Ganzrationale Funktionen

Herzlich willkommen zum Lernpfad zu ganzrationalen Funktionen! In unserer aktuellen Unterrichtseinheit geht es um Transformationen von Funktionen, d. h. also, ihr sollt herausarbeiten, mithilfe welcher Operationen bzw. Veränderungen in der Funktionsgleichung unterschiedliche Funktionsarten im Koordinatensystem 'verschoben' werden können. In diesem Lernpfad sollst du dich nun speziell mit den ganzrationalen Funktionen auseinandersetzen. Kompetenzen Du kennst bereits: verschiedene Begriffe / Eigenschaften im Zusammenhang mit Funktionen allgemein (Definitions- und Wertemenge, Symmetrie, ...) abschnittsweise definierte (lineare) Funktionen Transformationen im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen (Verschiebung auf der x-Achse, Verschiebung auf der y-Achse, Streckung bzw. Stauchung in Richtung der y-Achse) Nach Bearbeitung dieses Pfades: weißt du, was ganzrationale Funktionen sind. kennst du wichtige Eigenschaften der ganzrationalen Funktionen. weißt du, wie du diese Funktionen auf der x- und y-Achse verschieben kannst. weißt du, wie du diese Funktionen in Richtung der x- und der y-Achse stauchen sowie an der x-Achse spiegeln kannst.   Und nun .... Viel Spaß beim Bearbeiten!!

Infos vor Beginn

Während der gesamten Unterrichtseinheit sollst du ein Lerntagebuch führen: Das Tagebuch dient einerseits als "normales" Heft und andererseits als Reflexionsinstrument. Das heißt, du sollst nicht nur die gegebenen Arbeitsaufträge im Lerntagebuch bearbeiten, sondern dir darüber hinaus auch (schriftlich) Gedanken über deine Lernfortschritte und die Eignung des Arbeitsmaterials machen. Das Tagebuch wird nicht bewertet, es dient ausschließlich dazu, dir selbst klar zu machen, wie groß dein Lernfortschritt ist und wo vielleicht noch Probleme liegen.
Mögliche Fragen, an denen du dich dabei orientieren kannst, sind:

Mache spätestens nach jeder Stunde einen Eintrag ins Lerntagebuch und reflektiere über deine Arbeit in der Unterrichtseinheit.

Allgemeine Hinweise:

• Bearbeite den Lernpfad mit einem Partner oder einer Partnerin - so könnt ihr gemeinsam über die Aufgaben sprechen und schneller zu sinnvollen Ergebnissen gelangen.
• Übernimm alle wichtigen Definitionen, Merksätze, Erläuterungen in dein Lerntagebuch - im Regelfall wirst du allerdings an der betreffenden Stelle explizit dazu aufgefordert.
• ...

Definition der ganzrationalen Funktionen

Eine kleine Aufgabe zum Einstieg:
Vorlage:Arbeiten

$V(x) = (16 - 2x)^2x = 4x^3 + 52x^2 + 256x$

Die Funktion, die du gerade aufgestellt hast, ist eine sogenannte ganzrationale Funktion - sie setzt sich zusammen aus den einzelnen Summanden $4x^3$, $52x^2$ und $256x$, den Potenzfunktionen. Der höchste Exponent gibt den Grad der Funktion an, d. h. es handelt sich hier um eine ganzrationale Funktion dritten Grades. Die Vorfaktoren der einzelnen Summanden werden entsprechend den zugehörigen Exponenten von x mit $a_3 - a_1$ bezeichnet ($a_3 = 4, a_2 = 52, a_1 = 256$) - sie heißen Koeffizienten.

Nun in allgemeiner Form:

Definition

Ein Term der Form $a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0 mit n \in N; a_0, a_1, a_2, ..., a_{n - 1}, a_n \in R und a_n \neq 0$ heißt Polynom. Die Zahlen $a_0, a_1, a_2, a_3, ..., a_{n - 1}, a_n$ nennt man Koeffizienten des Polynoms. Als Grad des Polynoms wird der höchste Exponent n von x bezeichnet, dessen zugehöriger Koeffizient $a_n$ nicht Null ist.
Eine Funktion f, deren Funktionswert f(x) als Polynom geschrieben werden kann, heißt ganzrationale Funktion.

