Benutzer:PascalHänle/Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff/Zusammenfassung Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff: Unterschied zwischen den Versionen
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=== Die Ableitung als lokale Änderungsrate === | |||
Die Grundvorstellung der Ableitung als lokale Änderungsrate baut auf dem Verständnis von Änderungsprozessen auf, die bereits in der Sekundarstufe 1 behandelt wurden. Es wird nun also neben der absoluten Änderung <math>f(x_1)-f(x_0)</math>und der mittleren (durchschnittlichen) Änderungsrate <math>\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} </math>die lokale Änderungsrate <math>f'(x_0) = \lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math>beschrieben. | |||
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Der Begriff der Änderungsrate beruht auf vielfältigen Erfahrungen mit der Beschreibung von Änderungsprozessen. In der Sekundarstufe I wird neben der absoluten Änderung f.x1/ � f.x0/ auch die relative (oder auch mittlere) Änderungsrate f.x1/�f.x0/ x1�x0 betrachtet, beispielsweise bei der Diskussion über Durchschnittsgeschwindigkeiten oder bei derBerechnungvonGeradensteigungenmithilfevon Steigungsdreiecken. | Der Begriff der Änderungsrate beruht auf vielfältigen Erfahrungen mit der Beschreibung von Änderungsprozessen. In der Sekundarstufe I wird neben der absoluten Änderung f.x1/ � f.x0/ auch die relative (oder auch mittlere) Änderungsrate f.x1/�f.x0/ x1�x0 betrachtet, beispielsweise bei der Diskussion über Durchschnittsgeschwindigkeiten oder bei derBerechnungvonGeradensteigungenmithilfevon Steigungsdreiecken. | ||
Version vom 16. August 2019, 09:37 Uhr
Auf dieser Seite finden Sie die Grundvorstellungen, die Sie sich in diesem Lernpfad selbst erschließen können in einer detaillierten Zusammenfassung.
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Die Ableitung als lokale Änderungsrate
Die Grundvorstellung der Ableitung als lokale Änderungsrate baut auf dem Verständnis von Änderungsprozessen auf, die bereits in der Sekundarstufe 1 behandelt wurden. Es wird nun also neben der absoluten Änderung und der mittleren (durchschnittlichen) Änderungsrate die lokale Änderungsrate beschrieben.
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Wie auch in der Bearbeitung des Lernpfades lässt sich diese Grundvorstellung am besten mit einem Weg-Zeit-Zusammenhang erschließen.
Der Begriff der Änderungsrate beruht auf vielfältigen Erfahrungen mit der Beschreibung von Änderungsprozessen. In der Sekundarstufe I wird neben der absoluten Änderung f.x1/ � f.x0/ auch die relative (oder auch mittlere) Änderungsrate f.x1/�f.x0/ x1�x0 betrachtet, beispielsweise bei der Diskussion über Durchschnittsgeschwindigkeiten oder bei derBerechnungvonGeradensteigungenmithilfevon Steigungsdreiecken.
Mittlere Änderungsraten beziehen sich immer auf ein Intervall und können mithilfe des Differenzenquotienten berechnet werden. Dieses Intervall kann systematisch verkleinert werden, sodass man letztlich einer Stelle ein lokales Änderungsverhalten mithilfe des Grenzwertes zuschreiben kann.
