Potenzfunktionen - 3. Stufe

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Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^1/n, n ∈ IN

Es sei stets IN₀={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form $\textstyle \frac{1}{n}$ mit $n \in \mathbb{N}$ als Exponenten haben. Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: $0<\textstyle \frac{1}{n}\leq 1$.

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2

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Potenzen und Wurzeln

Eine Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=\sqrt[n]{x}$ mit $n \in \mathbb{N}, n\geq2$ heißt Wurzelfunktion.

Potenzfunktionen der Bauart $f(x)=x^{\frac{1}{n}}$ und Wurzelfunktionen $g(x)=\sqrt[n]{x}$ hängen eng zusammen, denn es gilt:

$x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}$

Darin ist die n-te Wurzel über folgenden Zusammenhang festgelegt:

$\sqrt[n]{x} :\Leftrightarrow \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = x$

Im Falle $n=2$ nennt man die Wurzel "Quadratwurzel" und man schreibt:

$x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x} =: \sqrt{x}$

Im Falle $n=3$ nennt man die Wurzel "Kubikwurzel", i. Z.: $x^{\frac{1}{3}}$ bzw. $\sqrt[3]{x}$.

Beispiel: Quadratwurzeln

Datei:Diagonale.png

Eine positive Zahl $x>0$ hat zwei Quadratwurzeln, eine positive und eine negative. So ist etwa

• $16 = \begin{cases} \quad 4\cdot \quad 4 &= \, \quad 4^2\\ -4 \cdot (-4) &= (-4)^2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{16} = \pm 4$.

In manchen Fällen (etwa wenn es um die von Längen oder Flächeninhalten geht) ist nur die postive Lösung sinnvoll.

Datei:Diagonale3.png

Beispielsweise ergibt sich die Länge $d$ der Diagonale in einem Quadrat der Seitenlänge $a=1$ über den Satz des Pythagoras ($a^2 + a^2 = d^2$) zu:

$a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =d^2 \quad \Rightarrow \quad d = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.$

Die mathematisch richtige Lösung $\textstyle d=-\sqrt{2}$ ist in dieser Situation nicht sinnvoll und kann vernachlässigt werden.

Auch die Länge der Raumdiagonale $D$ im Einheitswürfel (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge s=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: $d^2 + s^2 = D^2$) zu:

$\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = D^2 \quad \Rightarrow \quad D = \pm \sqrt{3} \pm 3^{\frac 1 2}.$

Auch hier wird man nur die physikalisch sinnvolle Lösung $\textstyle D = \sqrt{3}$ angeben.

Beispiel: Kubikwurzel

Das Volumen $V$ eines Würfels (lat.: "cubus") der Kantenlänge $s=5$ ergibt sich über:

$V = s^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3.$

Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen $V=27$ durch ziehen der 3.-Wurzel:

$\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.$

APLETT

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Definitionsbereich der Wurzelfunktionen

Einschränkung auf IR⁺

Offenbar ergibt die Wurzelfunktion $f(x)=\sqrt[n]{x}$ zumindest bei ungeradem n sowohl für positive als auch negative x Lösungen, wie folgendes Beispiel zeigt:

• $\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{-3\cdot -3 \cdot -3} = \sqrt[3]{-3^3} = \sqrt[3]{-3}^3 = -3,$
• $\sqrt[3]{ 27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.$

Allerdings kann die Definition der Wurzelfunktion auf ganz IR auch zu Wiedersprüchen führen. An einem Beispiel wird die Problematik klar:

$-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.$

Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten oder langen Fallunterscheidungen zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen i.d.R. grundsätzlich auf die positiven reelle Zahlen ein, also:

$f(x) = \sqrt[n]{x}$ mit $n \in \mathbb{N}$ und $\mathbb{D}=\mathbb{R}_{\geq 0}$

Wurzelfunktion auf ganz IR

Will man eine Wurzelfunktion g dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa g derart, dass

$g(x):=\begin{cases}\sqrt[n]{x}, &x\geq 0 \\ -\sqrt[n]{-x}, &x<0\end{cases}$.

Dann gilt: ID_g = IR.

kurz nachgedacht

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