Potenzfunktionen - 4. Stufe

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Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x^-1/n, n ∈ IN

Es sei stets IN₀={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN₀ =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen negativen Stammbruch der Form $\textstyle - \frac{1}{n}$ mit $n \in \mathbb{N}$ als Exponenten haben. Für diese Art der Exponenten gilt: $-1\leq \textstyle -\frac{1}{n}< 0$.

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3

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Exponenten, Brüche und Potenzgesetze

Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponten. Man erinnere sich dabei an die Potenzgesetze, insbesondere an folgenden Zusammenhang:

Für eine reelle Zahl $a$ und eine natürliche Zahl $n$ wird definiert:

$a^{-n} := \textstyle \frac{1}{a^n}$ für $a \neq 0.$

Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:

$x^{-\frac 1 n}$$= \frac{1}{x^{\frac 1 n}}.$

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Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen

Beispiel

Es sei $f$ eine Potenzfunktion, definiert durch $f(x)=x^{\frac 1 3}$. Gesucht ist die Umkehrfunktion $f^{-1}$ von $f$ (man beachte die unterschiedliche Bedeutung von $f^{-1}$ und $f(x)=x^{-1}$!).

$f^{-1}$ ergibt sich aus $f$ durch Auflösen nach $x$. Es ist:
$\begin{matrix}y &=& x^{\frac 1 3}, && &|& (\,)^3 \\ y^3 &=& x^{\frac 3 3} && && \\ &=& x. &\,& && \end{matrix}$

Beispiel

Es sei $f$ eine Potenzfunktion, nun definiert durch $f(x)=x^{- \frac 1 3}$ mit Definitionsbereich ID = IR⁺. Gesucht ist wieder ihre Umkehrfunktion $f^{-1}$.

Auflösen nach $x$ ergibt:
$\begin{matrix}y &=& x^{- \frac 1 3}, &&\\ y^3 &=& x^{- \frac 3 3} &= x^{-1} = \textstyle \frac 1 x,& \\ x\cdot y^3 &=& 1, && \\ x &=& \textstyle \frac{1}{y^3} &= y^{-3}.& \end{matrix}$

$y =x^{- \frac 1 3},$
$y^3 =x^{- \frac 3 3} = x^{-1} = \textstyle \frac 1 x,$
$x\cdot y^3 = 1,$
$x = \textstyle \frac{1}{y^3} = y^{-3}.$

Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"

• Spiegeln
• Strecken
• Stauchen
• Schieben
• Superponieren

Siehe Video auf www.oberprima.com.

APPLET

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test zone

$\begin{matrix}f(n+1)&=& (n+1)^2 \\ &=& n^2 + 2n + 1\end{matrix}$