Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/Wertetabelle und Funktionsgleichung

Aus ZUM-Unterrichten



2.3) Zusammenhang zwischen Wertetabelle und Funktionsgleichung

Wiederholung: Erstellen einer Wertetabelle mithilfe der Funktionsgleichung

Du hast in den Einführungsbeispielen schon Wertetabellen erstellt. Schauen wir uns das Beispiel zum Bootsverleih noch einmal an. Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 2x + 5

Um nun eine Wertetabelle zu erstellen, setze für x verschiedene Werte ein und berechne den zugehörigen y-Wert, den Funktionswert.  Erinnerung: Werte von Termen berechnen (7. Klasse)

Wertetabelle erstellen Beispiel 2x+5 berichtigt.png


Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:

Übung 1: Wertetabelle erstellen
Bearbeite im Buch S. 141 Nr. 2 links und rechts.


Punktprobe: Liegt der Punkt auf der Geraden?

Bootsverleih

Boat-g79745909a 1280.pngAufgabe 1: Tom und Lisa möchten im Urlaub ein Tretboot ausleihen. Die Grundgebühr beträgt 5€, pro Stunde zahlen sie 2€ Miete.
a) Sie leihen für 3 Stunden ein Tretboot. Der Bootsverleiher rechnet den Preis 10€ aus. Kann das sein?

b) Tom und Lisa leihen ein Tretboot für 1,5 Stunden. Wie viel müssen sie bezahlen?


Bei der Punktprobe entscheidest du rechnerisch, ob ein Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt.

geg: Punkt A(3|10); Funktion f(x) = 2x + 5

ges: Liegt der Punkt A auf dem Graphen der Funktion?

In der Zeichnung erkennen wir sofort, dass dies nicht der Fall ist.

F(x) = 2x + 5 Punkt A liegt nicht auf dem Graphen.png


Punktprobe

Wie können wir rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt?

Schreibe die nachfolgende Rechnung in dein Heft.

Gegeben ist die Funktionsgleichung  y = 2x + 5. Liegt der Punkt A(3|10) auf dem Graphen der Funktion?

(Hier ist es leichter y statt f(x) zu schreiben, der Zusammenhang zu den Koordinaten des Punktes sind dann leichter zu erkennen.)

Idee: Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob die Gleichung erfüllt wird.

   y=  2x + 5       A(3|10)

10 = 2·3 + 5

  10 = 6 + 5

  10 = 11 (f)

Es ergibt sich eine falsche Aussage, die Gleichung ist nicht erfüllt, also liegt der Punkt nicht auf dem Graphen. Wir prüfen ebenso, ob der Punkt B(4|13) auf der Geraden liegt:

Punktprobe:

  y  =  2x + 5       B(4|13)

13 = 2·4 + 5

13 = 8 + 5

13 = 13 (w)

Es ergibt sich eine wahre Aussage, die Gleichung ist erfüllt, also liegt der Punkt auf dem Graphen.

Das folgende Video fasst noch einmal zusammen:

Zusammenfassung:
noch mehr Beispiele:

Punktprobe
Wir können rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes P(xIy) in die Funktionsgleichung f(x) = mx + b ein. Der Punkt liegt auf dem Graphen, wenn sich eine wahre Aussage ergibt, die Gleichung also erfüllt ist.

Übung 2: Punktprobe
Prüfe in der folgenden App rechnerisch, ob der Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt.



Fehlende Koordinate eines Punktes der Funktion berechnen

Lineare Funktionen erkennen - Bootsverleih
Aufgabe 1: Tom und Lisa möchten im Urlaub ein Tretboot ausleihen. Die Grundgebühr beträgt 5€, pro Stunde zahlen sie 2€ Miete.
Tom und Lisa leihen ein Tretboot für 1,5 Stunden. Wie viel müssen sie bezahlen?

Du kannst mithilfe der Funktionsgleichung fehlende Koordinaten berechnen.

1. Möglichkeit: x-Koordinate ist gegeben

geg: x = 1,5 und f(x) = 2x+5

ges: zugehöriger y-Wert

Setze die x-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und berechne:  f(x) = 2x + 5

  y = 2·1,5 + 5

          = 3 + 5

         = 8                            P(1,5|8)

Sie müssen 8€ bezahlen.

2. Möglichkeit: y-Koordinate ist gegeben:

Tom und Lisa bezahlen 10 €. Wie lange haben sie das Tretboot ausgeliehen?

geg: y = 10 und f(x) = 2x+5

ges: zugehörige x-Koordinate

Setze die y-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und löse nach x auf:

  f(x) = 2x + 5

  10  = 2x + 5      |-5

    5  = 2x             |:2

   2,5 = x           P(2,5|10)

Sie haben das Boot für 2,5 Stunden geliehen.


Zusammenfassung:
noch mehr Beispiele:

Übung 3: Fehlende Koordinate bestimmen
Bestimme in der folgenden App jeweils die fehlende Koordinate.

Übung 4: Fehlende Koordinaten bestimmen und Punktprobe
Löse nun S. 137 Nr. 8 und 9.

Übung 5: Fehlende Koordinaten bestimmen und Punktprobe



Aufstellen der Funktionsgleichung durch den Punkt P mit m oder b gegeben

Übung 6: Aufstellen der Funktionsgleichung
Löse S. 130 Nr. 9 (zeichnerisch UND rechnerisch) und S. 131 Nr. 13. Gegeben ist ein Punkt und die Steigung bzw. der y-Achsenabschnitt b. Wie kannst du vorgehen?


Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen

Lineare Funktionen erkennen - Pool
Aufgabe 3: Der Pool des Hotels muss geleert werden. Zu Beginn steht das Wasser 2 m hoch. Der Wasserstand sinkt stündlich um 10 cm. Nach welcher Zeit ist der Pool leer?

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Für den Schnittpunkt Py mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) setzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung ein berechnen b.

Py (0|b)

Für den Schnittpunkt N mit der x-Achse (Nullstelle) setzen wir f(x) = 0 (oder y = 0) in die Funktionsgleichung ein und lösen die Gleichung nach x auf.

N (xNI0)

Übersicht Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Übung 7: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Löse S. 137 Nr. 7