Terme/Aufstellen und Interpretieren von Termen
Aufstellen und Interpretieren von Termen
Aufstellen von Termen
Aufgabenstellung:
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<popup name="Lösung">
A(a;b)= 8•a•b+6•a•a = 8ab+6a2 |
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Setze nun für a=1cm und b=4cm ein
<popup name="Lösung">
A(1;4)= 8•1cm•4cm+6•(1cm)2 = 32cm2+6•1cm2 = 32cm2+6cm2 = 38 cm2
</popup>
Um Sachverhalte oder Probleme möglichst kurz zu beschreiben erstellt man einen Term. Dabei solltest du so vorgehen:
Rezept
- Untersuche den Sachverhalt bzw. das Problem und suche nach einer Gesetzmäßigkeit
- Führe eine (oder mehrere) Variable(n) ein
- Stelle den Term auf und überlege dir die zugehörige Definitionsmenge
Beispiel:
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<popup name="Lösung">
- Untersuchung des Sachverhalts und Suche nach Gesetzmäßigkeit: Es ist eine Figur gegeben, deren Flächeninhalt unbekannt ist. Die Seitenlängen der Figur sind festgelegt. Betrachtet man die Figur, stellt man fest, dass sie aus mehreren kleinen Rechtecken besteht. Der Flächeninhalt eines einzelnen Rechtecks ist AR = 2•1. Die Figur besteht aus sechs solchen Rechtecken, also ist der Gesamtflächeninhalt AF= 6•2•1
- Variablen einführen: Wähle für 2=i und für 1=j
- Term aufstellen und Definitionsmenge überlegen: Der Term lautet: 6•i•j
- Für die Definitionsmenge gilt: Es ist jede Zahl aus einsetzbar ohne Verstoß gegen die Rechenregeln, bei der Berechnung eines Flächeninhalts ist es jedoch sinnvoll, nur positive Zahlen einzusetzen. Also =+
Interpretieren von Termen
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Beispiel:
Beim Internetprovider "Netzfetz" hat man pro Monat 10 Surfstunden frei. Danach kostet jede angefangene Stunde 2€. Ein anderer Provider, "2&3", bietet 20 freie Surfstunden und verlangt danach für jede angefangene Stunde 4€.
- Stelle für beide Provider einen Term T(x) auf, der die Kosten der Internetnutzung in Abhängigkeit der gesurften Zeit x angibt.
<popup name="Lösung">
- Für Netzfetz: T1 (x) = (x-10)•2
- Für 2&3 : T2 (x) = (x-20)•4
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- Erstelle eine Tabelle, die die Kosten der beiden Anbieter gegenüberstellt (für 20std, 25std, 30std, 35std und 40std). Tom und Julia kennen beide Angebote. Tom surft ungefähr 35 Stunden im Monat, Julia nur 25. Welchen Anbieter würdest du Tom empfehlen und welchen sollte Julia wählen?
<popup name="Lösung">
Kosten/Surfzeit | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
---|---|---|---|---|---|
T1 (x) = (x-10)2 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
T2 (x) = (x-20)4 | 0 | 20 | 40 | 60 | 80 |
Tom surft 35 Stunden: In der Tabelle siehst du die 2 Preise für 35 Stunden Surfzeit. Die Kosten des ersten Terms sind geringer als die des zweiten. Tom sollte, wenn er den günstigeren Anbieter sucht, den Provider Netzfetz wählen. Julia surft 25 Stunden: Die Kosten des Terms T2 sind kleiner als die des ersten Terms. Also sollte Julia das Angebot von 2&3 wählen. </popup>
- Erstelle mit Hilfe der Tabelle ein Liniendiagramm in deinem Heft.
<popup name="Lösung"> Datei:Diagramm internetprovider.jpg
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Übungsaufgaben
a) Addiere 2 zum Quadrat von x
b) Addiere 6 zum vierfachen der Zahl n
c) Multipliziere die Summe aus b und der Zahl 7 mit 4
d) Multipliziere x mit seiner Gegenzahl
e) Multipliziere den Vorgänger der natürlichen Zahl n mit seinem Nachfolger
<popup name="Lösung"> a) T(x)= x2+2
b) T(n)= 4n+6
c) T(b)= (b+7)4
d) T(x)= x(-x)
e) T(n)= (n-1)(n+1)
</popup>
<popup name="Lösung"> Der Gliederungsbaum ergibt, wenn man seinen Abzweigungen von oben nach unten richtig folgt, folgenden Term: T(x)= (x+1):(7-)
T(4)= (4+1):(7-) = 5:(7-2) = 5:5 = 1
</popup>
Warum gibt es meist zwei Möglichkeiten?
a) T(?)= 18
b) T(?)= 38
c) T(?)= 3
d) T(?)= 6
<popup name="Lösung"> Es gibt zwei Möglichkeiten, da ein Glied des Term n2 lautet. Eine quadrierte Zahl ist immer positiv. (Bsp.: 32=9=(-3)2 )
a) T(4)= T(-4)= 42+2= 16+2= 18
b) T(6)= T(-6)= 62+2= 36+2= 38
c) T(1)= T(-1)= 12+2= 1+2= 3
d) T(2)= T(-2)= 22+2= 4+2= 6
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<popup name="Lösung">
Das Drachenviereck besteht aus 2 großen (wegen der Achsensymmetrie: gleichgroßen) Dreiecken. Deshalb rechnet man den Flächeninhalt eines Teildreiecks aus und verdoppelt ihn dann. Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist allgemein: AD a•ha
Nun sind die Daten aus der Zeichnung abzulesen. Die Seite a setzt sich in diesem Fall aus m und n zusammen, die Höhe ha ist hier g2 = 2
Der Flächeninhalt für ein Teildreieck ist also: AD = (m+n)•2 = (m+n)•2• = (m+n)•1 = (m+n)
Um den Flächeninhalt des Drachenvierecks ADV zu erhalten, muss man den Flächeninhalt des Teildreiecks verdoppeln: ADV = 2•AD = 2•(m+n)= 2(m+n)
Hinweis: Es gibt eine weitere Lösung, wenn man das Drachenviereck in 2 andere Dreiecke aufteilt.
Der Flächeninhalt kann auch so bestimmt werden: ADV= (4• )+(4• )
Das Ergbenis ist gleich.
- A(8cm;2cm)= 2cm(8cm+2cm)=2cm•10cm= 20cm2
- A(10cm;5cm)= 2cm(10cm+5cm)= 2cm•15cm= 30cm2
- A(12cm;9cm)= 2cm(12cm+9cm)= 2cm•21cm= 42cm2
- A(15cm;13cm)= 2cm(15cm+13cm)= 2cm•28cm= 56cm2