Potenzfunktionen - 4. Stufe

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Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^-1/n, n ∈ IN

Es sei stets $\mathbb N_0 = \left\{ 0,1,2,\dots \right\}$ und $\mathbb N = \left\{ 1,2,3,\dots \right\}$, insbesondere also $\mathbb N_0 \neq \mathbb N$.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen negativen Stammbruch der Form $\textstyle - \frac{1}{n}$ mit $n \in \mathbb{N}$ als Exponenten haben. Für diese Art der Exponenten gilt: $-1\leq \textstyle -\frac{1}{n}< 0$.

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3

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Exponenten, Brüche und Potenzgesetze

Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponenten. Denke dabei insbesondere an folgenden Zusammenhang:

Für eine reelle Zahl $a$ und eine natürliche Zahl $n$ wird definiert:

$a^{-n} := \textstyle \frac{1}{a^n}$ für $a \neq 0.$

Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:

$x^{-\frac 1 n}$$= \frac{1}{x^{\frac 1 n}}.$

Vorlage:Arbeiten

Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen

Beispiel

Es sei $g$ eine Potenzfunktion, definiert durch $g(x)=x^{\frac 1 3}$. Gesucht ist die Umkehrfunktion $g^{\,-1}=:f$ von $g$. $g^{\,-1}$ ergibt sich aus $g$ durch Auflösen nach $x$. Es ist: $\begin{matrix}y &=& x^{\frac 1 3}, && &|& (\,)^3 \\ y^3 &=& x^{\frac 3 3} && && \\ &=& x. &\,& && \end{matrix}$ Vertauschen von $x$ und $y$ ergibt schließlich die gesuchte Funktion: $f(x)=x^3$.

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Beispiel

Es sei $f$ eine Potenzfunktion, nun definiert durch $f(x)=x^{- \frac 1 3}$ mit Definitionsbereich ID = IR+. Gesucht ist wieder ihre Umkehrfunktion $f^{-1}$. Auflösen nach $x$ ergibt: $\begin{matrix}y &=& x^{- \frac 1 3}. &|& (\,)^3\\ y^3 &=& x^{- \frac 3 3}, && \\ &=& x^{-1}, && \\ &=& \textstyle \frac 1 x. &|& \cdot\, x \\ x\cdot y^3 &=& 1. &|& :y^3 \\ x &=& \textstyle \frac{1}{y^3} && \\ &=& y^{-3}.&& \end{matrix}$

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Hinweis: Man beachte besonders hier die unterschiedliche Bedeutung von $f^{-1}$ und $f(x)=x^{-1}$!

Vergleich mit Potenzfunktionen der Stufe 1

Im Zusammenhang mit den Umkehrfunktionen dieser Art kann es sinnvoll sein, sich die Potenzfunktionen der Stufe 1 noch einmal vor Augen zu führen. Hier kannst Du direkt zur Stufe 1 springen.

Zusammenfassung

Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen mit $f(x) = x^{\frac 1 n}$ für $n\geq2$ sind Potenzfunktionen mit $f(x) = x^n.$

Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen mit $f(x) = x^{- \frac 1 n}$ für $n\geq2$ sind Potenzfunktionen mit $f(x) = x^{-n}=\textstyle \frac{1}{x^n}$.

*Zusammenfassung: Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"-Prinzip

*: freiwillig

Die "5 S" lauten:

• Spiegeln
• Strecken
• Stauchen
• Schieben
• Superponieren

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*Zum Weiterdenken: Mit Funktionen malen

(freiwillig)

Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. Das obenstehende Bild ist vollständig aus Potenzfunktionen der Form $f(x)=a\cdot x^q$ mit $a \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{N} \cup \{ \textstyle{\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{3},\pm\frac{1}{4},\pm\frac{1}{5},\pm\frac{1}{6},\ldots } \}$ zusammengesetzt. Bearbeite zu dem Bild die folgenden Fragen: Auf welchen Intervallen sind die Funktionen jeweils definiert? Das "Blatt" rechts oben im Bild ist aus drei verschiedenen Potenzfunktionen aufgebaut. Untersuche, wie die Parameter a und q die Graphen beeinflussen und welche Werte für a und q hier verwendet sind. Von welcher Form sind die Funktionen, die das Blatt links unten ausbilden? Wie kann man die Größe der Blätter beeinflussen? Auf welchen Abschnitten sind die Funktionen definiert?

Das erste Blatt setzt sich aus drei Potenzfuntktionen zusammen, die nur auf bestimmten Intervallen definiert sind. Wie müssen die Parameter verändert werden, wenn sie das Blatt links unten bilden sollen? Wie kann man die Größe der Blätter beeinflussen?