nicht konstant. Es lässt sich feststellen, dass die Parabel symmetrisch zur y-Achse und nach oben geöffnet ist. Die quadratische Funktion besitzt zudem einen tiefsten Punkt im Koordinatenursprung bei Punkt S $(0\!\,|\!\,0)$. Dieser Punkt wird als Scheitelpunkt S oder kurz Scheitel bezeichnet.

Merke

Die quadratische Funktion:

• Der Graph der quadratischen Funktion ist eine Parabel
• Sie hat eine nicht konstante Steigung
• Ihr Graph ist symmetrisch zur y-Achse und nach oben geöffnet
• Der tiefste Punkt ist der Scheitelpunkt S welcher im Koordinatenursprung bei Punkt $S(0\!\,|\!\,0)$ liegt.

STATION 2: Die Funktionsvorschrift der quadratischen Funktion

Bisher haben wir uns nur den Graph und seine Eigenschaften der quadratischen Funktion angeschaut, aber was für eine Funktionsvorschrift verbirgt sich dahinter? Wir wollen es diemal anders machen. Du bekommst jetzt das Ergebnis vorgestellst und musst dir dann mit dessen Hilfe den Sachverhalt der Funktion an einer Aufgabe graphisch erarbeiten.

Merke

Die quadratische Funktion besitzt die Funktionsgleichung der Form:

                 f(x)$=$x2

Dabei ergibt sich jeder y-Wert aus dem Quadrat des x-Wertes.
Es gilt: f(x) $=$ y

Aufgabe:

Du siehst hier zwei Koordinatensysteme. In jedes Koordinatensystem sind Punkte eingezeichnet, die du nach oben oder nach unten verschieben kannst. Desweiteren siehst du ein Kontrollkästchen "Graph an", mit dem du den Graph zur Überprüfung einblenden kannst.

Verschiebe nun die Punkte so, dass sie genau auf dem jeweiligen Graph liegen und überprüfe dann dein Ergebnis durch klicken auf das Kontrollkästchen.

Beginne zunächst als Wiederholung mit der linearen Funktion f(x) = x und löse dann die das zweie Koordinatensystem der quadratischen Funktion f(x) = x².

Lineare Funktion	Quadratische Funktion
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.	Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.

STATION 3: Besondere Eigenschaft der quadratischen Funktion

KNIFFELAUFGABE:

Du kennst zwar schon die Eigenschaften der Normalparabel, aber eine Eigenschaft soll genauer herausgehoben werden. Dazu musst du eine kleine Kniffelaufgabe lösen. Keine Angst, sie ist nicht allzu schwer.

Überprüfe welche der folgenden Aussagen richtig oder falsch sind und finde das richtige Ergebnis für x = 3.

Betrachtet werden soll natürlich die quadratische Funktion f(x) = x²

	Vorgabe	Richtig/Falsch	Begründung
1.	-f[x]$=$ f[x]	falsch	weil -9 $\not=$ 9
2.	f[-x]$=$ f[x]	richtig	weil 9 $=$ 9
3.	-f[x]$=$ f[-x]	falsch	weil -9 $\not=$ 9
4.	-f[-x]$=$ f[x]	falsch	weil -9 $\not=$ 9

Was sagt dir dieses Ergebnis? (!Nichts) (Das Ergebnis zeigt die Symmetrieeigenschaft der quadratischen Funktion) (Jedem x-Wert, egal ob positiv oder negativ, wird der selbe y-Wert zugeordnet)

Merke

Aufgrund der Symmetrieeigenschaft der quadratischen Funktion gilt:

             f(-x)$=$f(x), da (-x)2$=$(x)2

Hierbei wird jedem x-Wert egal ob positiv oder negativ, der gleiche y-Wert zugeordnet.

Hier ist nun die Einführung der quadratischen Funktion abgeschlossen.

In den folgenden Lerneinheiten wird dann mit dieser Parabel gearbeitet. Neue Parameter werden die Parabel verändern, aber siehe selbst!!