Eigenschaften ganzrationaler Funktionen

Willkommen beim Lernpfad zu den Eigenschaften ganzrationaler Funktionen Zur Zeit beschäftigen wir uns mit ganzrationalen Funktionen, wobei du die einfachste Form, die Potenzfunktionen, bereits kennengelernt hast. Von Interesse ist hier vor allem der Verlauf einer Funktion in Abhängigkeit des Funktionsterms. Im folgenden sollen die bereits bekannten Informationen über die Potenzfunktionen auf allgemeine ganzrationale Funktionen übertragen werden. Voraussetzungen Du kannst den Verlauf des Funktionsgraphen einer Potenzfunktion anhand des Funktionsterms beschreiben und skizzieren. Du kannst den Funktionsterm einer Potenzfunktion mit Hilfe eines Gleichungssystems ermitteln. Ziele Du erkennst, wann eine ganzrationale Funktion vorliegt, und wann nicht. Du kannst den Verlauf des Funktionsgraphen einer gebrochenrationalen Funktion anhand des Funktionsterms beschreiben. Du kannst den Funktionsterm einer gebrochenrationalen Funktion mit Hilfe eines Gleichungssystems ermitteln.

Hinweise zur Bearbeitung

1. Hefteintrag

Der grobe Hefteintrag ist bereits hier angelegt. Fülle die noch leren Felder mit den im Lernpfad gewonnenen Informationen aus.

2. Bearbeitung

• Bearbeite die Aufgaben mit einem Mitschüler.
• Bearbeite die Aufgaben der Reihe nach.
• Überprüfe dein Wissen am Ende jedes Abschnittes durch die Beispielaufgaben
• Nutze die Hinweise erst, wenn du mit deinem Mitschüler sicher nicht mehr weiter kommst. Versuche so lange wie möglich ohne die Hinweise auszukommen.
• Vergleiche deine Ergebnisse mit den Lösungen erst nachdem du den Abschnitt fertig abgeschlossen hast.

Wichtige Definitionen

Polynom

Terme, die aus einer Summe von Potenzen (mit Exponenten aus $\mathbb{N}_0$) bestehen, heißen Polynome. Den höchsten vorkommenden Exponent nennt man Grad des Polynoms. Beispiele: 2x4 - 3x3 + x - 5 ist ein Polynom vom Grad 4 -3x12 + 14x2 - 20 ist ein Polynom vom Grad 12

Ganzrationale Funktion

Funktionen, deren Funktionsterme f(x) Polynome sind, nennt man ganzrationale Funktionen. Der Grad des Polynoms ist dann auch der Grad der Funktion. Beispiel: $f(x)=-3x^7+1$ ist eine ganzrationale Funktion vom Grad 7

Allgemeine Funktionsgleichung und Koeffizienten

Der allgemeine Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion vom Grad n ist $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_2x^2 + a_1x+a_0$ Die ak nennt man Koeffizienten (0$\le$ k $\le$ n). Beispiele: $f(x)=3x^2-5x+7$ mit a2 = 3, a1 = -5, a0 = 7 $f(x)=-2x^4+3x$ mit a4 = -2, a3 = 0, a2 = 0, a1 = 3, a0 = 0

Aufgabe

Entscheide ob folgende Funktionen ganzrational sind. Gib gegebenenfalls den Grad und die Koeffizienten an

a) $f(x)=7x^3-5^x$

b) $g(x)=0,5x^8-x^3+10$

c) $h(x)=x^2(x-6)+3$

d) $i(x)=\frac{5x^3}{x^2-7}$

Verhalten ganzrationaler Funktionen für betragsmäßig große x-Werte

Gerader Funktionsgrad

Aufgabe

Gegeben sind die Funktionen $f(X)=3x^4+2x^3+x+2$ und $g(x)=-4x^6+2x^3-2x$

a) Zeichne die Graphen der Funktionen mit GeoGebra in ein gemeinsames Koordinatensystem.

b) Welcher Unterschied bzw. welche Gemeinsamkeit fällt dir bezüglich des Verhaltens für betragsmäßig große x-Werte auf?

c) Welcher Summand im Funktionsterm ist vermutlich ausschlaggebend für das Verhalten?

d) Welchen Einfluss hat der Koeffizient dieses Summanden?

e) Zeichne weitere ganzrationale Funktionen mit geradem Funktionsgrad in das Koordinatensystem und überprüfe damit deine Vermutungen.

f) Was lässt sich also allgemein über das Verhalten für betragsmäßig sehr große x einer ganzrationalen Funktion vom Grad n (n gerade) aussagen?

g) Fasse deine Ergebnisse zusammen und ergänze den Hefteintrag an den entsprechenden Stellen.

Ungerader Funktionsgrad

Aufgabe

Gegeben sind die Funktionen $f(x)=2x^5+4x^2-3$ und $g(x)=0,5x^3-x^2+3x-1$

a) Untersuche die beiden Funktionen wie im vorherigen Abschnitt zum geraden Funktionsgrad

b) Was lässt sich also allgemein über das Verhalten für betragsmäßig sehr große x einer ganzrationalen Funktion vom Grad n (n ungerade) aussagen?

c) Fasse deine Ergebnisse zusammen und ergänze den Hefteintrag an den entsprechenden Stellen.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Gib den charakteristischen Verlauf der Graphen der folgenden Funktionen an

a) $x \rightarrow 3x^2-5x+1$ links oben nach rechts oben

b) $x \rightarrow -0,1x^5-2,1x^4+1,7x+0,5$ links oben nach rechts unten

c) $x \rightarrow (-5x)^4-12x^2+7x$ links oben nach rechts oben

d) $x \rightarrow (x+3)^3-3x+7$ links unten nach rechts oben

e) $x \rightarrow 4x^5-(x^2+2)^3$ links unten nach rechts unten

f) $x \rightarrow x^5(3-x)$ links unten nach rechts unten

g) $x \rightarrow (1,5x-1,2)(3,2x+3,7)$ links oben nach rechts oben

h) $x \rightarrow (2-x^3)^3(2x^2+x)-14x^9$ links oben nach rechts unten

i) $x \rightarrow (0,5-2x^2)^2(0,7-0,5x^2)^3$ links unten nach rechts unten

j) $x \rightarrow 2x^{2n}+1$ links oben nach rechts oben