Übungen Funktionsuntersuchung

Angelehnt an Lambacher Schweizer 11, S. 77-80.

Aufgabe 1

Untersuche die Funktion auf Symmetrie. Bestimme die Schnittpunkte mit den Achsen, ggf. das Verhalten an den Definitionslücken, das Verhalten im Unendlichen und die Extrema. Skizziere anschließend $G_f$.

a) $f(x)= \frac{1}{2}x^3-4x^2+8x$

b) $f(x)= \frac{4+x^2}{x^2-9}$

c) $f(x)= \frac{1}{6}(x+1)^2(x-2)$

d) $f(x)= \frac{x^2-4}{x^2+1}$

e) $f(x)= 2-\frac{5}{2}x^2+x^4$

Überprüfe deine Ergebnisse eigenständig mithilfe von GeoGebra

Hier gibt's die Lösung

Hier gibt's die Lösung

Hier gibt's die Lösung

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Aufgabe 2

Untersuche die Funktion f soweit, dass du den Graphen skizzieren kannst. Bestimme anschließend die Gleichung der Tangente an den Graphen $G_f$, die parallel zur Gerade $g$ verläuft.

a) $f(x)=-2x^2+12x-10$; $g(x)=-4x+6$

b) $f(x)=x^3+10x+4$; $g(x)=x+8$

Zwei Geraden sind parallel, wenn sie die gleiche Steigung haben.

Die Steigung der Tangenten in einem Punkt, entspricht der Steigung des Graphen, also der Ableitung, in diesem Punkt.

Hier gibt's die Lösung

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Aufgabe 3

Betrachtet werden die Funktionen $f_1(x)=x^3-x^2+3x$ $f_1(x)=x^3-3x^2+3x$ $f_1(x)=x^3-4x^2+3x$

a) Stelle den Parameter a jeweils so ein, dass du $f_1, f_2$ bzw. $f_3$ erhältst. Vergleiche die Anzahl der Extrema der drei Funktionen.

b) Alle drei Funktionsterme haben die Form $f_a(x)=x^3+ax^2+3x$. Für welche Parameterwerte a $a \in \R$besitzen die Funktionen, die diese Form haben, zwei Extrema, ein bzw. kein Extremum? Beweise deine Überlegung auch rechnerisch.

Aufgabe 5

Der Innenbogen des "Gateway-Arch" in St. Louis (USA) lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f(x)=187,5-1,79 \cdot 10^-2x^2-1,998 \cdot 10^-6x^4$ (x in m) beschreiben.

a) Bereichen die Höhe und die maximale Breite des Innenbogens.

Schaue dir die Funktion in GeoGebra an und mache dir klar, was der Höhe und der Breite entspricht.

b) Bestimme die Größe des Winkels zwischen dem Innenbogen und der Grundfläche.

Dieser Winkel entspricht dem Steigungswinkel der Tangente durch die Nullstelle.

c) Bei einer Flugveranstaltung soll ein Flugzeug mit einer Flügelspannweite von 18m unter dem Bogen hindurchfließen. Welche Maximalflughöhe muss der Pilot einhalten, wenn in vertikaler und in horizontaler Richtung ein Sicherheitsabstand zum Bogen von 10m eingehalten werden muss?

Mache dir den Sachverhalt an einer Skizze deutlich.

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