Trigonometrische Funktionen/Didaktischer Kommentar
Kurzübersicht
Der Lernpfad besteht aus zwei unabhängigen Mini-Lernpfaden, die Station 1 und 2 genannt werden, sowie Anwendungen mit vertiefenden Aufgaben.
(*) Genauere Erläuterungen folgen. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Technische Voraussetzungen
Die GeoGebra-Applets benötigen Java. Dies kann kostenlos von www.java.com heruntergeladen werden.
Kenntnisse und Handhabung von GeoGebra erleichtern die Arbeit am Lernpfad. GeoGebra kann kostenlos von www.geogebra.at herungergeladen werden.
Aufbau des Lernpfads
Die GeoGebra-Applets bieten vielfältige Möglichkeiten, mathematische Zusammenhänge experimentell zu erkunden. So können die SchülerInnen in der ersten Station selbstständig den Einfluss der Variation der Parameter einer allgemeinen Sinus- und Kosinusfunktion auf das Aussehen ihrer Graphen erforschen und erleben. Wie man umgekehrt aus den Graphen die zugehörigen Parameter bestimmt, erfahren die SchülerInnen in der Station zwei. Um das unterschiedliche Lerntempo auszugleichen, bietet am Ende der zweiten Station eine Zusatzaufgabe den schnelleren SchülerInnen die Möglichkeit, die evtl. übrige Zeit sinnvoll zu nutzen. Normalerweise werden die SchülerInnen die Stationen in der vorgegebenen Reihenfolge vollständig bearbeiten. Aber es ist natürlich auch möglich, nur eine der Stationen in den Unterricht einzubauen. Bei den Anwendungen können die SchülerInnen - anhand von Anwendungsbeispielen - die in Station 1 und 2 erworbenen mathematischen Kenntnisse festigen und lernen dabei auch unterschiedliche Variablenbezeichnungen zu identifizieren.
Kompetenzen
Bei Station 1 und Station 2 soll Neues erlernt werden. Daher stehen hauptsächlich die Kompetenzen Operieren und Interpretieren im Vordergrund.
Die SchülerInnen können für diesen Funktionstyp verschiedene Darstellungen angeben. Sie erkennen den Zusammenhang Graph und Formel als verschiedene Darstellungsformen und können zwischen diesen Darstellungen wechseln.
Für durch Gleichungen gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen können mit Kenntnis der Parameter Graphen gezeichnet und aus Graphen können die Parameter ermittelt werden.
Die Bedeutung der Parameter für den Funktionsterm und den Graphen können im Kontext gedeutet und richtig interpretiert werden.
Aus Graphen und Gleichungen von allgemeinen Sinusfunktionen können Werte(paare)ermitteln und im Kontext gedeutet werden.
Bei den Anwendungen wird das erworbene Wissen angewendet. Die SchülerInnen müssen die gegebene Situation modellieren und ihre Kenntnise auf den Sachverhalt transferieren.
Je nach eingesetzter Methode, wie Gruppenarbeit, Expertenteams, "Pferdestalle" sind auch die Kompetenzen Argumentieren und Kommunizieren angesprochen.
Da die SchülerInnen selbstständig Hefteinträge erstellen müssen, dokumentieren sie auch.
Insgesamt werden alle Handlungskompetenzen
Modellieren - Transferieren - Operieren - Interpretieren - Dokumentieren - Argumentieren - Kommunizieren
genutzt, gefordert und gefördert.
Genderaspekte
Mit Blick auf die Genderproblematik wurde bei den Stationen 1 und 2 darauf geachtet, dass sie Mädchen und Jungen gleichermaßen ansprechen. Bei den Anwendungen kann man annehmen, dass fächerübergreifende Physik-Ecke mehr auf auf die Interessen von Jungen ausgerichtet sein wird. Dagegen spricht "Marie und ihre Freundinnen" sicher Mädchen an. Deshalb kann bei den Anwendungen je nach Interessenlage ausgewählt werden, ob man physikalische Themen oder andere Themen bearbeiten will. Hierbei soll keinesfalls den Schülerinnen unterstellt werden, dass sie physikalisch uninteressiert wären.
