Bruchteil, Anteil und Ganzes bei der Bruchrechnung

Lernpfad

Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Bruchteil, Anteil und Ganzes bei der Bruchrechnung"!

Dieser Lernpfad wurde erstellt, um dein Wissen und deine Fähigkeiten im Umgang mit dem Bruchteil, Anteil und Ganzem innerhalb der Bruchrechnung zu verbessern.

Info

In einem ersten Abschnitt erhältst du eine kurze Übersicht über Bruchteil, Anteil und Ganzes. Im zweiten Abschnitt wird es darum gehen, dass du diese drei Komponenten aus gegebenen Situationen erkennen kannst. Der dritte Abschnitt ist dazu da, dass du Zusammenhänge zwischen den drei Komponenten experimentell herausfinden kannst. Zum Schluss wirst du aus zwei der drei Komponenten die Dritte bestimmen müssen.

Was sind nochmal Bruchteil, Anteil und das Ganze?

Info

In diesem Abschnitt kannst du dir nochmal an zwei konkreten Beispielen anschauen, was der Bruchteil, Anteil und das Ganze sind.

Immer wenn wir einen Bruch gegeben haben, dann können wir den Bruchteil, Anteil und das Ganze bestimmen. Als Ausgangspunkt dient das Ganze, von welchem nur ein bestimmter Teil betrachtet werden soll (der Bruchteil). Der Anteil stellt immer das Verhältnis zwischen dem Bruchteil und dem Ganzen dar. Der Anteil ergibt sich, indem der Bruchteil durch das Ganze dividiert wird.

In den folgenden zwei Beispielen, kannst du dir diese drei Teile eines Bruches (Bruchteil, Anteil, Ganzes) mithilfe von zwei Abbildungen anschauen.

Beispiel

Betrachte $\frac{3}{4}$ eines Kreises.

Du siehst, dass der dargestellte Kreis in 4 gleich große Teile unterteilt ist, von denen 3 farbig markiert sind.

Der gesamte Kreis stellt bei diesem Beispiel das Ganze dar, auf welches sich der Bruchteil und der Anteil beziehen.

Die 3 farbig markierten Teile ergeben zusammen den Bruchteil.

Der Anteil gibt das Verhältnis zwischen dem Bruchteil und dem Ganzen wieder. Unterteilen wir das Ganze (den Kreis) in 4 gleich große Teile (4 Viertelkreise), dann sind 3 dieser Teile farbig markiert und einer ist nicht markiert. Also sind 3 von 4 farbig markiert (→ $\frac{3}{4}$)

Im ersten Beispiel wird das Ganze durch eine geometrische Form (Kreis) dargestellt. Du wirst aber auch mit Ganzen arbeiten müssen, welche nur aus einer Menge (Zahl) bestehen. In einem zweiten Beispiel kannst du dir anschauen, was in so einem Fall der Bruchteil, Anteil und das Ganze sind.

Beispiel

Betrachte nun $\frac{3}{4}$ von 12.

Wie in der Überschrift genannt, ist die 12 das Ganze (12 Sterne).

$\frac{3}{4}$ ist der Anteil und stellt wieder das Verhältnis zwischen Bruchteil und Ganzem dar. Du kannst die 12 Sterne nun in 4 Gruppen mit jeweils 3 Sternen unterteilen (dies wurde auf der linken Seite getan). Wenn du 3 dieser Gruppen nun farbig markierst, so hast du 9 Sterne markiert. Dies stellt den Bruchteil von den 12 Sternen dar.

Du kannst im nachfolgenden Lückentext überprüfen, ob du nun weißt, was Bruchteil, Anteil und Ganzes sind.

Wenn du einen Bruch in einer Sachsituation gegeben hast, dann kannst du bei dem Bruch immer Bruchteil, Anteil und Ganzes betrachten. Das Ganze stellt den Ausgangspunkt dar, auf welchen sich der Bruchteil und der Anteil beziehen. Von dem Ganzen wird meist nur ein gewisser Teil genommen. Dabei handelt es sich um den Bruchteil. Das Verhältnis zwischen Bruchteil und Ganzes spiegelt sich im Anteil wider.

