Benutzer:Jamo/ Lineare Funktionen

Willkommen bei unserem Lernmodul zum Thema „Lineare Funktionen“. In diesem Lernmodul werden die Basics zu diesem Thema behandelt.

Übergeordnetes Ziel des Lernpfads:

Die Schülerinnen und Schüler erkennen lineare Zusammenhänge in alltagsnahen Situationen, stellen diese in Tabellen, Graphen und Funktionsgleichungen dar und können die Bedeutung von Steigung und y-Achsenabschnitt in Sachzusammenhängen deuten.

Zu Beginn des Lernpfads wiederholen die Schülerinnen und Schüler ihr vorhandenes Wissen zu linearen Funktionen. Dabei werden zahlreiche Alltagsbezüge aufgegriffen und veranschaulicht, um lineare Zusammenhänge in realen Situationen wiederzuerkennen. Im zweiten Abschnitt lernen die Schülerinnen und Schüler lineare Funktionen systematisch kennen und setzen sich dabei besonders mit den unterschiedlichen Darstellungsformen – Tabelle, Graph und Funktionsgleichung – auseinander und verknüpfen diese miteinander. Im letzten Abschnitt stehen die Parameter der linearen Funktionsgleichung im Mittelpunkt. Durch experimentierendes Lernen untersuchen die Schülerinnen und Schüler den Einfluss von Steigung und y-Achsenabschnitt und entwickeln so ein vertieftes Verständnis für deren Bedeutung.

Lineare Funktionen

Eine lineare Funktion ist eine Funktion, deren Graph immer eine gerade Linie darstellt. Sie beschreibt eine Beziehung, bei der eine Änderung der einen Größe eine immer gleiche Änderung der anderen Größe bewirkt. Das bedeutet, die Veränderung der y-Werte im Verhältnis zur Veränderung der x-Werte ist immer gleich. An den Dreiecken unterhalb des Graphs kannst du das gut erkennen.

Lineare Funktionen werden häufig verwendet, um Wachstumsprozesse darzustellen. Häufig erleben wir im Alltag Situationen, in denen in gleichbleibenden Zeitabschnitten etwas immer um den gleichen Wert zu- oder abnimmt. Aber Vorsicht: Nicht jedes Wachstum ist linear!

In dem folgenden Abschnitt kannst du an konkreten Beispielen erkunden, wo uns lineares begegnet und wie wir damit im Alltag umgehen. Viel Spaß!

Schau dir einfach nochmal in Ruhe das kurze Erklärvideo an!

Lineare Funktionen im Alltag

Einführungsbeispiel Sparschwein

Yannis hat in seinem Sparschwein 5€. Jeden Monat bekommt er 2€ Taschengeld von seinen Eltern. Nach vier Monaten hat er bereits 13€ angespart. Um seine Finanzen besser planen zu können, erstellt er sich ein Schaubild.

Schnell merkt Yannis, dass die eingetragenen Punkte alle in einer Reihe liegen. Wenn er sie verbindet erhält er eine Gerade.

Aufgabe 1

Yannis möchte wissen, ob er sich in eineinhalb Jahren ein neues Mathebuch für 40€ kaufen kann. Zeichne selbst ein Diagramm in dein Heft und versuche anhand der Linie herauszufinden, ob die Zeit ausreicht.

Das Video konntest du schonmal im ersten Abschnitt anschauen. Dort wird eine sehr ähnliche Aufgabe gelöst.

Aufgabe 2

Fallen dir andere Beispiele für lineares Wachstum oder lineare Abnahme ein? Suche mindestens fünf Beispiele. Erstelle dir dann eine Tabelle, wie unten vorgegeben, und fülle diese mit den Beispielen aus. Du darfst dir dabei Werte ausdenken, die dir realistisch vorkommen. Als Inspiration dient das folgende Bild.

Beispiel	Im Zeitraum von ...	nimmt die Sache um ... zu/ab.
Sparschwein	einem Monat	2€ zu

Aufgabe 3

Löse das Quizz und werde zum Millionär!

Aufgabe 4

In der folgenden Grafik siehst du eine Grafik, die das Wachstum von Bakterien anzeigt? Was fällt dir im Vergleich zu den vorangegangenen Beispielen auf? Schreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede zu den bisherigen Beispielen auf.

Wiederholung

Wiederholung 1

Fülle den folgenden Lückentext vollständig aus. Nutze dein Wissen über Koordinaten, Punkte und das Koordinatensystem.

Achte besonders darauf, wie man Punkte richtig angibt und wofür die x- und y-Werte stehen.

Wiederholung 2

Schiebt die vier angezeigten Punkte an ihre richtige Position im Koordinatensystem. Wenn alle richtig platziert sind, drückt den Button in der rechten unteren Ecke, um neue zufällige Punkte zu erhalten. Wiederholt diesen Vorgang dreimal erfolgreich.

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Wiederholung 3

In einer Firma produzieren die Mitarbeiter Bauteile. Die Anzahl der hergestellten Bauteile ist proportional zur Anzahl der eingesetzten Mitarbeiter.

Anzahl an Mitarbeitern	Anzahl der Bauteile
7 Mitarbeiter	21 Bauteile pro Stunde
1 Mitarbeiter	A
12 Mitarbeiter	B
16 Mitarbeiter	C
20 Mitarbeiter	D
E	52 Bauteile pro Stunde

Hinweis

Die Anzahl der hergestellten Bauteile hängt direkt davon ab, wie viele Mitarbeiter eingesetzt werden. Das bedeutet: Je mehr Mitarbeiter arbeiten, desto mehr Bauteile werden pro Stunde produziert.