Aufgaben und Lösungen
Zu fast allen Aufgaben sind Lösungen angegeben. Die SchülerInnen haben so die Möglichkeit, ihre Antworten selbst zu kontrollieren. Die Lösungen stehen allerdings nicht unmittelbar nach der jeweiligen Aufgabe, sondern am Ende der zu bearbeitenden Seite. So soll verhindert werden, dass sich die SchülerInnen gleich nach dem Lesen der Aufgabe die Lösung anschauen.
Hefteintrag
Es ist sinnvoll, dass die SchülerInnen nach dem Bearbeiten des Lernpfades über Notizen verfügen, anhand derer Sie das Gelernte wiederholen können. Deshalb wurden in den Stationen 1 und 2 Hefteinträge integriert. Die entsprechenden Texte sind gelb hinterlegt und sollen von den SchülerInnen übernommen werden. Dabei empfiehlt es sich aus Gründen der Übersichtlichkeit das Heft im Querformat zu verwenden. Hinweise zum Hefteintrag sind für die SchülerInnen zusätzlich im Lernpfad integriert.
Avatar
Um SchülerInnen entgegenzukommen, denen es schwer fällt, die Bedeutung schriftlicher Texte zu verstehen, weil etwa ihre Lesekompetenz nur schwach ausgeprägt ist oder sie an Legastenie oder einer Sehbehinderung leiden, wurden in den Lernpfad Videos eingefügt, mit denen sie sich den Text von einem Avatar „vorlesen“ lassen können. Zu diesem Zweck sollte ihnen allerdings ein Kopfhörer zur Verfügung stehen.
Methodik
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, diesen Lernpfad - oder Teile davon - in den Lernprozess der SchülerInnen zu integrieren. Einzelne dieser Möglichkeiten, wie etwa das Arbeiten in Expertenteams, Pferdestall oder Kreisbrief werden im Folgenden ausführlich erläutert. Natürlich kann der Lernpfad auch zum selbstständigen Erarbeiten des Stoffes linear bearbeitet oder in Gruppen-, Partner- oder Einzelarbeit eingesetzt oder zur Wiederholung des Stoffes im Unterricht bzw. zu Hause verwendet werden.
Station 1: Einfluss der Parameter
Die Station eins wurde so konzipiert, dass sie das Arbeiten in Expertenteams oder das Arbeiten im Pferdestall unterstützt.
Expertenteams:
Beim Arbeiten in Expertenteams handelt es sich um eine spezielle Form von Gruppenarbeit, wobei sich jede Gruppe zunächst mit einem anderen Aspekt eines bestimmten Themas beschäftigt. Zur Einteilung der Gruppen können die vorgeschlagenen Karten verwendet werden. Sie sollten am besten auf farbiges Papier gedruckt, laminiert und zugeschnitten werden. Alle SchülerInnen erhalten eine Karte. Zunächst werden die SchülerInnen mit demselben Buchstaben auf der Karte zusammen arbeiten. Damit sich nicht gleich zu Beginn der Stunde alle SchülerInnen umsetzen müssen, ist es sinnvoll SchülerInnen, die neben einander sitzen, Karten mit demselben Buchstaben zu geben. Hinweise für die SchülerInnen für das Arbeiten in Expertenteams sind im Lernpfad integriert.
Nun untersucht jede Gruppe den Einfluss eines anderen Parameters auf das Aussehen des Graphen. Jeder Schüler dieser Gruppe ist dann Experte für den Einfluss eines Parameters. Es wird ein erster Hefteintrag notiert. Dazu sollten die SchülerInnen ihr Heft im Querformat verwenden, eine Überschrift notieren und vier Spalten für den Einfluss je eines Parameters anlegen. Nach der Arbeitsphase in diesen Gruppen werden die SchülerInnen mit Hilfe der Zahlen auf den Karten in neue Gruppen eingeteilt. Die neuen Gruppen bestehen aus vier SchülerInnen, genauer je einem Experten für einen der vier Parameter. Die SchülerInnen sollen nun auch die Auswirkungen der anderen Parameter erforschen, sich über deren Einfluss austauschen und die Spalten des Hefteintrages vervollständigen. Danach werden gemeinsam Aufgaben bearbeitet. Diese sind so konzipiert, dass zu ihrer Lösung meist das Expertenwissen der einzelnen SchülerInnen benötigt wird.
