Quantenphysik

Einleitung

Aussagen über quantenphysikalische Objekte werden mithilfe sehr komplizierter mathematischer Modelle getroffen, die weit über den Schulunterricht hinausgehen. Aber das gilt auch für die "klassischen" Forschungsbereiche der Physik, z.B. die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen oder die Navier-Stokes-Gleichungen, mit denen die Bewegungen von Gasen und Flüssigkeiten beschrieben werden. Im einen wie im anderen Fall kann man sich aber mit grafischen Darstellungen helfen, die von den Betrachtern intuitiv erfasst werden.

Die Quantenphysik überrascht mit Begriffen, die aus der Perspektive der klassischen Physik sehr fremdartig wirken, z.B. Verschränkung, Tunneln und Unschärferelation. Man liest, mit der Quantenphysik sei der Zufall in die Physik eingebrochen, und sehr bekannt ist Albert Einsteins Widerstand gegen die Quantenphysik und seine zumeist verkürzt zitierte Formulierung: Gott würfelt nicht. Aber den Zufall kann auch die klassische Physik nicht vertreiben, denn in ihr sind physikalische Messwerte als reelle Zahlen definiert; das sind Zahlen mit unendlich vielen regellos auftretenden Stellen hinter dem Komma, die niemals wirklich genau erfasst werden können. Das hat zur Folge, dass Voraussagen - beispielsweise über das Wetter - immer nur für eine begrenzte Zukunft zuverlässig sein können, denn irgendwann werden die feinen Unterschiede, die man nicht hat messen können, für die weitere Entwicklung ausschlaggebend sein.

Dieser Lernpfad zur Quantenphysik möchte zweierlei vermeiden:

• Es geht nicht darum, Mathematische Methoden zu vermitteln, die man sich mit der Schulmathematik nicht erarbeiten kann. Für Physikstudenten steht ja eine reiche Auswahl an Lehrbüchern bereit.
• Es ist mir zu wenig, nur die Phänomene zu benennen ohne die logischen Konzepte, die ihrer mathematischen Beschreibung zugrundliegen. Wer diese nicht berechnen kann, kann doch wenigstens ihre grafische Veranschaulichung erfassen und so ein gewisses Verständnis erzielen. Dazu braucht man einen Einstieg, und den habe ich gewählt bei der Frage: Was ist eine Messung? Denn das unterscheidet seit Galileo Galileis Zeiten Physik von alltäglichem Hinschauen: Die zahlenmäßige Erfassung eines Ausschnittes der Wirklichkeit mit dem Ziel der Berechnung der Zusammenhänge.

Eine Messung

Vor einiger Zeit – ich bin nicht stolz darauf - bekam ich von der Stadt Grünberg einen Brief, aus dem ich einen Ausschnitt zeige:

Über die Messung, die in diesem Fall durchgeführt worden ist, stehen im Bescheid einige für unser Thema relevante Informationen:

• Es sind Laserstrahlen hergestellt worden, deren spezifische Eigenschaft, Kohärenz, nur mit Mitteln der Quantenphysik verstanden werden kann. Und das kann man verallgemeinern: Gleichgültig ob wir mit Hilfe von Licht etwas "sehen", mithilfe chemischer Prozesse etwas "schmecken" oder "riechen" oder ob wir mechanische Reizungen "fühlen" oder "hören" - immer ist die Quantenphysik im Spiel.
• Eine klassische Messgröße, die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs, konnte zu einem bestimmten Zeitpunkt an einem bestimmten Ort mit so großer Genauigkeit festgestellt und der Person des Autofahrers zugeordnet werden, dass mir kein Gericht Recht geben wird, wenn ich meine Ordnungswidrigkeit leugnen wollte. Deshalb wird es am einfachsten und risikoärmsten sein, den Bußgeldbescheid zu bezahlen.

Aufgabe

• Benenne ein anderes Beispiel einer Messung
• Beschreibe möglichst exakt, was derjenige tut, der die Messung durchführt.
• Versuche, die quantenphysikalischen Objekte zu benennen, die in dem Messvorgang beteiligt sind (z.B. Licht, Chemie)
• Gib an, welche Konsequenzen die Messung hat, wie genau sie dazu sein muss und welche Folgen Fehler haben können.

