Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x1/n, n ∈ IN
Es sei stets IN0={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN0 =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form
mit
als Exponenten haben. Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche:
.
Vergleiche mit Funktionen aus Stufe 2
- Welche Gemeinsamkeiten gibt es? Welche Unterschiede?
- Gibt es Punkte, die beiden Funktionsscharen gemeinsam sind?
Beschreibe den Definitionsbreich ID der Funktion f(x) = x^(1/n) in Abhängigkeit von n.
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Potenzen und Wurzeln
Potenzfunktionen der Bauart
und Wurzelfunktionen
hängen eng zusammen, denn es gilt:
Darin ist die n-te Wurzel festgelegt über:
Eine Funktion
mit der Gleichung
mit
heißt Wurzelfunktion
Beispiele:
, aber
, nicht definiert.
, aber auch
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Der Definitionsbereich
Offenbar kann man zum Beispiel wegen
![{\displaystyle \sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{-3\cdot -3 \cdot -3} = \sqrt[3]{-3^3} = \sqrt[3]{-3}^3 = -3.}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6dbc91c6f898b104c74f5b24b00903d6&mode=mathml)
die Wurzelfunktionen f(x)=\sqrt[n]{x} zumindest bei ungradem n sowohl für positive als auch negative x definieren. Allerdings kann das zu Wiedersprüchen führen; folgende Rechnung zeigt die Problematik:
![{\displaystyle -2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a873074efc94b3319ed6096768471045&mode=mathml)