Benutzer:CarlottaHannah/ Einführung in die linearen Funktionen

Lernpfad: Einführung in die linearen Funktionen

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Hallo und herzlich Willkommen zum Lernpfad zur Einführung in die linearen Funktionen.

Da du bereits den Begriff der Zuordnungen kennengelernt hast und den Aspekt der Linearität von Zuordnungen verstanden hast, bist du hier genau richtig!

Der Lernpfad ist für die achte Klasse geeignet und dient dazu, dass du dir die Basics des Themas Lineare Funktionen selbstständig erarbeiten kannst. Der zeitliche Umfang für die Erarbeitung beträgt vier Einzelstunden. Damit dir das eigenständige Arbeiten auch gut gelingen kann, solltest du dir vor dem Bearbeiten überlegen, womit du beginnen möchtest. Organisiere deinen Arbeitsplan so, dass du jede Stunde weißt, was heute ansteht. Nach jeder Stunde lädst du dir den Selbstreflexionsbogen herunter und füllst diesen aus. Damit kannst du dein Arbeiten überwachen und von Stunde zu Stunde optimieren.

Am Ende der Einheit nimmst du alle Stundenreflexionen zusammen und überlegst dir, inwiefern sich dein selbstständiges Arbeiten im Laufe der Stunden verbessert hat und reflektierst deinen Lernfortschritt abschließend.

Differenzierungserklärung fehlt

Viel Spaß!

Hier findest du den Bogen zur Selbstreflexion nach jeder Stunde.

🧮Kompetenzen

Die Lerngruppe, die den Lernpfad bearbeitet sollte ein intuitives Begriffsverständnis zu Funktionen und Linearität bereits mitbringen. Die Kenntnis über funktionale und lineare Zusammenhänge wird für die Aufgaben vorausgesetzt und der Lernpfad knüpft an dieser Stelle an. Das heißt die Lernenden können bereits Punkte in einem Koordinatensystem eintragen und sollen nun an die Darstellung und Operation mit linearen Funktionen herangeführt werden.

Die Lernenden erweitern mit dem Lernpfad ihre Darstellungskompetenz und bauen ihr intuitives Begriffsverständnis zu einem inhaltlichen Begriffsverständnis aus.

🎯Lernziele

Die Schülerinnen und Schüler...

...können lineare Zusammenhänge in verschiedenen Darstellungsformen (verbal, grafisch und tabellarisch) identifizieren.

...können den Einfluss der Parameter m und b beschreiben und diese aus gegebenen Informationen berechnen.

...können zu Sachsituationen Funktionsgleichungen aufstellen, grafisch darstellen und diese zur Lösung einfacher Probleme nutzen.

Wiederholung - Was sind eigentlich lineare Funktionen?

Weißt du noch?

Lineare Zusammenhänge sind proportionale Zuordnungen. Also Zusammenhänge, bei denen die Wertepaare sich immer gleichmäßg ändern, Verdopplung von x bewirkt auch eine Verdopplung von y etc.

Versuche nun dein Wissen durch die Aufgaben aufzufrischen.

Aufgabe Nr. 1

Welche der drei gezeigten Graphen zeigt eine lineare Funktion? Begründe deine Antrwort.

1) und 3) sind linear. Das erkennt man daran, dass es sich um proportionalen Zuwachs oder proportionale Abnahme handelt. Das bedeutet, dass pro Einheit auf der x-Achse der gleiche Zuwachs/die gleiche Abnahme auf der y-Achse zu beobachten ist.

2) ist nicht linear, weil erst eine Abnahme und dann eine Zunahme stattfindet.

Aufgabe Nr. 2

Welche Tabelle stellt einen linearen Zusammenhang dar?

Übertrage die richtige Tabelle in dein Heft und begründe, indem du die Pfeile wie im Beispiel setzt.

Beispiel zur Aufgabe Nr. 2

Tabelle 1

x	f(x)
1	5
2	10
3	15
4	20

Tabelle 2

x	f(x)
1	4
2	8
3	16
4	20

Tabelle 3

x	f(x)
4	2
5	4
6	6
7	9

Tabelle 1 beschreibt eine lineare Zuordnung. Das wird daran deutlich, dass für jeden Schritt, in der Spalte für x, plus 1 gerechnet wird und in der Spalte für y plus 5 gerechnet wird. Damit handelt es sich um ein proportionales Wachstum.