Expertenteamkarten zum Ausdrucken
Pferdestall:
Bei Station 1 bietet sich auch bei der Bearbeitung der Tabelle „Einfluss von a, b, c und d" die Methode "Pferdestall" an.
Dabei bedeutet "Pferdestall":
1. Die SchülerInnen werden in zwei Gruppen eingeteilt, z. B. linke Hälfte und rechte Hälfte. Alle SchülerInnen der linken Hälfte untersuchen den Einfluss von a, alle SchülerInnen der rechten Hälfte den Einfluss von b.
2. Alle SchülerInnen sollen nacheinander jeweils Pferd oder Stall sagen. Oder noch Reihen...
3. Die "Ställe" bleiben auf ihrem Platz sitzen und die "Pferde" stehen auf und setzen sich auf einen beliebigen Platz eines "Pferdes" der anderen Hälfte. So erhält jeder Schüler einen neuen Nachbarn, der Kenntnisse über den Einfluss eines anderen Parameters besitzt.
4. Je zwei Schüler (Nachbarn) erklären sich nacheinander das neue Wissen.
5. Die SchülerInnen werden wieder in zwei Gruppen eingeteilt, z. B. linke Hälfte und rechte Hälfte. Alle SchülerInnen der linken Hälfte untersuchen nun den Einfluss von c, alle SchülerInnen der rechten Hälfte den Einfluss von d.
6. "Die Pferde reiten wieder zu ihrem Stall zurück". Jetzt sitzt wieder jeder auf seinem Platz und die ursprünglichen Nachbarn erklären sich nacheinander das neue Wissen.
Mind Map:
Die SchülerInnen erstellen in Gruppenarbeit eine Mind Map zum Thema „Einfluss der Parameter von trigonometrischen Funktionen auf das Aussehen der zugehörigen Graphen“.
Die Anleitung zum Erstellen einer Mind Map muss man in den Lernpfad integrieren:
„Verwende dein Heft im Querformat und zeichne am linken Rand in die Mitte einen Kreis, in den du Einfluss der Parameter schreibst. Von dem Kreis ausgehend kannst du vier Äste nach rechts zeichnen, auf denen du die Parameter notierst. An diese Äste kannst du dann Zweige hängen, auf die du die Zusammenhänge schreibst.“
Am Ende präsentiert mindestens ein S seine Mind Map vor der Klasse.
Station 2: Bestimmung der Funktionsgleichung und mehr
Partnerarbeit oder Gruppenarbeit
Am besten teilt man die SchülerInnen in Gruppen von 3 bis 4 Personen ein. Ein Gruppenmitglied ist der Leiter und liest die Aufgaben vor, ein anderes Gruppenmitglied ist der Zeitwächter. Der Zeitrahmen für jede Aufgabe beträgt 10 Minuten, anschließend stehen jeweils fünf Minuten zur Verfügung, in denen u. a. folgende Fragen diskutiert werden können:
• Welches Ziel hat die Aufgabe?
• Was wird geübt?
Anschließend werden die Aufgaben bearbeitet.
Organisation der Aufgabe 2 aus Station 2 mittels Kreisbrief
„Diese Aufgabe dürft ihr zu viert bearbeiten. Sprecht euch dazu ab, wer zu welchem Graphen (unterschiedliche Farben) einen Funktionsterm bestimmen möchte. Dabei soll jeder einen anderen Graphen auswählen und die entsprechende Farbe oben auf einem Blatt notieren. Nun löst jeder seine Aufgabe auf dem Blatt und faltet es danach so, dass man zwar die gewählte Farbe lesen kann, aber nicht die Lösung. Nun tauscht ihr die Zettel innerhalb eurer Gruppe aus und bestimmt eine Funktionsgleichung zum neuen Graphen. Jetzt wieder falten und weiterreichen, usw. Für diese Aufgabe habt ihr 10 Minuten Zeit. Je nachdem wie schnell ihr seid, wird es auf jedem Zettel zwei bis vier Lösungsmöglichkeiten geben. Nach 10 Minuten Bearbeitungszeit dürft ihr also die Zettel auffalten und alles lesen. Ihr habt nun fünf Minuten Zeit um über die Lösungsmöglichkeiten zu diskutieren.“ Den SchülerInnen soll so bewusst werden, dass es nicht nur eine richtige Lösung gibt. Auch Verständnisprobleme sollen spätestens bei der Diskussion deutlich werden.“
Anwendungen
Pferdestall
Physik-Ecke:
Die linke Hälfte bearbeitet P1, die recht Hälfte P2 und P3.
