Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Die Ableitung als Steigung der Tangente: Unterschied zwischen den Versionen

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b) Geben Sie an wie sich die Steigung <math>m</math> einer Sekante der Funktion <math>f</math> durch die Punkte <math>P(x_0|f(x_0))</math> und <math>Q(x|f(x))</math> allgemein berechnen lässt. <br/>
b) Geben Sie an wie sich die Steigung <math>m</math> einer Sekante der Funktion <math>f</math> durch die Punkte <math>P(x_0|f(x_0))</math> und <math>Q(x|f(x))</math> allgemein berechnen lässt. <br/>
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Differerenzenquotient Hilfe.png|rand|600x600px]]|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe verbergen}}
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{{Box|Der Differenzenquotient|Die Eigenschaft der Tangente sich dem Graphen einer Funktion in einer kleinen Umgebungen anzupassen, wird als die ,,Schmiegeeigenschaft" der Tangente bezeichnet.  |Merksatz}}|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}


c) Berechnen Sie in [[/Aufgabe 2.2 b)|diesem Applet]] die Steigung der Sekante durch die Punkte P und Q. <br/>
c) Berechnen Sie in [[/Aufgabe 2.2 b)|diesem Applet]] die Steigung der Sekante durch die Punkte P und Q. <br/>
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==Die Steigung der Tangente==
==Die Steigung der Tangente==
<br />{{Box|Aufgabe 3|Wir betrachten die Funktion <math>f(x)=x^3+x</math>, den festen Punkt <math>P(x_0|f(x_0))</math> mit <math>x_0=1</math>und den flexiblen Punkt <math>Q(x|f(x))</math>.  
<br />{{Box|Aufgabe 2.3|Wir betrachten die Funktion <math>f(x)=x^3+x</math>, den festen Punkt <math>P(x_0|f(x_0))</math> mit <math>x_0=1</math>und den flexiblen Punkt <math>Q(x|f(x))</math>.  
<br/>
<br/>
Nähern Sie den Punkt Q in 4 Schritten so nahe wie es das Applet zulässt dem Punkt P. <br/>
Nähern Sie den Punkt Q in 4 Schritten so nahe wie es das Applet zulässt dem Punkt P. <br/>
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|}
|}
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{{Box|Aufgabe 4|
{{Box|Aufgabe 2.4|
Beschreiben Sie auf was zu achten ist, wenn mit Hilfe der Steigung der Sekante durch zwei Punkte der Funktion die Steigung der Tangente möglichst genau bestimmen will.
Beschreiben Sie auf was zu achten ist, wenn mit Hilfe der Steigung der Sekante durch zwei Punkte der Funktion die Steigung der Tangente möglichst genau bestimmen will.
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{{Lösung versteckt|Applets|Applets anzeigen|Applets verbergen}}
|Arbeitsmethode
|Arbeitsmethode
}}
}}

Version vom 20. August 2019, 20:25 Uhr

Info
In diesem Abschnitt werden Sie sich die Grundvorstellung der Ableitung als Steigung der Tangente selbst erarbeiten. Tangenten haben Sie bereits in der Sekundarstufe 1 im Zusammenhang mit Kreisen kennengelernt. In diesem Abschnitt wird diese bereits vorhandene Vorstellung auf das analytische erweitert. Als Vorwissen sollten Sie über Kenntnisse von Sekanten, linearer Funktionen und des Differenzenquotienten verfügen. Sollten die Hilfen auf dieser Seite nicht genügen, wird auf die Seite Vorwissen verwiesen.

Tangentensteigung Bild.png

Die Tangente

Aufgabe 2.1

a) In diesem Applet sehen Sie zwei verschiedene Tangenten. Nennen Sie Unterschiede und Gemeinsamkeiten der beiden Tangenten

Text zum verstecken

b) Zoomen Sie in diesem Applet in den Berührpunkt der Tangente und beschreiben Sie was Sie sehen.

Text zum Verstecken

c) Zoomen Sie in diesem Applet in den Berührpunkt der Tangente und beschreiben Sie was Sie sehen.

Merksatz


d) Ergänzen Sie zu den Gemeinsamkeiten aus Aufgabe a) was Ihnen in Aufgabe b) und c) aufgefallen ist.
Die Tangente als Schmiegegerade
Die Eigenschaft der Tangente sich dem Graphen einer Funktion in einer kleinen Umgebungen anzupassen, wird als die ,,Schmiegeeigenschaft" der Tangente bezeichnet.

e) Treffen Sie eine Aussage über die Steigung der Tangente und die Steigung der Funktion im Berührpunkt mit der Tangente.

Die Steigung einer Sekante

Beispielbild Sekante.png


Aufgabe 2

a) Geben Sie die Definition einer Sekante, wie Sie sie im obigen Bild zu sehen ist an.

Text zum Verstecken

b) Geben Sie an wie sich die Steigung einer Sekante der Funktion durch die Punkte und allgemein berechnen lässt.

Differerenzenquotient Hilfe.png
Der Differenzenquotient
Die Eigenschaft der Tangente sich dem Graphen einer Funktion in einer kleinen Umgebungen anzupassen, wird als die ,,Schmiegeeigenschaft" der Tangente bezeichnet.

c) Berechnen Sie in diesem Applet die Steigung der Sekante durch die Punkte P und Q.

Text zum Verstecken

Die Steigung der Tangente


Aufgabe 2.3

Wir betrachten die Funktion , den festen Punkt mit und den flexiblen Punkt .
Nähern Sie den Punkt Q in 4 Schritten so nahe wie es das Applet zulässt dem Punkt P.
Halten Sie die Schritte in folgender Tabelle schriftlich fest. Entnehmen Sie die benötigten Werte dem Applet.

zum Applet
GeoGebra
Tabelle: Aufgabe 3
Schritt 1
Schritt 2
Schritt 3
Schritt 4


Aufgabe 2.4

Beschreiben Sie auf was zu achten ist, wenn mit Hilfe der Steigung der Sekante durch zwei Punkte der Funktion die Steigung der Tangente möglichst genau bestimmen will.

Applets
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