Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Darstellungswechsel

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Zur Orientierung

• Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im 👟 Training beherrschen solltest.
  Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
• Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
  • Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.
  • Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.
  • Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts in der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.
• Bei den anderen Aufgaben...
  • ... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf „💡 Hinweis anzeigen“ bzw. „Lösung anzeigen“ klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.
  • ... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.

📌 Darstellungswechsel

Du kennst bereits die verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen, das heißt, Funktionsgleichung, Graph und Wertetabelle. In diesem Kapitel befasst du dich damit, wie zwischen diesen Darstellungsformen gewechselt werden kann.

Wertetabelle ➡️ Graph

Eine Wertetabelle kannst du nutzen, um zum Graphen einer linearen Funktion zu gelangen, indem du die Wertepaare (x,y) aus der Tabelle als Koordinatenpunkte in ein Koordinatensystem einträgst. Du zeichnest zuerst die Achsen, trägst dann jeden Punkt aus der Tabelle in das Koordinatensystem ein und verbindest diese Punkte anschließend zu einer Geraden. Benutze dazu am besten dein Geodreieck.

Graph ➡️ Wertetabelle

Um von einem Graphen zur Wertetabelle zu gelangen, liest du die Punkte vom Graphen ab und trägst die entsprechenden x- und y-Werte in die Tabelle ein. Bei einer linearen Funktion ist der Graph eine Gerade, daher genügen zwei beliebige Punkte auf der Geraden, um die Tabelle zu erstellen und den Graphen eindeutig zu definieren. Das hängt mit der Steigung zusammen. Genaueres dazu lernst du im nächsten Kapitel.

Graph/Wertetabelle ➡️ Funktionsgleichung

Um anhand eines Graphen bzw. einer Wertetabelle eine Funktionsgleichung aufzustellen, lese zwei Punkte auf dem Graphen bzw. aus der Wertetabelle ab und berechne aus ihnen die Steigung m der Funktion. Setze diese gemeinsam mit einem der beiden Punkte in die allgemeine Form einer linearen Funktion y=mx+b ein und berechne b.

Funktionsgleichung ➡️ Graph/Wertetabelle

Wenn du anhand der Gleichung einer linearen Funktion ihren Graphen bzw. eine Wertetabelle erstellen möchtest, gehst du wie folgt vor: Trage einige beliebige Werte für x in die Gleichung ein und berechne die zugehörigen y-Werte. Auf diese Weise erhältst du Punkte, die du in eine Wertetabelle eintragen kannst. Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie, um einen Graphen zu zeichnen.

👟 Training

Aufgabe 1

Zeichne anhand der folgenden Wertetabelle den Graphen der Funktion f:

x	f(x)
- 3	9,5
- 1	3,5
1	- 2,5
4	- 11,5
7	- 20,5

Die Funktionsgleichung lautet f(x) = - 3 x + 0,5. Stelle die Schieberegler in der oben eingefügten GeoGebra-Datei entsprechend ein und vergleiche den so entstehenden Graphen mit deinem Ergebnis.

Aufgabe 2

Stelle die Schieberegler in der oben eingefügten GeoGebra-Datei auf m = 4 und b = 2,5 ein. Lege zu dem daraus entstehenden Graphen eine Wertetabelle von x = - 3 bis x = 2 mit einer Schrittweite von 1 an.

Deine Wertetabelle sollte folgende Form haben:

x	f(x)
- 3
- 2
- 1
0
1
2

x	f(x)
- 3	- 9,5
- 2	- 5,5
- 1	- 1,5
0	2,5
1	6,5
2	10,5

Aufgabe 3

Gegeben ist die Wertetabelle:

x	f(x)
0	4,95
1	6,45
2	7,95
3	9,45
4	10,95
5	12,45

a) Stelle die zugehörige Funktionsgleichung auf.

Für y = b ist x = 0.

Den Wert für b kannst du direkt aus der Wertetabelle ablesen (siehe Hinweis 1). Zusätzlich kannst du einen beliebigen Punkt aus der Wertetabelle ablesen. Um nun die Steigung m zu bestimmen, setze diesen Punkt und den Wert von b in die allgemeine Form einer linearen Funktiongleichung ein und löse nach m auf.

f(x) = 1,5 x + 4,95

b) Formuliere einen Sachzusammenhang, der durch die Funktionsgleichung beschrieben werden kann.

Bestellt man online Aufkleber, zahlt man für einen 1,50 €. Zusätzlich fallen 4,95 € Versandkosten an.

Aufgabe 4

Gegeben ist die Gerade f(x) = $\frac{1}{4}$ x - 2. Wähle eine der folgenden beiden Aufgaben und löse sie:
a) Lege eine Wertetabelle für die Funktion f an, welche 5 Wertepaare (x ; f(x)) enthält.

Die einzige Vorgabe an die Wertetabelle war es, dass sie 5 Wertepaare enthält. Sie kann also bei einem beliebigen x-Wert starten und eine beliebige Schrittweite kann zwischen den x-Werten liegen.
Zum Beispiel kann sie bei x = 0 starten und eine Schrittweite von 1 haben:

x	f(x)
0	- 2
1	- $\frac{7}{4}$
2	- $\frac{3}{2}$
3	- $\frac{5}{4}$
4	- 1

Sie kann aber zum Beispiel auch bei x = - 2 starten:

x	f(x)
- 2	- $\frac{5}{2}$
- 1	- $\frac{9}{4}$
0	- 2
1	- $\frac{7}{4}$
2	- $\frac{3}{2}$

b) Zeichne den Graphen der Funktion f.

Stelle die Schieberegler in der oben eingefügten GeoGebra-Datei entsprechend ein und vergleiche den so entstehenden Graphen mit deinem Ergebnis.

📌 y-Achsenabschnitt und Nullstelle von linearen Funktionen

📌 Gerade aus Punkten