Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Die Ableitung als lokale lineare Approximation
Für diese Grundvorstellung werden Sie verschiedene Funktionen unter die Lupe nehmen und feststellen wie sich diese in kleinen Umgebungen um einen Punkt verhalten.
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a) Zoomen Sie vermehrt an den Punkt A. Was stellen Sie fest? Beschreiben sie Ihre Beobachtung?
b) Was erwarten Sie, wenn Sie an den Punkt B zoomen? Überprüfen Sie Ihre Vermutung mit dem Applet. Beschreiben Sie Ihre Vermutung und was Sie festgestellt haben.
c) An welchen Stellen des Funktionsgraphen würde es beim Hineinzoomen ebenfalls so aussehen wie um den Punkt B?
In dieser Aufgabe werden Sie Funktionen untersuchen in denen die lokale Linearität nicht auf Anhieb ersichtlich ist. Geben Sie im Applet die kritischen Punkte ein die Sie untersuchen möchten und überprüfen Sie die lokale Linearität durch Hineinzoomen.
a) zum Applet
b) zum Applet
Nun werden Sie mit Hilfe des Funktionenmikroskop die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Punkt bestimmen.
a) Zoomen Sie in diesem Applet vermehrt in den Punkt A hinein und schieben Sie B durch Verkleinerung von h näher an A heran. Berechnen Sie mit Hilfe des Differenzenquotienten die Steigung, die der Graph ,,im" Punkt A hat so genau wie möglich.
Tipp: Mit den Pfeiltasten lässt sich der Schieberegler feiner ändern.
b) Welches Problem kann bei der Verschiebung von B gegen A auftreten? Was muss für die Bestimmung der Steigung gewährleistet sein?
Die Tangente als lokale lineare Approximation
Wie du in den Aufgaben zuvor schon gesehen hast, lässt sich der Graph der Funktion in einer kleinen Umgebung sehr gut durch die Tangente nähern.
Wir betrachten die Funktion f(x)=0,25x², die Tangente der Funktion am Punkt P (x0|f(x0)) mit x0 = 1,5und die Abweichung h von x0.
a) Für welche Werte von h lassen sich die Werte der Funktion durch die der Tangente gut annähern? Entscheiden Sie mit Hilfe des Applets und interpretieren Sie die rote Strecke.
b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente mit Hilfe des Differentialquotienten.