Diesen Zusammenhang kann man auch als Formel darstellen: $\mathit{Bauteile pro Stunde} = \text{k} \cdot \mathit{Mitarbeiterzahl }$

Der Wert k gibt an, wie viele Bauteile ein einzelner Mitarbeiter pro Stunde herstellen kann.

Lineare Funktionen - Hard Facts

Wir haben uns in diesem Lernpfad bisher mit einigen Beispielen zu linearem Wachstum auseinandergesetzt. Jetzt ist es an der Zeit die wichtigsten Begriffe zu besprechen und zu definieren.

Erarbeitung

Schau dir zunächst das Video zu linearen Funktionen an. Du erfährst dabei, wie lineare Funktionsgleichungen typischerweise aufgebaut sind und wie sie mit den Geraden im Koordinatensystem zusammenhängen. Es ist nicht schlimm, wenn du nicht direkt alles verstehst. Wir gehen danach alles in kleinen Schritten durch.

Info

Lineare Funktionen können unterschiedlich dargestellt werden. Die drei wichtigsten Darstellungsformen sind die Wertetabelle, der Funktionsgraph und die Funktionsgleichung. Im folgenden Bild gehören alle drei Varianten zur gleichen Funktion.

Info

Eine lineare Funktionsgleichung ist immer gleich aufgebaut: y = mx + b

Dabei enthält sie den Parameter m für die Steigung und den Parameter b für den Schnittpunkt mit der y-Achse.

Hier nochmal das Wichtigste auf einen Blick

Aufgabe 1

Teste dein Wissen. Welche der folgenden Gleichungen ist eine lineare Funktionsgleichung?

Entdecken

Du hast im Video schon gehört, welche Rolle die Parameter spielen. Versuch in der folgenden Grafik durch ausprobieren nochmal nachzuvollziehen, welche Rolle die beiden Parameter für den zugehörigen Funktionsgraphen spielen. Notiere dir dann deine Erkenntnisse. Achte genau darauf, was passiert wenn die beiden Parameter größer, kleiner oder gleich 0 sind.

Training

So geht's weiter!

Wenn wir mit linearen Funktionen arbeiten, ergeben sich bestimmte Herausforderungen immer wieder:

1. Wir müssen zu einer Gleichung den Graphen zeichnen

2. Wir müssen aus einem Graphen die Gleichung ablesen

3. Wir müssen aus zwei gegebenen Punkten eine Funktionsgleichung erstellen

4. Wir müssen die Nullstelle einer linearen Funktion finden.

Für alle Varianten bekommst du eine Erklärung und dann die Möglichkeit zu Üben.

Erste Herausforderung

Den Graphen zu einer Gleichung zeichnen

Schau dir das Erklärvideo an und überlege dir, wie der Inhalt mit deinen Notizen zu den Parametern zusammenpasst.

Aufgabe 1

Verschiebe die 2 Punkte genau so, dass die vorgegebene Geradengleichung erfüllt ist.

Aufgabe 2

Ordne die Graphen den Funktionsgleichungen zu

Aufgabe 3

Zeichne die Graphen zu folgenden Funktionen auf.

a) y = 2x−3

b) y = −2​x+4

c) y = −3x+1

d) y = x−2

e) y = 4x−5

f) y = −2x−1

g) y = 4​x+3

h) y = −4x+6

Zweite Herausforderung

Die Gleichung zu einem Graphen aufstellen

Auch hier erklärt dir Lehrer Schmidt, wie du einfach vorgehen kannst.

Aufgabe 4

Bestimme die zu den Geraden zugehörigen Funktionsgleichungen.

Aufgabe 5

Lies an den Graphen die Steigung und den y-Achsenabschnitt ab.

Dritte Herausforderung

Die Gleichung zu zwei Punkten aufstellen

Schau dir wieder zunächst das Video an und gehe dann weiter zu den Übungen.

Aufgabe 6

Bestimme die Gleichung der Geraden, welche durch die beiden angegebene Punkte geht.

Aufgabe 7

Bestimme die Gleichung der Geraden, welche durch die beiden angegebene Punkte geht. Lass dir dann die Lösung anzeigen. Mache die Übung mit mindestens sechs verschiedenen Punktepaaren.

Vierte Herausforderung

Die Nullstelle einer linearen Funktion finden

Fast geschafft. Schau dir das letzte Video an und nutze die Aufgaben zum Üben.

Aufgabe 8

Du kennst diese Übung schon. Bestimme dieses mal die Nullstelle. Mache die Übung mit mindestens sechs verschiedenen Punktepaaren.

Aufgabe 9

Denke dir Funktionen aus, deren Nullstelle jeweils die geforderte Eigenschaft erfüllt. Tipp: Es könnte helfen dir vorher den passenden Graph aufzuzeichnen.

a) Die Funktion soll ihre Nullstelle im Ursprung haben

b) Die Funktion soll ihre Nullstelle bei -1 haben

c) Die Funktion soll keine Nullstelle haben

d) Die Funktion soll unendlich viele Nullstelle haben

e) Die Funktion soll zwei Nullstellen haben

Hinweis: Eine der Aufgaben ist nicht lösbar ;-)