Die Tabellen 2 und 3 beschreiben keine linearen Zusammenhänge, da jeweils in einer Zeile die Änderung von y, im Vergleich zu den anderen Zeilen, abweicht.

Funktionsgleichung entdecken

Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet: f(x)=mx+b oder y=mx+b. Wofür die beiden Parameter stehen wirst du hier herausfinden. f ist der Name der Funktion, sie kann also auch genauso gut g, h, s, oder p heißen.

Parameter sind in der Mathematik Größen, die veränderbar, also variabel, sind. Sie treten oftmals in Funktionen oder Gleichungen auf. In einer einzelnen Funktion haben Parameter allerdings einen festen Wert, während Variablen, wie x und y, unendlich viele verschiedene Werte annehmen können.

Werden die Parameter erneut anders gewählt, handelt es sich um eine ganz andere lineare Funktion.

Wertetabelle

🍎Wenn du einkaufen gehst und ein Apfel 0,40 € kostet, kannst du den Preis leicht berechnen:

1 Apfel kostet 0,40 €, 2 Äpfel kosten 0,80 €, 3 Äpfel 1,20 € usw.

Hier besteht eine Zuordnung zwischen der Anzahl der Äpfel (x) und dem Preis (y).

Aufgabe Nr. 1

Stelle eine Wertetabelle auf.

Lösung

Anzahl der Äpfel (x)	Preis in € (y)
1	0,40€
2	0,80€
3	1,20€
4	1,60€
5	2,00€

Aufgabe Nr. 2

a) Zeichne ein Koordinatensystem in dein Heft und trage die Wertepaare deiner Wertetabelle dort ein.

b) Verbinde die Punkte. Was fällt dir auf? Beschreibe die entstandene Zeichnung in deinem Heft.

Benutze deine Tabelle. Wie viel Preis pro dazukommendem Apfel muss man mehr bezahlen? Setze Pfeile an deiner Tabelle, welche Operation von Spalte zu Spalte der Wertetabelle für x und y vorgenommen wird.

Lösung eingeben

Punktprobe

Aufgabe Nr. 3

Überprüfe ob die Punkte P(7;2,8) und Q(1;0,5) auf dem von dir gezeichnten Graphen liegt.

a) Nutze deine Zeichnung und begründe daran.

b) Überprüfe mithilfe der zugehörigen Funktionsgleichung f(x)=0,4x

Jeder Punkt hat eine x- und eine y-Koordinate. Wenn man eine davon kennt, kann man diese in die Funktionsgleichung einsetzen und die andere ausrechnen. Was müsste für y rauskommen, wenn wir die bekannte x-Koordinate einsetzen, damit der Punkt auf dem Graphen liegt bzw. nicht drauf liegt?

Wertepaare und fehlende Koordinaten

Ein Wertepaar ist immer wie folgt aufgebaut (x,y). Wir haben bereits gelernt, dass in linearen Zuordnungen jedem x genau ein y zugeordnet werden kann. Wenn wir eine Funktionsgleichung gegeben haben und eine der Koordinaten kannen, können wir diese in die Gleichung einsetzen und umformen.

Aufgabe Nr. 4

Die Funktion f(x)=3x+2 ist gegeben.

a) Bestimme den Punkt P(5,y), der auf f liegt.

b) Bestimme den Punkt Q(x,7), der auf f liegt.

Weitere Übungen findest du hier: https://learningapps.org/watch?app=pz6auqgia20

Parameter m und b

GeoGebra Applet

Aufgabe Nr. 1

Bewege den blauben Schieberegler für m und notiere deine Beobachtungen im Heft:

a) In welchem Bereich für m sieht der Graph im Bild ungefähr so [\] aus?

b) In welchem Bereich für m sieht der Graph im Bild ungefähr so [/] aus?

c) Was passiert, wenn du m=0 einstellst? Wie sieht der Graph aus?

Aufgabe Nr. 2

Lasse nun den blauen Schieberegler fest, verändere den Wert von b über den roten Schieberegler.

a) Was passiert mit dem Graphen? Beobachte den Punkt B und die Funktionsgleichung genau.

b) Wann verläuft der Graph durch den Ursprung (0;0)?