Dann gehen die Pferde der linken Hälfte zur rechten Hälfte und umgekehrt. Dort werden die Ergebniss ausgetauscht und besprochen. In Partnerarbeit erfolgen gemeinsam erarbeitete Einträge in ein "Vokabelheft". Danach gehen die Pferde wieder auf ihren ursprünglichen Platz und vergleichen die Einträge im "Vokabelheft".
Ebenso kann man dies bei "Marie und ihre Freundinnen" machen.
Die linke Hälfte bearbeitet "Riesenrad",die rechte Hälfte "Tageslängen".
Danach wird wie in der Physik-Ecke verfahren.
Spiele
Spiele lockern das Lernen auf und ermöglichen nochmals in einer "Nicht-Lern-Athmosphäre" das Gelernte zu wiederholen und wiederzugeben.
Am Ende einer Station oder am Ende des Lernpfades kann "Pferdestall" und/ oder "Mathe-Millionär" als Spiel angeboten werden.
Pferdestall-Spiel
- Jeder Schüler überlegt sich eine Frage zum Inhalt und schreibt diese oben auf einen Zettel.
- Die SchülerInnen werden in zwei Gruppen eingeteilt. Dazu sollen z.B. alle SchülerInnen nacheinander jeweils Pferd oder Stall sagen. Eine andere Möglichkeit wäre es, die SchülerInnen reihenweise abwechselnd in "Pferde" und "Ställe" einzuteilen, so dass immer ein "Pferd" neben einem "Stall" sitzt.
- Die "Ställe" bleiben auf ihrem Platz sitzen und die "Pferde" stehen auf und setzen sich auf einen beliebigen Platz eines anderen "Pferdes". So erhält jeder Schüler einen anderen Nachbarn.
- Je zwei SchülerInnen (Nachbarn) stellen sich gegenseitig die Fragen, notieren gemeinsam die Antwort unter der jeweiligen Frage und falten die Zettel so, dass man zwar die Frage, aber nicht die Antwort lesen kann. Die Zettel werden getauscht.
- "Die Pferde reiten wieder zu ihrem Stall zurück". Jetzt sitzt wieder jeder auf seinem Platz und die ursprünglichen Nachbarn stellen sich gegenseitig die notierten Fragen. Die Antwort steht zur Kontrolle bereits auf der Innenseite.
"Mathe-Millionär"
1. Jeder Schüler überlegt sich eine Frage zum Thema und notiert diese zusammen mit vier Antwortmöglichkeiten (A, B, C, D) auf einem Zettel. Dabei kreuzt er die richtige Antwort an und ergänzt ob er die Frage als leicht, mittel oder schwer einschätzt.
2. Hinweis für S: Taktisch ist es sinnvoll, sich eine möglichst schwierige Frage zu überlegen, da man selbst – wenn die Frage vom Lehrer gestellt wird – die Antwort weiß, die anderen S aber mit höherer Wahrscheinlichkeit nicht.
3. Die Zettel werden eingesammelt und vom Lehrer grob der Schwierigkeit nach sortiert. Dabei können ein paar leichte Fragen für einen eventuellen zweiten Durchgang aufgehoben werden.
4. Die Schüler zerteilen ein Blatt in vier kleine Blätter, auf denen sie je einen Buchstaben A, B, C und D schreiben. Alle Schüler stehen auf.
5. Der Lehrer liest eine Frage vor. Beim Satz „Bitte entscheidet Euch jetzt!“ heben alle Schüler gleichzeitig den gewählten Buchstaben nach oben. Der Lehrer sagt die richtige Antwort und die Schüler mit einer falschen setzen sich. Jetzt kann eine Erklärung folgen oder die nächste Frage.
6. Gewonnen haben die letzten ein bis drei noch stehenden Schüler.
