Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen

Willkommen zu deinem Lernpfad

Hier kannst du dein Wissen zu linearen Funktionen festigen. Du wiederholst, wie man Geraden zeichnet, Steigung und y-Achsenabschnitt bestimmt und überprüft, ob Punkte auf einer linearen Funktion liegen. Die Übungsaufgaben unterstützen dich in der Vorbereitung auf die Klassenarbeit.

Deine Mühe zahlt sich aus: Mit jeder Geraden steigt dein Können!

Funktionen

Funktion

Wenn eine Zuordnung f: x → y jedem x-Wert genau einen y-Wert zuordnet, dann nennt man diese Zuordnung Funktion. Der zugeordnete y-Wert heißt Funktionswert an der Stelle x. Die Kurzschreibweise lautet f(x).

Funktionsvorschrift

Man nennt f: x→2+3x Funktionsvorschrift. Diese drückt aus, dass jedem Punkt x der entsprechende Wert 2+3x zugeordnet wird.

Funktionsterm

Man nennt 2+3x Funktionsterm. Dieser gibt an, dass sich der y-Wert zu Beginn bei 2 befindet und mit jedem weiteren x-Wert um 3 Einheiten steigt.

Funktionsgleichung

Man nennt f(x)=2+3x Funktionsgleichung. Mit dieser kann man zu jedem x Wert den zugehörigen Funktionswert f(x) also den y-Wert berechnen.

Graph von f

Der Graph von f ist die Menge aller Punkte, die mit ihren Koordinaten die Gleichung f(x)=y, also in unserem Beispiel y=2+3x, erfüllen.

Wertetabelle

Eine Wertetabelle zeigt, welche y-Werte (Ausgabewerte) zu bestimmten x-Werten (Eingabewerten) gehören. So kann man leicht erkennen, wie eine Funktion funktioniert. Zum Beispiel bei der Funktion f(x) = 2 + 3x kann man einige x-Werte einsetzen und die passenden y-Werte berechnen: x f(x) 0 2 1 5 2 8

Die Tabelle zeigt also, wie sich die Werte verändern, wenn man verschiedene x-Werte in die Funktion einsetzt.

x	f(x)
0	2
1	5
2	8

Lineare Funktionen

Lineare Funktion

Eine lineare Funktion ist eine Funktion, deren Graph eine gerade Linie ist und durch die Gleichung f(x)=mx+b beschrieben wird. Dabei ist m die Steigung (oder der Anstieg) der Geraden, die angibt, wie stark sie sich pro Einheit der x-Achse verändert, und b ist der y-Achsenabschnitt, also der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet. Zu Steigung und y-Achsenabschnitt erfährst du später noch mehr.

Training

Welcher Graph gehört zu einer Funktion und welcher nicht? Begründe.

Von der Wertetabelle zum Graph

Von der Tabelle zum Graphen

Eine Wertetabelle kannst du nutzen, um zum Graphen einer linearen Funktion zu gelangen, indem du die Wertepaare (x,y) aus der Tabelle als Koordinatenpunkte in ein Koordinatensystem einträgst. Du zeichnest zuerst die Achsen, trägst dann jeden Punkt aus der Tabelle ein und verbindest diese Punkte anschließend zu einer Geraden. 

Vom Graph zur Wertetabelle

Vom Graph zur Tabelle

Um von einem Graphen zur Wertetabelle zu gelangen, lies die Punkte vom Graphen ab und tragen die entsprechenden x- und y-Werte in die Tabelle ein.

Bei einer linearen Funktion ist der Graph eine Gerade, daher genügen zwei beliebige Punkte auf der Geraden, um die Tabelle zu erstellen und den Graphen eindeutig zu definieren. Das hängt mit der Steigung zusammen. genaueres lernst du im nächsten Kapitel.

Steigung von linearen Funktionen

Steigung

Die Steigung einer linearen Funktion wird mit dem Buchstaben m ausgedrückt. Sie gibt an, wie stark der Graph der Funktion ansteigt oder abfällt. Sie wird als Verhältnis der Änderung in y-Richtung zur Änderung in x-Richtung berechnet. Konkret bedeutet es, dass wir Delta y geteilt durch Delta x rechnen. Man kann auch schreiben: m= (y₂ ― y₁) : (x₂ ― x₁). Ein positives m bedeutet einen ansteigenden Graphen, also von links unten nach rechts oben, ein negatives m bedeutet einen fallenden Graphen, also von links oben nach rechts unten. 

y-Achsenabschnitt und Nullstellen

Braucht es vorher eine allgemeine Erklärung, warum wir y-Achsenabschnitt und Nullstellen brauchen?

bli bla blupp

y-Achsenabschnitt

y-Achsenabschnitt

Der y-Achsenabschnitt, der auch Ordinatenabschnitt genannt wird, einer linearen Funktion ist der Punkt, an dem der Graph der Funktion die y-Achse schneidet. Dieser Wert ist der y-Wert, wenn x=0 ist, und wird in der Funktionsgleichung y=mx+b durch die Konstante b repräsentiert.

Nullstellen

Nullstellen

Eine lineare Funktion hat in der Regel zwei Nullstellen. Eine Nullstelle ist der x-Wert, bei dem der Funktionswert f(x) gleich null ist. An dieser Stelle schneidet der Graph der Funktion die x-Achse im Koordinatensystem. Um sie zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null, also in unserem Beispiel 0=2+3x und löst die Gleichung nach x auf. 

Die zweite Nullstelle ist der y-Wert, bei dem der x-Wert gleich null ist. An dieser Stelle schneidet der Graph der Funktion die y-Achse im Koordinatensystem. Um sie zu berechnen setzt man in der Funktion für jedes x Null ein und erhalt so den y-Wert.

Gerade aus Punkten

Gerade aus Punkten erstellen

Zuerst muss die Steigung m berechnet werden. Die Formel hierfür ist dir bereits bekannt: m={y_2 - y_1): (x_2 - x_1).Setze die Koordinaten der beiden dir gegebenen Punkte (x_1|y_1) und (x_2|y_2) in die Formel ein. So erhält du dein m. Danach setzt du m in deine Gleichung y=mx+b ein sowie einen deiner beiden Punkte. Dann kannst du die Gleichung nach b umstellen und somit erhält du dein b. Nun schreibst du ein letztes Mal deine Gleichung auf bei der nun für m und b Zahlen stehen. So hast du deine Geradengleichung erstellt.