Details

Wir machen uns klar, was bei der Geschwindigkeitsmessung mit einem Lasergerät passiert:

• Das Messgerät beschießt das fahrende Auto mit Lichtteilchen, von denen einige so reflektiert werden, dass sie zum Messgerät zurückkehren, welches automatisch die Geschwindigkeit bestimmt.
• Das Auto wird fotografiert und anhand des Nummernschildes identifiziert, sodass der Strafzettel den richtigen Autobesitzer erreicht, und das Foto ermöglicht die Identifikation des Fahrers.
• Weil masselose Lichtteilchen, verglichen mit einem tonnenschweren Auto, sehr wenig Energie transportieren, kann man im Falle einer Verkehrskontrolle davon ausgehen, dass die Messmethode die gemessene Geschwindigkeit nicht beeinflusst und weder das Nummerschild noch das Portraitfoto manipuliert.

Zum Nachdenken

Was ändert sich, wenn das Beobachtungsobjekt kein tonnenschweres Auto ist, sondern eines des leichtesten, kleinsten, flüchtigsten Teilchen der Natur?

Das Atom

Historisches

Empedokles aus Agrigent (495-435 v.C.) hatte den Philosophenstreit, ob alle Dinge nun aus dem Wasser, dem Feuer oder dem Hauch entstanden seien, dadurch beendet, dass er alle vier Elemente - Erde, Wasser, Feuer und Luft (heute sprechen wir von Aggregatzuständen) - zu Grundbestandteilen allen Daseins erklärt hatte.

Demokrit von Abdera (460-370) baute auf diesen Überlegungen auf und postulierte, die vier Elemente müssten aus unteilbaren Teilchen bestehen, die er atomoi nannte, zu deutsch: Unteilbare <Teilchen>. Er stellte sich diese Atome als winzig kleine geometrisch sehr regelmäßige "Bauklötzchen" vor: Kugeln, Würfel, Zylinder, Kegel, die sich im vollkommen leeren Raum bewegen. Später hat man die fünf regelmäßigen platonischen Körper den Elementen zugeordnet: der Erde den Würfel, dem Wasser den Ikosaeder, der Luft den Oktaeder und dem Feuer die Pyramide. Der Dodekaeder sollte die Himmelsmaterie bilden, die fünfte essentia, von deren Natur wir nichts wissen.

Kritik

Schon Aristoteles aus Stagira (399-322) kritisierte die Atomtheorie, weil er Bewegung in einem vollkommen leeren Raum für unmöglich hielt. Auch konnte sich niemand vorstellen, wie die Atome Kontakt miteinander aufnehmen und sich zu größeren Körpern verbinden sollten. Sie können ja keine "Ärmchen" haben, mit denen sich sich "unterhaken".

Aufgabe

Denke darüber nach,

• warum die Atomtheorie des Demokrit so verführerisch ist,
• und warum es nicht stimmen kann, dass die Welt aus lauter "Bauklötzchen" besteht, die wir wegen ihrer Kleinheit nie zu sehen bekommen und warum das auch unbefriedigend wäre.

Gedankenexperiment

Stell Dir vor, du gehörst zu einer Riesenwelt. Für die Riesen sind Objekte von der Größenordnung von Autos das Kleinste, was sie wahrnehmen können.

• Was können die Riesen tun, um etwas über Autos herauszufinden?
• Was werden sie nie herausbekommen können?

Die Riesen könnten eine aus ihrer Perspektive winzige Kanone herstellen und die Autos damit beschießen. Aus unserer Zwergenperspektive wird nach der Kollision nichts mehr sein, wie es war:

• Kugel und Auto werden sich zu Trümmerteilen verformen.
• Ihre Geschwindigkeiten und Bewegungsrichtungen werden sich stark verändern.

Die Riesen sehen nur punktförmige Objekte, die sich z.B. auf einem Fotosensor bemerkbar machen. Wenn sie das Experiment mit verschiedenen Parametern durchführen, können sie sicher etwas über die Masse und die Geschwindigkeit der beteiligten Objekte sagen und den Ort der Kollision bestimmen.

