Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Vorwissen

Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen

1. Zufallsexperiment, Ergebnis und Ereignis, Laplace-Wahrscheinlichkeit
2. „Gustavs Glücksspiel“
   
3. Das „Drei-Würfel-Problem“
4. Die „Würfel von Efron“
5. Das „Ziegenproblem“

Zufallsexperiment

Aufgaben 1.1

Weißt du noch, was genau ein Zufallsexperiment ist? Schreibe es auf!

Versuche dich zu erinnern und schreibe eine möglichst genaue Beschreibung des Begriffs "Zufallsexperiment" auf. Informiere dich wenn nötig in deinen Unterlagen aus der Schule oder recherchiere im Internet danach.

Zufallsexperiment

Ein realer, stochastischer Vorgang heißt Zufallsexperiment, wenn:

• das Experiment unter exakt festgelegten Bedingungen, denn sogenannten Versuchsbedingungen, durchgeführt wird,
• die möglichen Ergebnisse (Ausgänge) vor der Durchführung des Experiments bekannt sind,
• das Experiment beliebig oft unter identischen Bedingungen wiederholt werden kann.

Aufgabe 1.2

Welche der folgenden Beispiele sind Zufallsexperimente? Kreuze die richtigen Antworten an und klicke anschließend auf „prüfen!“

(Ziehung der Lottozahlen) (Schere, Stein, Papier) (!Wettervorhersage) (!Elfmeterschießen im WM-Finale) (dreimaliges Werfen eines Würfels) (ein Marmeladenbrot fällt vom Tisch) (!Benotung deiner Klassenarbeit) (Werfen einer Münze) (Werfen eines gezinkten Würfels) (!Geschwindigkeitsmessung der Polizei) (!physikalisches Experiment)

Aufgabe 1.3

Anna wirft mit ihrem Banknachbar Fritz eine Münze, um zu entscheiden wer morgen das Mathebuch in die Schule mitbringen muss. Lege für die beiden die oben angesprochenen Versuchsbedingungen vor dem Zufallsexperiment „Münzwurf“ fest.

Es wird festgelegt, dass die Münze auf den gebeugten Zeigefinger gelegt und mit dem Daumen in die Luft geschnipst werden soll. Die Münze wird gefangen und auf den Handrücken gelegt. Die Seite gewinnt, welche nach der Landung oben liegt.

Ergebnis und Ereignis

Zur korrekten mathematischen Beschreibung von Zufallsexperimenten benötigt man eine formale Sprache.

In der folgenden Aufgabe, kannst du am Beispiel des Würfelwurfs kontrollieren, ob du die richtige Schreibweise beherrschst.

Aufgabe 1.4

Orden die Begriffe, Schreibweisen und Beispiele richtig zu! Ziehe dazu die grünen Kästchen in die richtige Zeile.

Fallen dir noch mehr Beipiele ein?

$\omega_i$	Ergebnis	6
$E$	Ereignis	$\left\{2,4,6\right\}$
Elementarereignis	$\left\{6\right\}$	$\left\{\omega\right\}$
$\Omega$	Ergebnismenge	$\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$
Gegenereignis	$\overline{E}$
unmögliches Ereignis	$\emptyset$
Mächtigkeit des Ergebnisraums	$\left| \Omega \right|$

• Ergebnis

  Man bezeichnet die einzelnen Ergebnisse (Ausgänge) eines Zufallsexperiments mit $\omega_1,\omega _2,\omega _3,...,\omega_n$.

• Ergebnismenge

  Die Menge aller Ergebnisse bezeichnet als Ergebnismenge (man sagt auch auch Ergebnisraum oder Grundraum) $\Omega=\left\{\omega_1,\omega _2,\omega _3...\omega_n\right\}$.