Bruchteil, Anteil und Ganzes erkennen

Info

In diesem Abschnitt geht es darum, dass du aus beschriebenen Kontexten den Bruchteil, Anteil und das Ganze erkennen kannst. Nur wenn dir das gelingt, kannst du im weiteren Verlauf mit Bruchteil, Anteil und Ganzem rechnen.

Was ist mein Bruchteil, Anteil und was ist mein Ganzes?

Zusammenhänge entdecken

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In diesem Abschnitt kannst du Zusammenhänge zwischen Bruchteil, Anteil und Ganzem entdecken/erkunden. Du kannst zum Beispiel herausfinden, auf welche Art und Weise sich der Bruchteil verändert, wenn der Anteil gleich bleibt, aber das Ganze größer oder kleiner wird.

Gehe bei der nun folgenden Übung wie folgt vor:

1. Schaue dir die angefangenen Sätze auf der rechten Seite an
2. Stelle Vermutungen auf, wie sich Bruchteil, Anteil oder Ganzes in den jeweiligen Situationen verändern und schreibe deine Vermutungen auf einem Blatt Papier auf.
3. Untersuche nun die Veränderungen in den Geogebra Applets. Klicke dafür einfach auf diese und verändere mithilfe der Schieberegler die jeweils zugehörige Größe.
4. Vervollständige nun die Sätze und vergleiche sie mit deinen vorher aufgeschriebenen Vermutungen.
5. Überprüfe nun die vervollständigten Sätze. Schaue dir noch einmal die Geogebra Applets genau an, falls die Sätze nicht richtig sind.

Mit Bruchteil, Anteil und Ganzem rechnen

Info

Für diesen Abschnitt ist es wichtig, dass du erkennen kannst, was der Bruchteil, Anteil und das Ganze in einer bestimmten Situation ist. Falls du noch etwas unsicher beim Erkennen von Bruchteil, Anteil und Ganzes bist, dann schau nochmal in dem entsprechenden Abschnitt weiter oben nach.

Der Bruchteil ist gesucht

In diesem Abschnitt ist immer der Anteil und das Ganze gegeben und es wird der Bruchteil gesucht. Wenn du nicht mehr weißt, wie du aus dem Anteil und dem Ganzen den Bruchteil bestimmen kannst, dann schaue in die nachfolgende Erklärung.

Merke

  Der Bruchteil gibt die Anzahl an Teilen wider, die vom Ganzen ausgewählt werden.
  Er lässt sich berechnen, indem du den Anteil mit dem Ganzen multiplizierst.


Beispiel:

Julia und Marvin besitzen zusammen 6 Mützen. $\frac{2}{3}$ davon gehören Marvin und $\frac{1}{3}$ gehören Julia. Wie viele Mützen gehören Marvin?

Rechnung: Wir multiplizieren $\frac{2}{3}$ mit 6 und erhalten $\frac{2}{3} \cdot 6 = 4$ .
 

Antwort: Marvin besitzt 4 Mützen.

Den Bruchteil berechnen

Berechne nun selbst in deinem Heft den Bruchteil in den dargestellten Aufgaben. Kürze dabei soweit wie möglich.

Nachdem du alle Bruchteile berechnet hast, überprüfe selbst deine Lösung, indem du zu jeder Aufgabe den jeweiligen Bruchteil ziehst.

Merke

  Du multiplizierst einen Bruch mit einer natürlichen Zahl, indem du den Zähler mit der natürlichen Zahl multiplizierst und den Nenner beibehältst.

Beispiel:

Der Bruch $\frac{2}{3}$ soll mit der natürlichen Zahle $6$ multipliziert werden. Wir multiplizieren dann den Zähler ($2$) mit der natürlichen Zahl $6$ und behalten den Nenner ($3$) bei.