Die Riesen könnten das Verhalten von Autos auch an fest montierten Objekten studieren und feststellen, dass die Objekte vor dem Objekt stehen bleiben oder es mit reduzierter Geschwindigkeit passieren. Welchen Reim werden sie sich darauf machen?

Schlussfolgerung

Diese Riesen werden niemals Bußgeldbescheide verschicken.

• Da für sie Autos unteilbar sind, können sie in und an ihnen weder Fahrer noch Nummernschild sehen und das einzelne Auto nicht identifizieren und nachverfolgen.
• Wem sollten sie Bußgeldbescheid schicken, denn das Auto ist nach der Kollision kaputt, und der Fahrer wird nicht mehr in der Lage sein, Strafe zu zahlen.

Wasserstoff

Die "Kanonenkugeln" der Quantenphysiker sind Photonen, übersetzt etwa Lichtteilchen. Photonen übermitteln nicht nur das Licht, sondern auch Wärme und Radiosignale, Röntgen- und Gammastrahlen. Zwei unserer fünf Sinne, Tastsinn und Gehör, verarbeiten mechanische Signale. Damit eine Wahrnehmung zustandekommt, müssen die Schallwellen und Texturen zuerst in chemische und elektrische Signale verwandelt werden, und dabei spielen wieder die Photonen eine Rolle. Der Gesichtssinn wandelt Photonen durch die Netzhaut direkt in Signale um, die das Nervensystem verarbeiten kann; Geruch und Geschmack verarbeiten chemische Eigenschaften der Stoffe, die von der Nasenschleimhaut oder der Zunge durch Photonenaustausch erfasst werden.

Aber wir sehen und riechen mithilfe der Photonen. Wir nehmen die Lichtteilchen selbst nicht wahr, und wir reden über die wahrgenommenen Objekte, nicht über die Mechanismen der Wahrnehmung. Wir sagen: Die Rose ist rot oder Die Suppe ist zu salzig, ohne uns Gedanken darüber zu machen, auf wie komplizierten Wegen die Information über die Objekte zu uns gekommen ist.

Diese Ignoranz können sich Atomforscher nicht leisten. Sie benötigen eine Theorie des Lichtes, um ermitteln zu können, was sie mithilfe des Lichtes in der atomaren Welt „sehen“.

Voraussetzung

Zwei Elemente der Licht-Theorie werden unten vorausgesetzt:

• Jedes Lichtteilchen transportiert Energie.
• Die Energie ist proportional zu seiner Frequenz und umgekehrt proportional zur Wellenlänge.

Das „Haustier“ der Quantenphysiker ist der Wasserstoff. Antoine Laurent de Lavoisier (1743-1794) hat dem Gas seinen Namen gegeben. Dmitri Iwanowitsch Mendelejew (1834-1907) wies ihm einen Platz in seinem Periodensystem zu: Ein reaktionsfreudiges Element mit dem leichtesten Atomgewicht von allen und der Ordnungszahl 1, weil nur ein Proton seinen Atomkern bildet.

Da man dem Wasserstoffatom einen elektrisch negativ geladenen Bestandteil klauen kann, stellen wir es uns vor als "Zusammensetzung" aus einem positiv geladenen Teil – Proton genannt – und aus einem negativ geladenen – dem Elektron. Solche Wörter aus der Alltagssprache gehören in der Quantenphysik in Anführungszeichen, denn wenn ein Objekt unserer Alltagswelt aus mehreren kleineren "zusammengesetzt" ist, dann sind wir daran gewöhnt, das Objekt mit Schere, Messer, Schrauber oder Stemmeisen "zerlegen" zu können. Auch das Wasserstoffatom kann "zerlegt" werden, aber nicht, indem man ein Instrument "zwischen" Elektron und Proton bringt, sondern nur, indem man das Elektron "lockt".

Wie sich Proton und Elektron im Wasserstoffatom verhalten, konnte die Quantenphysik aufklären, und das gehört zu ihren brillantesten Leistungen. Im Folgenden werden einige Aspekte der Theorie qualitativ dargestellt. Die mathematischen Rechenvorschriften der Theorie können im Bild veranschaulicht werden. Aus solchen Abbildungen geht zwar nicht hervor, wie die Physiker darauf gekommen sind, aber man kann damit schon erläutern, was sie meinen.