• Ereignis

  Jede Teilmenge $E\subseteq\Omega$ wird als Ereignis bezeichnet. Ein Ereignis ist also eine Menge von Ergebnissen. Mehrere Ereignisse kann man mit $E_1,E_2,E_3,...$ benennen. Ein Ereignis $E$ tritt ein, wenn das Ergebnis des Zufallsexperiments in der Menge $E$ enthalten ist.

• Elementarereignis

  Eine einelementige Teilmenge $\left\{\omega_i\right\},i=1,...,n$ der Ergebnismenge $\Omega$ ist ein Elementarereignis.

• sicheres Ereignis

  Ganz sicher tritt das Ereignis $\Omega=\left\{\omega_1,\omega _2,\omega _3...\omega_n\right\}$ ein. (Sicherlich ist $\Omega$ eine Teilmenge von sich selbst.)

• unmögliches Ereignis

  Das Ereignis das nie eintritt, ist die leere Menge $\emptyset$. (Auch das ist eine Teilmenge von $\Omega\ .$)

• Gegenereignis

  Bildet man aus allen Elementen von $\Omega$, die nicht in $E$ enthalten sind ein Ereignis, so erhält man das Gegenereignis  $\overline{E}=\Omega\setminus E\ .$ (man sagt auch Komplement)

• Mächtigkeit

  Anzahl der Elemente einer Menge, z.B. eines Ereignisses: $\left| E \right|=3\cdot 3\cdot 3=3^3$

Aufgabe 1.5

Bestimme für die folgenden vier Zufallsexperimente eine geeignete Ergebnismenge $\Omega$.

Kreuze zur Überprüfung jeweils dessen Mächtigkeit $n= \vert \Omega \vert$ an.

1 Eine Münze und ein Würfel werden gleichzeitig geworfen.

	8
	12
	36

2 Es wird dreimal gewürfelt.

	18
	56
	216

3 Drei Münzen und zwei Würfel werden geworfen.

	72
	216
	288

4 Aus einer Urne, die jeweils fünf blaue, rote und grüne Kugeln enthält, werden nacheinander drei Kugeln gezogen.

	9
	27
	72

Lösungshinweise:

• $\left|\Omega_1\right|=2\cdot 6$
• $\left|\Omega_2\right|=6\cdot 6\cdot 6=6^3$
• $\left|\Omega_3\right|=2\cdot 2\cdot 2\cdot 6\cdot 6=2^3\cdot 6^2$
• $\left|\Omega_4\right|=3\cdot 3\cdot 3=3^3$

Aufgabe 1.6

a) Notiere dir für folgende Ergebnismengen alle Ereignisse. Wie viele sind es jeweils? Kannst du ein Gesetz erkennen?

$\quad \Omega_1=\left\{1\right\},\qquad \Omega_2=\left\{1,2\right\},\qquad \Omega_3=\left\{1,2,3\right\},\qquad \Omega_4=\left\{1,2,3,4\right\}$

b) Wie viele Ereignisse gibt es bei dem Zufallsexperiment „Werfen von drei Münzen“?

a)

• $\Omega_1\ \mathrm{besitzt\ } 2\ (=2^1)\ \mathrm{Ereignisse.}$  (Das sichere und das unmögliche Ereignis)
• $\Omega_2\ \mathrm{besitzt\ } 4\ (=2^2)\ \mathrm{Ereignisse.}$
• $\Omega_3\ \mathrm{besitzt\ } 8\ (=2^3)\ \mathrm{Ereignisse.}$
• $\Omega_4\ \mathrm{besitzt\ } 16\ (=2^4)\ \mathrm{Ereignisse.}$

a) Das vermutete Gesetz lautet:

$\mathrm{Zu\ jedem\ } \Omega\ \mathrm{gibt\ es\ } 2^{\vert \Omega \vert }\ \mathrm{verschiedene\ Ereignisse.}$

b) $\left|\Omega\right|=8 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{Es\ gibt\ } 2^8=256\ \mathrm{Ereignisse\ .}$

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) war ein Physiker und Mathematiker, unter anderem auch am Hofe Napoleons. Er beschäftigte sich mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung, vor allem in Verbindung mit dem Glücksspiel.

