Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Efron

Die „Würfel von Efron“

Aufgabe

Findest du das Spiel fair?

Um dies herauszufinden, bastle dir die „Würfel von Efron“ ganz einfach nach. Nimm dazu beispielsweise vier helle Spielwürfel und beschrifte diese mit einem Folienstift so wie oben dargestellt, oder beklebe deine Würfel mit Papier. Jetzt spiele mit einem Freund oder einer Freundin nach den Spielregeln.

Wie ihr sicherlich herausgefunden habt, scheinen manche Würfel besser zu sein als andere. Wenn du die nächsten Aufgaben bearbeitest, wirst du erkennen, dass man mit einer gewissen Taktik sein Glück in diesem Spiel ganz schön beeinflussen kann.

Vorlage:Aufgaben-M

Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt

Vorlage:Aufgaben-M

Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt

• Da Anna sicher eine 3 würfelt, gewinnt sie nur wenn Pia eine 0 würfelt.

Nach Aufgabe 4.1 ist diese Wahrscheinlichkeit  $p\left(0\right)=\frac{1}{3}\ .$

Das Ereignis „Pia gewinnt“ ist das Gegenereignis dazu und berechnet sich demnach folgendermaßen:

$p(\mathrm{Pia\ gewinnt}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\ .$

• Dies lässt sich auch aus dem folgenden Baumdiagramm erkennen:

• Betrachte noch folgende 36-Feldertafel:

Hier werden alle möglichen Würfelpaare abgebildet.

Beispiel: zeigt der grüne Würfel 0, gewinnte der rote und die passenden Felder wurden rot markiert.

Zählt man die Felder einfach ab, so folgt:

Der grüne Würfel gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von  $\frac {24}{36} = \frac{2}{3}$  gegen den violetten Würfel.

Das stimmt mit unserem Baumdiagramm und der Rechnung überein!

Die Tabelleneinträge stehen für die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel in der Zeile gegen den in der Spalte gewinnt.

Beispiel: Die Werte aus Aufgabe 4.2 sind schon eingetragen.

Hast du hierbei noch Schwierigkeiten, erklärt dir folgende Lösungshilfe ein weiteres Beispiel ganz genau: Vorlage:Versteckt

• Es gibt insgesamt $4\ \cdot\ 3 = 12$ verschiedene Spielpaarungen.

Die Wahrscheinlichkeiten, dass Spalte gegen Zeile gewinnt sind nun eingetragen:

• Nein, es gibt keinen „Superwürfel“. Man findet zu jedem Würfel einen Besseren, der mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{2}{3}$ gewinnt.

Die beste Strategie zu gewinnen ist also höflich zu sein und em Anderen den Vortritt zu lassen!

Für Interessierte: Vorlage:Aufgaben-M

Lösungshilfe: Vorlage:Versteckt

  Der gelbe Würfel gewinnt auf jeden Fall, falls er die 6 zeigt.
  Dann sind die anderen Würfe uninteressant und der Pfad ist schon zu Ende.

  Falls er die 2 zeigt, muss der nächstbeste Würfel gesucht werden.

  Als nächstes kann der türkise Würfel gewinnen, falls er 5 zeigt. Der Pfad ist zu Ende.

  Wenn nicht, könnte der grüne Würfel gewinnen, falls er die 4 zeigt.

  Hat bis jetzt keiner gewonnen, gewinnt schließlich der violette Würfel.

Aufgabe

Für Interessierte:

Spielt das Spiel aus Aufgabe 4.4 zu viert nach! Würfelt mindestens zehnmal und vergleicht eure Gewinnstatistik mit den berechneten Wahrscheinlichkeiten.

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Vorlage:Kasten Mathematik