Experiment

Um Wasserstoff besser kennen zu lernen, wird etwas Gas isoliert, in ein Röhrchen eingeschlossen und von beiden Seiten unter Strom gesetzt.

Was, glaubst Du, wird geschehen?

Wenn Druck und Spannung stimmen, wird das Gas blau-violett leuchten. Warum?

Wasserstoff besteht aus Ladungsträgern, positiv geladenen Protonen und negativ geladenen Elektronen. Wenn der Strom fließt, werden geladene Partikel vom gegensätzlich geladenen Pol angezogen und sich dahin auf den Weg machen. Es wird zu Rempeleien mit den Wasserstoffatomen kommen, die Elektronen werden entweder ganz aus dem Atom geschlagen oder auf eine andere Bahn um das Proton geworfen. Da bewegte geladene Partikel elektromagnetische Strahlung aussenden, erklärt sich so das Licht.

"Licht" nennen wir den Teil elektromagnetischer Strahlung, den wir sehen können. Denn die Lichtteilchen, die die elektromagnetische Strahlung transportieren, unterscheiden sich darin, wieviel Energie sie mitbringen, die - wir erinnern uns - mit der Frequenz und der Wellenlänge zusammenhängt.

Information

Licht ändert beim Übergang von Luft in Glas oder Wasser seine Richtung ein wenig; man sagt, es wird gebrochen. Lässt man Licht durch ein Prisma fallen, werden nicht alle Farben (mitdenken: Frequenzen, Wellenlängen) um den gleichen Winkel umgelenkt, sondern das Licht spaltet sich auf in seine Spektralfarben. Das Spektrum einer Glühlampe oder der Sonne sieht dann so aus wie das Bild oben, das uns als Himmelserscheinung vertraut ist: der Regenbogen.

Das Licht, das wir sehen können, hat eine Frequenz von höchstens 780 Terahertz; das entspricht einer Wellenlänge von 380 Nanometern und der Farbe blauviolett links, und es hat eine Frequenz von mindestens 785 Terahertz und eine Wellenlänge von 780 Nanometern; das ist das purpurrote Licht rechts. Dazwischen liegen alle anderen Farben in einer bestimmten Reihenfolge: Man spricht vom Farbenspektrum.

Kommen wir zurück zur Wasserstoff-Entladungslampe.

Experiment

Man kann das Licht der Wasserstofflampe durch ein Prisma aufspalten, wie wird das aussehen?

Wenn wir an die Rempelei zwischen den verschiedenen Ladungsträgern in dem Gas zurückdenken, dann müssten die erzeugten Photonen alle möglichen Energiebeträge mitnehmen: Manche Atome werden mittig getroffen; da knallts heftig, andere werden nur in einem mehr oder weniger flachen Winkel gestreift; da entsteht wenig Lichtenergie. Wir erwarten also ein kontinuierliches Farbenspektrum, vielleicht in dem Wellenlängenbereich ein wenig schmäler als das weiße Sonnenlicht; so könnte man die Farbigkeit der Wasserstofflampe erklären.

Was tatsächlich passiert ist etwas völlig anderes: Das Spektrum des Wasserstoffes besteht aus scharfen Linien und die dazwischenliegenden Farben kommen nicht vor.

Schon 1888 formulierte der schwedische Physiker Janne Rydberg eine Formel, aus der man die Linien ableiten kann. Aber damit war natürlich noch nicht erklärt, warum das Wasserstoffspektrum nicht kontinuierlich ist, sondern aus Linien besteht, die eine mathematisch ableitbare Regelmäßigkeit besitzen.

Quantenphysikalische Zustände

Historisches

Joseph John Thomson stellte sich 1903 das Atom nach Art eines Rosinenkuchens vor: Die Elektronen sollten sich im Proton aufhalten wie Rosinen in einem Rosinenkuchen, im Wasserstoffatom eine einzige Rosine, im Goldatom 79 Stück.