Der Grad des Polynoms heißt auch Grad der ganzrationale Funktion. Die Definitionsmenge einer ganzrationalen Funktion ist die Menge der reellen Zahlen, also R.

Nicht erschrecken, die Definition sieht viel komplizierter aus als das Ganze in Wirklichkeit ist. Hier nochmal langsam am Beispiel:

Pluspunkt für eine richtige Antwort:
Punkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere die Fragen-Koeffizienten:

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 0.5x^4 + 3x^3 + 7x^2 - 1.3x - 18$.

1) Der der Polynoms ist , da 4 der höchste vorkommende Exponent ist.

2) Die lauten wie folgt: $a_4$ = , $a_3$ = , $a_2$ = , $a_1$ = , $a_0$ = . Der Index des jeweiligen a entspricht immer den des zugehörigen x. Achte auf die ! Laut Definition kommen für die Koeffizienten alle Zahlen in Frage, wundere dich also nicht, wenn in der Funktion z. B. eine Wurzel auftaucht.

3) Da für x alle möglichen Zahlen eingesetzt werden können, ist also hier entsprechend der Definition D = .

Mit den folgenden Übungen kannst du überprüfen, ob du alles verstanden hast:
Vorlage:Arbeiten

{{{1}}}

Entscheide: Handelt es sich um eine ganzrationale Funktion? Begründe in deinem Lerntagebuch.
<quiz_display="simple">

{ 1) $f(x) = \frac {x}{\sqrt{3}}$ } + ja - nein

{ 2) $g(x) = 1$} + ja - nein

{ 3) $h(x) = \frac {\sqrt{3}}{x}$ } - ja + nein

{ 4) $i(x) = \frac {1}{x + 1}$ } - ja + nein

{ 5) $j(x) = x^2$ } + ja - nein

</quiz>

Transformationen

Bislang hast du dich lediglich mit den sogenannten "Grundfunktionen" der Potenzfunktionen beschäftigt. Nun sollst du dich näher mit möglichen Transformationen, d. h. Verschiebungen, Streckungen und Stauchungen sowie Spiegelungen von Potenzfunktionen beschäftigen.
Um die Anzahl der jeweils zu untersuchenden Funktionen überschaubar zu halten, werden auch an dieser Stelle die verschiedenen Arten von Exponenten getrennt betrachtet.

Potenzen mit positiven ganzzahligen Exponenten

Erinnere dich zurück an die quadratischen Funktionen: Dort hast du mit der Normalparabel als "Grundfunktion" gearbeitet und inzwischen weißt du, wie diese Grundfunktion transformiert werden kann. Es handelt sich hierbei - wie du weißt - bereits um ein Beispiel für eine Potenzfunktion mit einem positiven ganzzahligen Exponenten. Bevor du dich mit anderen Exponenten beschäftigst, wiederhole kurz dein Wissen für den Fall a = 2:
Vorlage:Arbeiten

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Nun sollst du versuchen, diese Informationen auch auf größere Exponenten zu übertragen:

Vorlage:Arbeiten

Eine solche allgemeine Gleichung lautet: $f(x) = a(x - d)^3 + e$. Eine Spiegelung kannst du erreichen durch $f(x) = -[a(x - d)^3 + e]$.

Die einzige Transformationsart, die bislang noch nicht betrachtet wurde, ist die Streckung bzw. Stauchung in Richtung der x-Achse:
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Nun weißt du, wie Potenzfunktionen 2. und 3. Grades im Koordinatensystem bewegt werden können. Sind diese Erkenntnisse übertragbar auf alle positiven Exponenten?
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Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten

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Potenzen mit rationalen Exponenten

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Gesamtergebnis: Vorlage:Versteckt

Zusammenfassung

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Übungen

???

Zusatzaufgabe

{{Kasten_blau|Falls du vor der vereinbarten Zeit mit der Bearbei