Potenzfunktionen - 4. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen
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Main>Peter Hofbauer Keine Bearbeitungszusammenfassung |
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''den Definitonsbereich D = IR<sup>+</sup>.'' | ''den Definitonsbereich D = IR<sup>+</sup>.'' | ||
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:Nach Stufe 3 dieses Kurses ist eine Wurzelfunktion <math>g(x)=\sqrt[n]{x}</math> für <math>n\geq2</math> nur auf IR<sup>+</sup><sub>o</sub> definiert, das heißt ihr Definitionsbereich <math> | :Nach Stufe 3 dieses Kurses ist eine Wurzelfunktion <math>g(x)=\sqrt[n]{x}</math> für <math>n\geq2</math> nur auf IR<sup>+</sup><sub>o</sub> definiert, das heißt ihr Definitionsbereich <math>D = \mathbb{R}^+ \cup \{0\}.</math><br /> | ||
:Aufgrund des Zusammenhangs <math>f(x) = x^{-\frac 1 n}= \textstyle \frac{1}{x^{\frac 1 n}} = \textstyle \frac{1}{\sqrt[n]{x}} = \textstyle \frac{1}{g(x)}</math> überträgt sich der Definitionsbereich der Funktion ''g'' grundsätzlich auf die Funktion ''f''. Einschränken muss man den Definitionsbereich von ''f'' allerdings noch um jene Werte, bei denen g(x)<math>=</math>0 gilt, also um x<math>=</math>0. Damit ergibt sich für den Definitionsbereich der Funktion ''f'': D<math>=</math>IR<sup>+</sup>}} | :Aufgrund des Zusammenhangs <math>f(x) = x^{-\frac 1 n}= \textstyle \frac{1}{x^{\frac 1 n}} = \textstyle \frac{1}{\sqrt[n]{x}} = \textstyle \frac{1}{g(x)}</math> überträgt sich der Definitionsbereich der Funktion ''g'' grundsätzlich auf die Funktion ''f''. Einschränken muss man den Definitionsbereich von ''f'' allerdings noch um jene Werte, bei denen g(x)<math>=</math>0 gilt, also um x<math>=</math>0. Damit ergibt sich für den Definitionsbereich der Funktion ''f'': D<math>=</math>IR<sup>+</sup>.}} | ||
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Es sei g eine Potenzfunktion, definiert durch <math>g(x)=x^{\frac{1}{3}}</math>. Gesucht ist die Umkehrfunktion <math>g^{\,-1}=:f</math> von <math>\!\,g</math>. | Es sei g eine Potenzfunktion, definiert auf D = IR<sup>+</sup><sub>0</sub> durch <math>g(x)=x^{\frac{1}{3}}</math>. Gesucht ist die Umkehrfunktion <math>g^{\,-1}=:f</math> von <math>\!\,g</math>. | ||
<math>g^{\,-1}</math> ergibt sich aus <math>\!\,g</math> durch Auflösen nach <math>\!\,x</math>. Es ist:<br /> | <math>g^{\,-1}</math> ergibt sich aus <math>\!\,g</math> durch Auflösen nach <math>\!\,x</math>. Es ist:<br /> | ||
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|<big>'''Beispiel II:'''</big> | |<big>'''Beispiel II:'''</big> | ||
Es sei f eine Potenzfunktion, nun definiert durch <math>f(x)=x^{- \frac 1 3}</math> mit Definitionsbereich | Es sei f eine Potenzfunktion, nun definiert durch <math>f(x)=x^{- \frac 1 3}</math> mit dem Definitionsbereich D = IR<sup>+</sup>. Gesucht ist wieder ihre Umkehrfunktion f<sup>-1</sup>. | ||
Auflösen nach x ergibt:<br /> | Auflösen nach x ergibt:<br /> | ||
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Im Zusammenhang mit den Umkehrfunktionen dieser Art kann es sinnvoll sein, sich die Potenzfunktionen der Stufe 1 noch einmal vor Augen zu führen. [[Potenzfunktionen_1._Stufe |Hier kannst Du direkt zur Stufe 1 springen]]. | Im Zusammenhang mit den Umkehrfunktionen dieser Art kann es sinnvoll sein, sich die Potenzfunktionen der Stufe 1 noch einmal vor Augen zu führen. [[Potenzfunktionen_1._Stufe |Hier kannst Du direkt zur Stufe 1 springen]]. | ||
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT= | |||
Zu welchen vorgegebenen Potenzfunktionen gibt es eine Umkehrfunktion? Welche Eigenschaften muss die gegebene Potenzfunktion erfüllen, damit es eine Umkehrfunktion gibt?<br /> | |||
Begründe Deine Überlegungen und beachte dabei besonders Definitions- und Wertebereich der betrachteten Funktionen, sowie ihr Monotonieverhalten!<br /> | |||