Ernest Rutherford argumentierte, dass es dann nur eine Spektrallinie geben dürfte. Er konstruierte 1911 ein planetarisches Atommodell, nach dem sich die Elektronen um den Atomkern bewegen wie Planeten um ihre Sonne.

Die Physiker mussten sich also im ersten Viertel des 20. Jahrhunderts etwas vollkommen Neues überlegen. Dabei mussten sie eine Voraussetzung aufgeben, die bis dahin selbstverständlich hingenommen worden war, nämlich, dass alle physikalischen Objekte anschaulich sind.

Definition Anschaulichkeit

Unsere gesamte Wahrnehmung und unsere Handlungsmöglichkeit beruhen darauf,

• dass wir uns in einer Zeit befinden, die von gestern nach morgen, von eben noch bis jetzt gleich dahinfließt,
• dass wir uns in einem Raum bewegen, in dem sich vorne und hinten, oben und unten, rechts und links voneinander unterscheiden lassen.
• Zeit und Raum können wir durch Koordinatensysteme abbilden und allem, was sich darin befindet, durch reelle Zahlen einen Ort zuweisen. (Wir wissen, dass wir die reellen Zahlen nicht vollkommen genau messen können; aber für die praktischen Erfordernisse messen wir genau genug, um zum Beispiel einen Satelliten sicher zum Mond zu bringen und wieder zurück.

Die Anschaulichkeit ist Bedingung der Möglichkeit von Erfahrung und Handeln, wie Immanuel Kant in seiner Kritik der reinen Vernunft 1781 nachgewiesen hat. Allerdings sind weder die Welt insgesamt, noch ihre kleinsten Teilchen in einem anschaulichen Modell widerspruchsfrei zu beschreiben; das hat Kant auch bewiesen.

Welle-Teilchen-Dualismus

Die Physik der Neuzeit hat mathematische Methoden entwickelt, um die verschiedenen Phänomene, die uns umgeben, zahlenmäßig zu erfassen (Messung) und zu berechnen:

• Die Physik des Massenpunktes beschreibt Bewegungen, die man mit hinreichender Genauigkeit als Bewegungen eines punktförmigen Objektes ansehen kann (z.B. der Schwerpunkt einer Kugel). Zu diesem Formalismus gehören Begriffe wie Geschwindigkeit, Beschleunigung, Impuls, kinetische Energie. An einem bekannten Experiment zur Impulserhaltung, dem Verhalten der Newtonwiege soll die Konzeption exemplarisch verdeutlicht werden.

Experiment

Die Newtonwiege besteht aus fünf gleich schweren Kugeln, die an gleich langen Fäden aufgehängt sind. Unter einem elastischen Stoß versteht man einen Zusammenstoß, bei dem (fast) keine Bewegungsenergie verloren geht. Dadurch kann bei der Newtonwiege die Impulserhaltung (Impuls gleich Masse mal Geschwindigkeit) besonders gut demonstriert werden. (Ein Kaugummi, an der richtigen Stelle auf eine Kugel geklebt, würde das Experiment völlig verändern.) Schau Dir jetzt die Experimente mit der Newtonwiege an und suche Dir wenigstens zwei davon aus, um die Impulserhaltung zu beschreiben.

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• Die Physik der Schwingungen und Wellen beschreibt Erscheinungen, die nur in größeren Ansammlungen von Materie auftreten. Zum Beispiel wird ein ins Wasser geworfener Stein Wellen erzeugen, das sind periodische Veränderungen der Wasserhöhe. Wenn du in eine Blockflöte bläst und Schallwellen erzeugst, entstehen periodische Druckschwankungen. Zur Physik der Schwingungen und Wellen gehören folgende Begriffe:
  • Frequenz (Zahl der Wellen pro Zeiteinheit)
  • Amplitude (Intensität der Schwingung)
  • Resonanz (Mitschwingen eines dazu fähigen Objektes)
  • Interferenz (Schwingungmuster, das durch die gegenseitige Beeinflussung zweier Wellen entsteht)

Wer sich den Begriff "Interferenz" detailliert beschreiben lassen will, sieht sich folgendes Video an:

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Welle-Teilchen-Dualismus bedeutet nun, dass man zur Beschreibung eines Quantensystems (z.B. ein Elektron im Wasserstoffatom) die beiden Formalismen zur Berechnung eines Teilchens (Massenpunktes) und einer Welle in einem Formalismus zusammenfasst.

