Trigonometrische Funktionen/Didaktischer Kommentar
Kurzübersicht
Der Lernpfad besteht aus zwei unabhängigen Mini-Lernpfaden, die Station 1 und 2 genannt werden, sowie Anwendungen mit vertiefenden Aufgaben.
(*) Genauere Erläuterungen folgen. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Technische Voraussetzungen
Die GeoGebra-Applets benötigen Java. Dies kann kostenlos von www.java.com heruntergeladen werden.
Kenntnisse und Handhabung von GeoGebra erleichtern die Arbeit am Lernpfad. GeoGebra kann kostenlos von www.geogebra.at herungergeladen werden.
Aufbau des Lernpfads
Die GeoGebra-Applets bieten vielfältige Möglichkeiten, mathematische Zusammenhänge experimentell zu erkunden. So können die SchülerInnen in der ersten Station selbstständig den Einfluss der Variation der Parameter einer allgemeinen Sinus- und Kosinusfunktion auf das Aussehen ihrer Graphen erforschen und erleben. Wie man umgekehrt aus den Graphen die zugehörigen Parameter bestimmt, erfahren die SchülerInnen in der Station zwei. Um das unterschiedliche Lerntempo auszugleichen, bieten Zusatzaufgaben den schnelleren SchülerInnen die Möglichkeit, die evtl. übrige Zeit sinnvoll zu nutzen. Normalerweise werden die SchülerInnen die Stationen in der vorgegebenen Reihenfolge vollständig bearbeiten. Aber es ist natürlich auch möglich, nur eine der Stationen in den Unterricht einzubauen. Bei den Anwendungen können die SchülerInnen - anhand von Anwendungsbeispielen - die in Station 1 und 2 erworbenen mathematischen Kenntnisse festigen und lernen dabei auch unterschiedliche Variablenbezeichnungen zu identifizieren.
Kompetenzen
Bei Station 1 und Station 2 soll Neues erlernt werden. Daher stehen hauptsächlich die Kompetenzen Operieren und Interpretieren im Vordergrund.
Die SchülerInnen können für diesen Funktionstyp verschiedene Darstellungen angeben. Sie erkennen den Zusammenhang Graph und Formel als verschiedene Darstellungsformen und können zwischen diesen Darstellungen wechseln.
Für durch Gleichungen gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen können mit Kenntnis der Parameter Graphen gezeichnet und aus Graphen können die Parameter ermittelt werden.
Die Bedeutung der Parameter für den Funktionsterm und den Graphen können im Kontext gedeutet und richtig interpretiert werden.
Aus Graphen und Gleichungen von allgemeinen Sinusfunktionen können Werte(paare) ermittelt und im Kontext gedeutet werden.
Bei den Anwendungen lernt man Möglichkeiten kennen das erworbene Wissen einzusetzen und sich zunutze zu machen. Die SchülerInnen müssen die gegebene Situation modellieren und ihre Kenntnise auf den Sachverhalt transferieren.
Je nach eingesetzter Methode, wie Gruppenarbeit, Expertenteams, Pferdestall sind auch die Kompetenzen Argumentieren und Kommunizieren angesprochen.
Da die SchülerInnen selbstständig Hefteinträge erstellen müssen, dokumentieren sie auch.
Insgesamt werden alle Handlungskompetenzen
Darstellen/Modellieren - Rechnen/Operieren - Interpretieren - Argumentieren/Begründen - Problemlösen - Transferieren - Dokumentieren - Kommunizieren
genutzt, gefordert und gefördert.
Genderaspekte
Mit Blick auf die Genderproblematik wurde bei den Stationen 1 und 2 darauf geachtet, dass sie Mädchen und Jungen gleichermaßen ansprechen. Auf diesen Seiten werden rein mathematische Inhalte durch interaktive Übungen erarbeitet, die durch den hohen Experimentieranteil sowohl Mädchen als auch Burschen animieren sollen. Durch das Zusammenspiel von Bildbeispielen und Interaktivität wurden die abstrakten Modelle alltagsverständlich heruntergebrochen.
Bei den Anwendungen kann man annehmen, dass die interdisziplinären Beispiele aus unterschiedlichen Lebensbereichen wie Kirmes, Spielplatz, Federpendel etc. für alle Geschlechtsgruppen gleichermaßen interessant sind. Dies wird durch die Möglichkeit eine individuelle Auswahl der Beispielaufgaben zu wählen, unterstützt. Natürlich können sich Schülerinnen und Schülerfür alle Themen entscheiden.
Durch die verschiedene vorgeschlagene Lernmethoden werden unterschiedliche Lernprozesse ermöglicht wie zum Beispiel kooperatives und integratives Lernen, welche beide Geschlechter gleichermaßen ansprechen.