Aufgabe Nr. 3

a) Wie verändert sich das blaue Dreieck, wenn du die Schieberegler einzeln betätigst?

b) Was passiert mit dem Punkt B, wenn du m veränderst? Was, wenn du b veränderst?

Notiere nun deine Vermutung, wofür die Parameter m und b stehen

Steigung und y-Achsenabschnitt

Bedeutung der Parameter m und b

Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet: f(x)=mx+b bzw. y=mx+b.

m steht dabei für die Steigung:

Wenn m<0 ist, fällt der Graph, er sieht also ungefähr so \ aus.

Wenn m>0 ist, steigt der Graph, er sieht also ungefähr so / aus.

Wenn m=0, dann ist der Graph eine Waagerechte, Parallele zur y-Achse.

b ist der y-Achsenabschnitt, also der Punkt an dem der Graph f die y-Achse schneidet.

Steigung und y-Achsenabschnitt

Inspiration aus dem Kasten

Aufgabe Aufgabe 1

In welchem Bild ist m positiv und in welchem Bild ist m negativ? Schreibe deine Antwort mit Begründung in dein Heft.

In Bild 1) ist m positiv, da der Graph steigt.

in Bild 2) ist m negativ, da der Graph fällt.

Das Steigungsdreieck

Aufgabe Nr. 1

Stell dir vor, der Graph stellt eine schiefe Ebene dar. Nun sollen daraus rechtwinklige Treppenstufen entstehen, wobei eine Stufe eine LE lang sein soll.

a) Zeichne bei beiden Graphen die Treppenstufen ein.

b) Beschreibe die Unterschiede der beiden Treppenstufen.

Graphen zu Aufgabe Nr. 1

Benutze die Adjektive: flach – steil – höher – niedriger

Zur Info:

Ein Steigungsdreieck kannst du in einem Graphen innerhalb eines Koordinatensystems einzeichnen.

Das Steigungsdreieck ist dafür da, dass du m ganz einfach ablesen kannst. Dafür gibt es nämlich eine feste Regel, die es dir möglich macht, m, also die Steigung, immer von einer linearen Funktion abzulesen.

Um ein Steigungsdreieck einzeichnen zu können, suchst dir zwei Punkte auf dem Graphen, die einfach abzulesen sind. Trotzdem ist es egal, welche Punkte du dir aussuchst. Hauptsache: Sie liegen auf dem Funktionsgraphen.

In dem Beispiel (1) sind die Punkte Q1 (0 | 1) und Q2 (1| 2) eingezeichnet. Du gehst nun von Q1 1 LE nach rechts 1 LE nach rechts und danach eine LE nach oben 1 LE nach oben. Daraus entsteht ein rechtwinkliges Dreieck.

(!) Wichtig: Es muss immer ein rechtwinkliges Dreieck entstehen.

Du kannst dir merken, dass du immer eine LE nach rechts gehen musst. Dann geht das Dreieck so weit nach oben, bis du den Graphen wieder berührst.

m ist also in diesem Fall: $\left ( \frac{1}{1} \right )$ = 1

Graph zu Nr. 2

Aufgabe Nr. 2

Probiere nun selbst, die Steigung des Graphen herauszufinden, indem du das Steigungsdreieck nutzt.

Orientiere dich an dem Beispiel (1).

Graph zu ⭐

Die Steigung beträgt 3, also m=3.

Aufgabe ⭐

Was fällt dir an diesem Graphen auf?

Zeichne ein Steigungsdreieck.

Kannst du die Steigung angeben?

Graph zu Nr. 3

In diesem Steigungsdreieck, geht man nicht nur 1 LE nach rechts, sondern 3 LE nach rechts 3 LE nach rechts und eine LE nach oben eine LE nach oben. Würde man nur eine LE nach rechts gehen, wäre es nicht so leicht, die Steigung abzulesen, sobald man versucht, nach oben, bis zum Graphen zu gehen. Deswegen versucht man, das optimalste Dreieck zu finden. Dadurch beträgt m = $\left ( \frac{1}{3} \right )$.