Komplexe Zahlen

Die Mathematik hat ihre liebe Not mit den Umkehroperationen.

Solange ich addiere und multipliziere, kann ich sicher sein, dass ich ein gültiges Ergebnis herausbekomme: 5 + 3 = 8 und 5 * 3 = 15. Das ist kinderleicht. Das funktioniert immer, egal, mit welchen beiden natürlichen Zahlen ich diese Operation durchführe. Nun sind wir aber vorwitzig und wollen zum Beispiel auch solche Fragen beantworten: Mit welcher Zahl muss ich 5 multiplizieren, um 15 herauszubekommen? Das ist immer noch einfach 15 / 5 = 3. Aber wenn ich mir diese Aufgabe stellen kann, kann ich auch eine andere Aufgabe hinschreiben: 15 / 0 = ? Gut, aufschreiben kann ich die Aufgabe, aber Sinn hat sie keinen. Wenn ich 15 Orangen habe und unter 3 Leuten aufteilen soll, kriegt jeder drei. Wenn ich sechs Orangen habe und unter vier Leuten aufteile, muss ich zwei in der Mitte durchschneiden, und jeder bekommt eine ganze und eine halbe. Das hat alles Sinn. Aber wenn ich 15 Orangen habe und niemand da ist, der etwas davon kriegen soll, wie viel kriegt dann keiner? Das macht keinen Sinn. Also sollten wir die Aufgabenstellung "15 / 0" einfach verbieten.

Eine Ebene höher geht es darum, Zahlen einmal oder öfter mit sich selbst zu multiplizieren. Die Umkehrfrage lautet dann zum Beispiel: Welche Zahl muss ich mit sich selbst multiplizieren, um 1 herauszubekommen? - Die Antwort ist leicht zu finden, denn 1 * 1 = 1. Aber diese Antwort ist nicht ausreichend, denn -1 * -1 = 1 gilt (Man erinnert sich Minus mal Minus gibt plus.) ebenfalls. Es gilt also:

$\surd 1 = 1 und \surd 1 = -1$

Was ist jetzt, wenn wir die Aufgabe niederschreiben: "$\surd -1 = ?$ ?"

Wir können auch diese Aufgabenstellung einfach verbieten. Aber große Mathematiker wie Gerolamo Cardano (1501-1576) und Carl Friedrich Gauß (1777-1855) probierten aus, was passiert, wenn man der Aufgabe eine Lösung zuordnet durch die Definition:

$\surd -1 = i$ oder andersherum i * i = -1

Während eine reelle Zahl als Punkt auf einer Zahlengeraden vorgestellt wird, entsteht jetzt eine Zahlenebene: Eine komplexe Zahl hat also zwei Komponenten: Den gewöhnlichen reellen Anteil und einen imaginären Anteil, eine reelle Zahl, multipliziert mit der imaginären Einheit $i = \surd -1$.

Wichtig

Quantenphysikalische Zustände werden mit komplexen Zahlen beschrieben. Auf diese Weise hat man etwas mehr Platz, die Physik der Wellen und die Physik der Massenpunkte zusammen in den Zustandsgleichungen unterzubringen. Anderseits verzichtet man durch die komplexen Funktionen auf die Anschaulichkeit, denn Messergebnisse im Raum unserer Wahrnehmungen sind reell und nicht komplex.

Kohärenz

Es hat ein bisschen gedauert, aber jetzt sind die Elemente zusammen, die gebraucht werden, um das Spektrum des Wasserstoffs zu interpretieren. Wie sich Elektronen in der Nähe des Atomkerns verhalten, können diejenigen, die sich damit auskennen, aus der Schrödinger-Gleichung ableiten. Die folgende Zeichnung veranschaulicht zwei Lösungen der Gleichung:

Aufgabe

Schau Dir die Veranschaulichung in Ruhe an und gib Dir Rechenschaft darüber, was zu sehen ist.

Eigenschaften eines kohärenten Quantensystems

1.