→ $\frac{2}{3} \cdot 6 = \frac{2 \cdot 6}{3} = \frac{12}{3} \overset{\text{kürzen}}{=} 4$

Merke

  Du kannst einen Bruch kürzen, indem du den Zähler und den Nenner durch die gleiche Zahl dividierst.

Beispiel:

Der Bruch $\frac{16}{18}$ soll gekürzt werden. Sowohl der Zähler (16) als auch der Nenner (18) sind durch 2 teilbar.

→ $\frac{16 : 2}{18 : 2} = \frac{8}{9}$

Das Ganze ist gesucht

In diesem Abschnitt ist immer der Bruchteil und der Anteil gegeben und es wird das Ganze gesucht.

Wenn du nicht mehr weißt, wie du aus dem Bruchteil und dem Anteil das Ganze bestimmen kannst, dann schaue in die nachfolgende Erklärung.

Merke

  Das Ganze stellt die Ausgangsgröße dar.
  Du erhältst das Ganze aus dem Bruchteil und dem Anteil indem du den Bruchteil durch den Anteil dividierst.


Beispiel:

Julia gehören 2 Mützen für den Winter. Das sind $\frac{1}{3}$ aller Mützen, die sie und ihr Bruder Marvin gemeinsam besitzen. Wie viele Mützen haben die beiden zusammen?

Rechnung: Wir teilen 2 durch $\frac{1}{3}$ und erhalten $2 : \frac{1}{3} = 2 \cdot \frac{3}{1} = 6$.
 

Antwort: Den beiden gehören zusammen 6 Mützen.

Das Ganze berechnen

Berechne nun selbst in deinem Heft das Ganze in den dargestellten Aufgaben.

Nachdem du alle Ganze berechnet hast, überprüfe selbst deine Lösung, indem du zu jeder Aufgabe das jeweilige Ganze ziehst.

Merke

  Du kannst eine natürliche Zahl durch einen Bruch dividieren, indem du die natürliche Zahl mit dem Kehrbruch des gegebenen Bruchs dividierst. Der Kehrbruch zu einem gegebenen Bruch erhältst du, indem du Zähler und Nenner des Bruchs vertauschst.

Beispiel:

Die natürliche Zahl 2 soll durch $\frac{2}{4}$ dividiert werden. Der Kehrbruch von $\frac{2}{4}$ ist $\frac{4}{2}$. Wir multiplizieren nun 2 mit dem Kehrbruch ($\frac{2}{4}$)

→ $2 : \frac{2}{4} = 2 \cdot \frac{4}{2} = \frac{8}{2} \overset{\text{kürzen}}{=} 4$

Der Anteil ist gesucht

In diesem Teil ist immer der Bruchteil und das Ganze gegeben und es wird der Anteil gesucht.

Wenn du nicht mehr weißt, wie du aus dem Bruchteil und dem Ganzen den Anteil bestimmen kannst, dann schaue in die nachfolgende Erklärung.

Merke

  Der Anteil stellt das Verhältnis zwischen dem Bruchteil und dem Ganzen dar.
  Er lässt sich berechnen, indem du den Bruchteil durch das Ganze dividierst.

Beispiel:

Julia und Marvin besitzen zusammen 6 Mützen. Vier davon gehören Marvin und zwei gehören Julia. Wie groß ist der Anteil von Julias Mützen an allen Mützen der beiden?

Rechnung: Wir teilen 2 durch 6 und erhalten $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
 

Antwort: Julia besitzt $\frac{1}{3}$ aller Mützen der beiden.

Den Anteil berechnen

Berechne nun selbst in deinem Heft die Anteile der dargestellten Aufgaben. Kürze dabei soweit wie möglich.

Nachdem du alle Anteile berechnet hast, überprüfe selbst deine Lösung, indem du zu jeder Aufgabe den jeweiligen Anteil ziehst.

Beachte, dass Noah ebenfalls einen Teil der Schokolade bekommt.