Aufgabe Nr. 3

Versuche nun, m mit Hilfe des Steigungsdreiecks herauszufinden, wobei m negativ ist.

💡Tipp: Das Steigungsdreieck muss nun oberhalb des Graphen liegen.

m ist in diesem Fall negativ und. Das bedeutet m=$-\left ( \frac{5}{4} \right )$.

Von der Funktionsgleichung zum Funktionsgraphen

Probiere dich aus!

Aufgabe Nr. 1

Zeichne die Funktion f(x)= 2x + 1 nun mit deinem Wissen zum Steigungsdreieck ein.

Dein Graph sollte so aussehen:

Aufgabe Nr. 2 🍽️Rezept

Bearbeite das Learning-Apps. Dadurch erhältst du ein Rezept zum Zeichnen linearer Funktionen

Scanne den linken QR-Code, um eine Version mit Unterstützung zu bearbeiten oder den rechten, um eine Version ohne Hilfen zu bearbeiten.

Learning-Apps mit Unterstützung

Learning-Apps ohne Hilfe

Aufgabe Nr. 3

Zeichne nun mit diesem Vorgehen, folgende lineare Funktionsgraphen.

a) $f(x)=-\left ( \frac{1}{4} \right )x+5$

b) $g(x)=-x+3$

Funktionsgleichung aufstellen

Funktionsgleichung linearer Funktionen

Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet: f(x)=mx+b bzw. y=mx+b.

m steht dabei für die Steigung, b ist der y-Achsenabschnitt, also der Punkt an dem der Graph f die y-Achse schneidet.

Mit 2 Punkten (Hannah)

Mit m und einem Punkt

Nun hast du es schon geschafft, eine Funktionsgleichung aus zwei Punkten zu ermitteln, das war der schwere Teil. Nun könnt ihr das Wissen des vorherigen Abschnitts anwenden.

Aufgabe Nr.

a) Die Funktion f hat Steigung m=3 und geht durch den Punkt P(2,7). Stelle die zugehörige Funktionsgleichung auf.

Sieh dir an, wie du vorgegangen bist, wenn du eine Funktionsgleichung aus zwei Punkten aufgestellt hast. Setze bei dem Schritt an, an dem du m bereits kanntest und mit einem der Punkte noch den y-Achsenabschnitt bestimmst.

Aufgabe Nr.

Eine Sonnenblume wächst 2cm pro Tag und ist am zweiten Tag schon 4cm groß. Wie lautet die Funktionsgleichung, wobei x die Anzahl der Tage und y die Größe der Sonnenblume in cm ist.

{{{1}}}

Aufgabe für Schnelle

Der Grap von g hat die Funktionsgleichung g(x)=-x+4,4

Gib die Funktionsgleichung des Graphen zu s an, der parallel zu g verläuft und durch den Punk S(0,1) geht.

Lineare Funktionen zeichnen

Die Bedeutung der Parameter in der Funktionsgleichung kennst du nun. Aber wie kannst du eine lineare Funktion zeichnen und wie kann man eine lineare Funktion von einer Zeichnung ablesen? Das lernst du jetzt!

Anwendungsaufgaben

Jetzt hast du die theoretischen Basics schon drauf!

Hier kannst du üben, ob du dein mathematisches Wissen auch auf kontextbezogene Aufgabenstellungen übertragen kannst.

Aufgabe 1

Ein Taxiunternehmen hat sich darauf spezialisiert, einen Shuttle-Service für Jugendliche aus dem Umland von Gießen in die Innenstadt, zu organisieren. Das Unternehmen wirbt damit, super günstige Preise für die Jugendlichen anzubieten. Aber was bedeutet das für dich, wenn du 13km von Gießen entfernt wohnst, das wollen wir nun rausfinden. Der Preis in € (y) in Abhängigkeit von den gefahrenen Kilometern (x), lässt sich durch die Funktion p(x)=x+5 beschreiben.

a) Zeichne den Graphen zur Preisfunktion in dein Heft, denke daran, die Achsen korrekt zu beschriften: Wofür steht x, wofür y? Und in welcher Einheit?

b) Beschreibe die Funktion im Sachkontext. Gehe dabei

c) Wie viel musst du für die Heimfahrt bezahlen, wenn du im 13km entfernten Lollar wohnst?