Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/y-Achsenabsschnitt und Nullstelle von linearen Funktionen

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Zur Orientierung

• Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im 👟 Training beherrschen solltest.
  Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
• Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
  • Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.
  • Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.
  • Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts in der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.
• Bei den anderen Aufgaben...
  • ... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf „💡 Hinweis anzeigen“ bzw. „Lösung anzeigen“ klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.
  • ... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.

📌 y-Achsenabschitt und Nullstelle von linearen Funktionen

In diesem Kapitel befasst du dich mit dem y-Achsenabschitt, einem der zwei Parameter einer linearen Funktion, sowie mit der Nullstelle einer linearen Funktion.

🔍 Entdecke: Wie beeinflusst der y-Achsenabschitt die Position der Funktion im Koordinatensystem?
Bewege den Schieberegler, um den y-Achenabschnitt b der Funktion zu verändern. Beschreibe deine Beobachtungen und notiere sie.
Tipp: Verschiebe das Koordinatensystem so, dass sein Ursprung in der Mitte des Bildausschnitts liegt. Auf diese Weise ist es übersichtlicher.

	Wie verändert sich die Position der Funktion in Bezug auf die y-Achse? Fällt dir etwas an dem Wert von b auf?

Wird der Wert von b erhöht, befindet sich die Funktion auf der y-Achse weiter oben. Wird der Wert von b verringert, befindet sich die Funktion auf der y-Achse weiter unten.
Der y-Achsenabschnitt b ist der Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse im Koordinatensystem. Ist z.B. b = 3, ist (0 ; 3) der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse.

y-Achsenabschitt

Der y-Achsenabschitt (auch: Ordinatenabschnitt) einer linearen Funktion ist der Punkt, an dem der Graph der Funktion die y-Achse schneidet. Dieser Wert ist der y-Wert, wenn
x = 0 ist, und wird in der Funktionsgleichung f(x) = mx + b durch die Konstante b repräsentiert.

🤔 Knobelaufgabe:
Stelle den Schieberegler oben im Koordinatensystem auf b = 3.
a) Lies den Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse ab und gib ihn an.

Der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse lautet (0 ; 3).

b) Lies den Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse ab und gib ihn an.

Der Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse lautet (- 1,5 ; 0).

c) Stelle den Schieberegler oben im Koordinatensystem nun auf b = - 1. Lies erneut den Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse ab und gibt ihn an. Vergleiche ihn mit den Schnittpunkten aus a) und b). Was fällt dir auf?

Der Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse lautet (0,5 ; 0).
Vergleicht man ihn mit den Schnittpunkten aus a) und b), fällt auf: Die Funktion schneidet die y-Achse bei x = 0. Die x-Achse schneidet sie hingegen bei y = 0.

Nullstelle

Eine lineare Funktion hat genau eine Nullstelle.

Sie ist derjenige x-Wert, bei dem der Funktionswert f(x) = y = 0 ist. An dieser Stelle schneidet der Graph der Funktion die x-Achse im Koordinatensystem. Um sie zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null (also in unserem Beispiel von oben: 0=2+3x) und löst die Gleichung nach x auf.

👟 Training

Aufgabe 1

Gib den y-Achsenabschitt b der jeweils gegebenen Funktion an:
a) f(x) = -2 x + 1,5

b = 1,5

b) h(x) = 5 x

b = 0, denn f(x) = 5 x = 5 x + 0.

c) g(x) = 7 - x

Notiere die Funktionsgleichung in der Form g(x) = mx + b, die du kennengelernt hast. Was ist b?

b = 7, denn f(x) = 7 - x = - 1 x + 7.

d)

Wo schneidet die Funktion die y-Achse? Der y-Wert dieses Schnittpunkts entspricht b.

b = - 1,5, denn hier schneidet der Graph die y-Achse.

e) Die Funktion kann durch folgende Wertetabelle beschrieben werden:

x	c(x)
- 3	9,5
- 1	3,5
0	0,5
1	- 2,5
4	- 11,5

Was weißt du über den y-Achsenabschnitt? Es gibt eine besondere Eigenschaft des y-Achsenabschnitts, die dir helfen kann, die Aufgabe besonders schnell zu lösen.

b = 0,5, denn hier ist x = 0.

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Eine Funktion mit der Steigung m = 2 schneidet den Punkt (1 ; 3). Berechne den y-Achsenabschnitt b der Funktion. Notiere den Rechenweg in deinem Heft.

Notiere die allgemeine Form einer linearen Funktion. Überlege dir, für welche der Buchstaben du Zahlen einsetzen kannst, die du bereits kennst. Setze sie ein und löse die Gleichung nach b auf.

Setze den Punkt (1 ; 3) in die Funktionsgleichung f(x) = 2 x + b ein.
Dann erhältst du die Gleichung 3 = 2 ⋅ 1 + b = 2 + b.
Stelle diese Gleichung nach b um: b = 3 - 2 = 1.

📌 Steigung von linearen Funktionen

📌 Darstellungswechsel