Einführung in die Differentialrechnung
Achtung: Baustelle: Lernpfad zur Einführung in die Differentialrechnung
Einstiegsaufgaben
Blumenvase
In eine Vase wird gleichmäßig Wasser eingefüllt. Die Höhe des Wasserstandes in Abhängigkeit von der Zeit kann mit folgender Funktion beschrieben werden:
Mit welcher Geschwindigkeit nimmt die Wasserhöhe zum Zeitpunkt t=12 Sekunden zu?
Barringer-Krater
In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater.
Der Krater hat einen Durchmesser von etwa 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An der flachsten Stelle kann der Kraterrand durch die folgende Funktion beschrieben werden: für
Hier kommt noch ein Koordinatensystem mit der Funktion hin
Im Krater befindet sich ein Fahrzeug, das eine Steigung von bus zu 100% bewältigen kann. Kann das Fahrzeug den Kraterrand erreichen und aus dem Krater herausfahren?
Durchschnittliche Änderungsrate
Blumenvase
Beantworte die Fragen, indem du die Schieberegler für t und t1 entsprechend einstellst:
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 14 Sekunden?
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 13 Sekunden?
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 12,5 Sekunden?
...
Sekantensteigung
Barringer-Krater
Die durchschnittliche Steigung des Kraters zwischen den Punkten A(x0|f(x0)) und B(x1|f(x1)) kann mit berechnet werden. Dies enspricht der Steigung der Geraden, die durch die Punkte A und B geht. Eine soche Gerade, die den Graphen einer Funktion in zwei Punkten scheidet, nennt man Sekante. ist dann die Sekantensteigung.
- {{Lösung versteckt|1=
In der Graphik der Lösung der vorherigen Aufgabe kann man den Punkt B bewegen, indem man mit der Maus auf ihn zeigt und bei gedrückter linker Maustaste die Maus bewegt.
Die beiden Schnittpunkte der Sekante nähern sich immer mehr einander an. Wenn der Punkt B mit dem Punkt A zusammenfällt, gibt es nur noch einen Schnittpunkt der Geraden mit dem Graphen der Funktion.
- Die Steigung ist (ungefähr) 3.
- Die Steigung ist (ungefähr) 2,5.
- die Steigung ist (ungefähr) 2.
- Die Steigung ist .
- Wählt man , so ergibt sich .
- Wenn man x1 sehr dicht an 1 wählt, ist die Näherung recht genau.
Anstatt x1 immer mehr x0 anzunähern, kann man auch die Differenz klein werden lassen. Es ist dann .
Differenzenquotient
Reflexionsaufgabe: Gemeisamkeiten herausarbeiten als Vorbereitung der Plenumsphase
Plenumsphase? Möglicher Inhalt: Verbindung zwischen durchschnittlicher Änderungsrate, Sekantenssteigung und Differenzenquotient (allgemeine Beschreibung für die beiden Konzepte) herstellen.
Differentialquotient
Der Differentialquotient f'(x0 )
- beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x0 und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x0 und x1 den Wert x1 immer mehr dem Wert x0 annnährt,
- beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x0|f(x0)) und entsteht, wenn man in Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x0|f(x0)) und B(x1|f(x1)) den Punkt B(x1|f(x1)) immer mehr dem Punkt A(x0|f(x0)) annähert.
Vorlage:ProtokollierenSchreiben Sie die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer Skizze in Ihr Heft.
Andere Schreibweise:
Statt den Wert x1 immer mehr dem Wert x0 anzunähern, können wir auch die Differenz der beiden Werte immer kleiner werden lassen.
Dies nennt man die h-Schreibweise des Differentialquotienten.
Vorlage:Untersuchen Vergleichen Sie die beiden Applets und untersuchen Sie die Veränderungen.
Ableitungsfunktion
Ableitungsfunktion Applet als Link übernehmen?Passt doch eigentlich so.
Kontext plus Übung
Diagnoseinstrument