Aufgaben und Lösungen
Zu fast allen Aufgaben sind Lösungen angegeben. Die SchülerInnen haben so die Möglichkeit, ihre Antworten selbst zu kontrollieren. Die Lösungen stehen allerdings nicht unmittelbar nach der jeweiligen Aufgabe, sondern am Ende der zu bearbeitenden Seite. So soll verhindert werden, dass sich die SchülerInnen gleich nach dem Lesen der Aufgabe die Lösung anschauen.
Hefteintrag
Es ist sinnvoll, dass die SchülerInnen nach dem Bearbeiten des Lernpfades über Notizen verfügen, anhand derer sie das Gelernte wiederholen können. Deshalb wurden in den Stationen 1 und 2 Hefteinträge integriert. Die entsprechenden Texte sind gelb hinterlegt und sollen von den SchülerInnen übernommen werden. Dabei empfiehlt es sich aus Gründen der Übersichtlichkeit das Heft im Querformat zu verwenden. Hinweise zum Hefteintrag sind für die SchülerInnen zusätzlich im Lernpfad integriert.
Methodik
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, diesen Lernpfad - oder Teile davon - in den Lernprozess der SchülerInnen zu integrieren. Einzelne dieser Möglichkeiten, wie etwa das Arbeiten in Expertenteams, Pferdestall oder Kreisbrief werden im Folgenden ausführlich erläutert. Natürlich kann der Lernpfad auch zum selbstständigen Erarbeiten des Stoffes linear bearbeitet oder in Gruppen-, Partner- oder Einzelarbeit eingesetzt oder zur Wiederholung des Stoffes im Unterricht bzw. zu Hause verwendet werden.
Station 1: Einfluss der Parameter
Die Station eins wurde so konzipiert, dass sie das Arbeiten in Expertenteams oder das Arbeiten im Pferdestall unterstützt.
Expertenteams:
- Beim Arbeiten in Expertenteams handelt es sich um eine spezielle Form von Gruppenarbeit, wobei sich jede Gruppe zunächst mit einem anderen Aspekt eines bestimmten Themas beschäftigt. Hinweise für die SchülerInnen für das Arbeiten in Expertenteams sind im Lernpfad integriert: Einteilung in ABC-Expertenteams und Einteilung in 123-Expertenteams
- Zur Einteilung der Gruppen können die Expertenteamkarten zum Ausdrucken verwendet werden. Sie sollten am besten auf farbiges Papier gedruckt, laminiert und zugeschnitten werden. Alle SchülerInnen erhalten eine Karte.
- Zunächst werden die SchülerInnen mit demselben Buchstaben auf der Karte zusammen arbeiten. Damit sich nicht gleich zu Beginn der Stunde alle SchülerInnen umsetzen müssen, ist es sinnvoll SchülerInnen, die neben einander sitzen, Karten mit demselben Buchstaben zu geben. Nun untersucht jede Gruppe den Einfluss eines anderen Parameters auf das Aussehen des Graphen. Jeder Schüler dieser Gruppe ist dann Experte für den Einfluss eines Parameters. Es wird ein erster Hefteintrag notiert. Dazu sollten die SchülerInnen ihr Heft im Querformat verwenden, eine Überschrift notieren und vier Spalten für den Einfluss je eines Parameters anlegen.
- Nach der Arbeitsphase in diesen Gruppen werden die SchülerInnen mit Hilfe der Zahlen auf den Karten in neue Gruppen eingeteilt. Die neuen Gruppen bestehen aus vier SchülerInnen, genauer je einem Experten für einen der vier Parameter. Die SchülerInnen sollen nun auch die Auswirkungen der anderen Parameter erforschen, sich über deren Einfluss austauschen und die Spalten des Hefteintrages vervollständigen. Danach werden gemeinsam Aufgaben bearbeitet. Diese sind so konzipiert, dass zu ihrer Lösung meist das Expertenwissen der einzelnen SchülerInnen benötigt wird.
Pferdestall (bei der Bearbeitung der Tabelle „Einfluss von a, b, c und d")
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Mind Map in Partner- bzw. Gruppenarbeit (bei Aufgabe 5 - Zusatzaufgabe Mind Map)
Die SchülerInnen erstellen in Partner- oder Gruppenarbeit eine Mind Map zum Thema „Einfluss der Parameter von trigonometrischen Funktionen auf das Aussehen des Graphen“. Eine entsprechende Aufgabe (Aufgabe 5 - Zusatzaufgabe Mind Map) ist in der Station 1 integriert. Am Ende präsentiert mindestens ein Schüler seine Mind Map vor der Klasse.
Station 2: Bestimmung der Funktionsgleichung und mehr
Die Station zwei wurde so konzipiert, dass sie Partner- bzw. Gruppenarbeit und das Arbeiten mit einem Kreisbrief unterstützt.