{{Lösung versteckt| Potenzfunktionen mit <math>f(x) = x^{\frac 1 n}</math> mit <math>n\geq2</math> sind auf ihrem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0</math> streng monoton steigend. Deswegen gibt es auf diesem Bereich eine Umkehrfunktion und zwar von der Bauart f(x)<math>=</math>x<sup>n</sup>.<br />Ähnliches gilt für Funktionen der Form <math>f(x) = x^{-{\frac 1 n}}</math> mit <math>n\geq2</math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. Hier lautet die Umkehrfunktion f(x)<math>=</math>x<sup>-n</sup>.<br /> Hat man aber eine Potenzfunktion f(x)<math>=</math>x<sup>n</sup> mit <math>n\geq2</math> (also eine aus der Stufe 1 dieses Lernpfades) vorgegeben, so ist sie - für gerade n - auf ihrem Defintionsbereich <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}</math> nicht überall streng monoton. Die Umkehrbarkeit ist aber nur auf streng monotonen Intervallen möglich. Betrachtet man f auf dem eingeschränkten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+_0</math>, so ist sie dort streng monoton und damit umkehrbar. Die Umkehrfunktion ist dort <math>f(x) = x^{\frac 1 n}</math>. }} | |||
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=== Zusammenfassung === | === Zusammenfassung === | ||
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Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen mit <font style="vertical-align:15%;"><math>f(x) = x^{- \frac 1 n},</math><math>n\geq2</math></font> sind Potenzfunktionen mit <math>f(x) = x^{-n}=\textstyle \frac{1}{x^n}</math>. | Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen mit <font style="vertical-align:15%;"><math>f(x) = x^{- \frac 1 n},</math><math>n\geq2</math></font> sind Potenzfunktionen mit <math>f(x) = x^{-n}=\textstyle \frac{1}{x^n}</math>. | ||
== *Zusammenfassung: Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"-Prinzip == | == *Zusammenfassung: Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"-Prinzip == | ||
Version vom 17. Januar 2011, 20:03 Uhr
Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-1/n, n ∈ IN*
Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.
Exponenten, Brüche und Potenzgesetze
Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponenten. Denke dabei insbesondere an folgenden Zusammenhang:
- Für eine reelle Zahl a und eine natürliche Zahl n0 wird definiert:
- für
Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:
| Vorlage:Arbeiten |
Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen
| Beispiel I:
Es sei g eine Potenzfunktion, definiert auf D = IR+0 durch . Gesucht ist die Umkehrfunktion von . ergibt sich aus durch Auflösen nach . Es ist: Vertauschen von x und y ergibt schließlich die gesuchte Funktion: f(x)x3. |
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
|---|---|
| Beispiel II:
Es sei f eine Potenzfunktion, nun definiert durch mit dem Definitionsbereich D = IR+. Gesucht ist wieder ihre Umkehrfunktion f-1. Auflösen nach x ergibt: |
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
Hinweis: Man beachte besonders hier die unterschiedliche Bedeutung von f-1 und f(x)x-1!
Vergleich mit Potenzfunktionen der Stufe 1
Im Zusammenhang mit den Umkehrfunktionen dieser Art kann es sinnvoll sein, sich die Potenzfunktionen der Stufe 1 noch einmal vor Augen zu führen. Hier kannst Du direkt zur Stufe 1 springen.
Zusammenfassung
Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen mit sind Potenzfunktionen mit
Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen mit sind Potenzfunktionen mit .
*Zusammenfassung: Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"-Prinzip
(* Bearbeitung freiwillig, Ergänzung)
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden.
*Zum Weiterdenken: Mit Funktionen malen
(freiwillig)
| Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. Das obenstehende Bild ist vollständig aus Potenzfunktionen der Form mit zusammengesetzt.
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Und nun gehts zum Abschlusstest |