Aufgabe 1.7

Schreibe auf, was man unter den Begriffen Laplace-Experiment, Laplace-Würfel und Laplace-Wahrscheinlichkeit versteht!

Laplace-Experiment

Haben alle Ergebnisse eines Zufallsexperiments die gleiche Wahrscheinlichkeit, dann spricht man von einem Laplace-Experiment.

Beispiel: Ziehung der Lottozahlen.

Laplace-Würfel

Ist ein Würfel ungezinkt, fair, oder symmetrisch, so spricht man von einem Laplace-Würfel. Jede Augenzahl wird mit der Wahrscheinlichkeit  $\frac{1}{6}$  gewürfelt.

Achtung: In der Realität gibt es keinen echten Laplace-Würfel, aufgrund von Symmetrieeigenschaften. Eine Geldmünze ist aus dem selben Grund keine echte Laplace-Münze.

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Die Laplace-Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E, ist gegeben durch den Quotienten

$p(E) = \frac { \mathrm{Anzahl\ der\ f\ddot{u}r\ E\ g\ddot{u}nstigen\ Ergebnisse} } { \mathrm{Anzahl\ der\ m\ddot{o}glichen\ Ergebnisse} } = \frac{\vert E \vert }{\vert \Omega \vert }.$

Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit mit einem Spielwürfel eine gerade Zahl zu würfeln beträgt  $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\ .$

„Racing Game with One Die“ (Rennspiel mit einem Würfel)

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Hast du Lust auf eine kurzes Laplace-Experiment zu zweit, oder gegen den Computer?

Racing Game with One Die ist ein Autorennspiel auf einer englischsprachigen Internetseite (dazu muss Java installiert sein).

Mit Hilfe des einfachen Würfelwurfs wird entschieden, welches Auto nach vorne fahren darf.

Anleitung:

• Öffne den Link in einem neuen Fenster.
• Entscheidet euch im mittleren Kasten, wer von euch das rote oder das blaue Auto „fährt“.
• Klickt nun im oberen Kasten so oft auf den Buton „Roll Die“, bis ein Auto über die Ziellinie fährt!
  Es ist voreingestellt, dass rot bei ungerader Augenzahl fährt („Red moves on“) und blau bei gerader Augenzahl weiterkommt.
• Wenn ihr auf den Button „Restart“ klickt, kann es von vorne los gehen.
• Verändere die Einstellungen nach deinen Wünschen:
  • Mit dem Schieberegler „Race segments“ stellt ihr die Länge der Rennbahn, also die Anzahl der Spiele ein.
  • Jetzt müsst ihr noch untereinander aushandeln, bei welchen Augenzahlen euer Auto fahren darf.
  • Im unteren Kasten könnt ihr viele Rennen auf einmal durchführen lassen.

Auf die Plätze, fertig, los!

Aufgabe 1.8

Anna würfelt mit zwei unterscheidbaren Würfeln.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie einen Pasch würfelt?

Lösungshilfe:

Übertrage die Tabelle auf dein Blatt. In die Lücken gehören alle Ereignisse des zweifachen Würfelwurfs eingetragen. Kannst du sie vervollständigen?

Man kann aus der Tabelle prima die Ergebnismenge und das Ereignis „Pasch“ ablesen:

Man sagt dazu „36-Feldertafel“, auf Grund der Mächtigkeit der Ergebnismenge.

$\Omega=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),...,(6,5),(6,6)\}, \quad \vert \Omega \vert = 6^2 = 36$

$E_{Pasch} = \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}, \quad \vert E_{Pasch} \vert = 6$

$\Rightarrow \quad p(E_{Pasch}) = \frac{6}{36} =\frac{1}{6}\ .$

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