Partner- bzw. Gruppenarbeit incl. Kreisbrief
Am besten teilt man die SchülerInnen in Gruppen von 2 bis 4 Personen ein. Ein Gruppenmitglied ist der Leiter und liest die Aufgaben vor, ein anderes Gruppenmitglied ist der Zeitwächter. Der Zeitrahmen zur Bearbeitung für jede Aufgabe beträgt 10 Minuten, anschließend stehen jeweils fünf Minuten zur Verfügung, in denen u. a. folgende Fragen diskutiert werden können:
- Welches Ziel verfolgt die Aufgabe?
- Was wird geübt?
- Wie kommt man auf die Lösung?
Für die SchülerInnen sind Hinweise zur Bearbeitung der Aufgabe 2 mit Hilfe eines Kreisbriefes in der Station 2 integriert. Den SchülerInnen soll so bewusst werden, dass es nicht nur eine richtige Lösung gibt. Auch Verständnisprobleme sollen spätestens bei der Diskussion deutlich werden.
Anwendungen: Physik-Ecke
Die Physik-Ecke wurde so konzipiert, dass sie das Arbeiten im Pferdestall und das Führen eines "Vokabelheftes" unterstützt.
Pferdestall (bei der Bearbeitung der Aufgaben P1, P2, P3 und "Federpendel-Vokabelheft")
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Anwendungen: Marie und ihre Freundinnen
Pferdestall (bei der Bearbeitung der Aufgaben "Riesenrad" und "Tageslängen")
Analog zum Pferdestall bei der "Physik-Ecke" kann man dies bei "Marie und ihre Freundinnen" machen.
Die linke Hälfte bearbeitet "Riesenrad",die rechte Hälfte "Tageslängen".
Danach wird wie in der Physik-Ecke verfahren.
Spiele
Spiele lockern das Lernen auf und ermöglichen nochmals in einer "Nicht-Lern-Athmosphäre" das Gelernte zu wiederholen und wiederzugeben.
Am Ende einer Station oder am Ende des Lernpfades kann "Pferdestall" und/ oder "Mathe-Millionär" als Spiel angeboten werden.
Pferdestall-Spiel
- Jeder Schüler überlegt sich eine Frage zum Inhalt und schreibt diese oben auf einen Zettel.
- Die SchülerInnen werden in zwei Gruppen eingeteilt. Dazu sollen z.B. alle SchülerInnen nacheinander jeweils Pferd oder Stall sagen. Eine andere Möglichkeit wäre es, die SchülerInnen reihenweise abwechselnd in "Pferde" und "Ställe" einzuteilen, so dass immer ein "Pferd" neben einem "Stall" sitzt.
- Die "Ställe" bleiben auf ihrem Platz sitzen und die "Pferde" stehen auf und setzen sich auf einen beliebigen Platz eines anderen "Pferdes". So erhält jeder Schüler einen anderen Nachbarn.
- Je zwei SchülerInnen (Nachbarn) stellen sich gegenseitig die Fragen, notieren gemeinsam die Antwort unter der jeweiligen Frage und falten die Zettel so, dass man zwar die Frage, aber nicht die Antwort lesen kann. Die Zettel werden getauscht.
- "Die Pferde reiten wieder zu ihrem Stall zurück". Jetzt sitzt wieder jeder auf seinem Platz und die ursprünglichen Nachbarn stellen sich gegenseitig die notierten Fragen. Die Antwort steht zur Kontrolle bereits auf der Innenseite.
Mathe-Millionär-Spiel
- Jeder Schüler überlegt sich eine Frage zum Thema und notiert diese zusammen mit vier Antwortmöglichkeiten (A, B, C, D) auf einem Zettel. Dabei kreuzt er die richtige Antwort an und ergänzt ob er die Frage als leicht, mittel oder schwer einschätzt.
- Hinweis für SchülerInnen: Taktisch ist es sinnvoll, sich eine möglichst schwierige Frage zu überlegen, da man selbst – wenn die Frage später vom Lehrer gestellt wird – die Antwort weiß, die anderen SchülerInnen aber mit höherer Wahrscheinlichkeit nicht.
- Die Zettel werden eingesammelt und vom Lehrer grob der Schwierigkeit nach sortiert. Dabei können ein paar leichte Fragen für einen eventuellen zweiten Durchgang aufgehoben werden.
- Die SchülerInnen zerteilen ein Blatt in vier kleine Blätter, auf denen sie je einen Buchstaben A, B, C und D schreiben. Alle SchülerInnen stehen auf.
- Der Lehrer liest eine Frage vor. Beim Satz „Bitte entscheidet Euch jetzt!“ heben alle SchülerInnen gleichzeitig den gewählten Buchstaben nach oben. Der Lehrer sagt die richtige Antwort und die SchülerInnen mit einer falschen setzen sich. Jetzt kann eine Erklärung folgen oder die nächste Frage.
- Gewonnen haben die letzten ein bis drei noch stehenden SchülerInnen.
Hinweis
Das Riesenrad-Applet auf der Seite "Marie und ihre Freundinnen" stammt von Reinhard Schmidt. Die Werte für die Tageslängen auf derselben Seite sind vom Naval Oceonography Portal.
