Ganzrationale Funktionen

Herzlich willkommen zum Lernpfad zu ganzrationalen Funktionen! In unserer aktuellen Unterrichtseinheit geht es um Transformationen von verschiedenen Funktionen, d. h. also, ihr sollt herausarbeiten, mithilfe welcher Operationen bzw. Veränderungen in der Funktionsgleichung unterschiedliche Funktionsarten im Koordinatensystem verschoben, gestreckt bzw. gestaucht und gespiegelt werden können. In diesem Lernpfad sollst du dich nun speziell mit den ganzrationalen Funktionen auseinandersetzen. Kompetenzen Du kennst bereits: verschiedene Begriffe / Eigenschaften im Zusammenhang mit Funktionen allgemein (Definitions- und Wertemenge, Symmetrie, ...), lineare Funktionen allgemein und abschnittsweise definierte (lineare) Funktionen sowie Transformationen im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen (Verschiebung auf der x- und auf der y-Achse, Streckung bzw. Stauchung in Richtung der x- und y-Achse sowie Spiegelungen an der x- und y-Achse). Nach Bearbeitung dieses Pfades: kennst du die ganzrationalen Funktionen als weitere Funktionenklasse. kannst du wichtige Eigenschaften der ganzrationalen Funktionen erläutern. weißt du, wie du diese Funktionen auf der x- und y-Achse verschieben kannst. weißt du, wie du diese Funktionen in Richtung der x- und der y-Achse strecken bzw. stauchen sowie an der x- und y-Achse spiegeln kannst.   Und nun .... Viel Spaß beim Bearbeiten!!

Infos vor Beginn

1) Lerntagebuch:
Während der gesamten Unterrichtseinheit sollst du ein Lerntagebuch führen: Das Tagebuch dient einerseits als "normales" Heft und andererseits als Reflexionsinstrument. Das heißt, du sollst nicht nur die gegebenen Arbeitsaufträge im Lerntagebuch bearbeiten, sondern dir darüber hinaus auch (schriftlich) Gedanken über deine Lernfortschritte und die Eignung des Arbeitsmaterials machen. Das Tagebuch wird nicht bewertet, es dient ausschließlich dazu, dir selbst klar zu machen, wie groß dein Lernfortschritt ist und wo vielleicht noch Probleme liegen.

Folgende Bestandteile sollte das Tagebuch haben:
1) Standortbestimmung: Was weiß ich bereits über Funktionstransformationen im Allgemeinen? Weiß ich bereits etwas über die zu bearbeitenden Funktionsarten?
2) Ein Eintrag nach jeder Stunde während der gesamten Unterrichtseinheit - mögliche Fragen, an denen du dich dabei orientieren kannst, sind:

• Was habe ich gelernt? Was habe ich gut verstanden, welche Fragen sind noch offen? Welche Schwierigkeiten sind bei der Lösung aufgetreten?
• An welchen Stellen habe ich etwas für mich Neues gelernt? Hatte ich Aha-Erlebnisse?
• Bin ich mit meiner Arbeit zufrieden? Habe ich mein Arbeitsziel in dieser Stunde erreicht? Wenn nicht, woran lag es?
• Wie habe ich mich in dieser Stunde im Unterricht oder in der Gruppenarbeit beteiligt? Welche Note würde ich mir geben?

3) Abschlusskommentar zu jeder Phase der Unterrichtseinheit:
4) Allgemeine Beurteilung der Einheit: Waren Aufbau und Material sinnvoll (speziell die Lernpfade)?
5) Abschlussprodukt: Funktionenbild mit Erläuterung

2) Allgemeine Hinweise:

• Bearbeite den Lernpfad mit einem Partner oder einer Partnerin - so könnt ihr gemeinsam über die Aufgaben sprechen und schneller zu sinnvollen Ergebnissen gelangen.
• Nutze die versteckten Hinweise erst, wenn du allein bzw. ihr zu zweit bei der Aufgabe nicht mehr weiter kommt - versucht es zuerst ohne Hilfe!
• Für die versteckten Lösungen gilt: Schau sie dir erst an, wenn du die Aufgabe gelöst hast - sie dienen nur der Kontrolle!
• Übernimm alle wichtigen Definitionen, Merksätze, Erläuterungen in dein Lerntagebuch - im Regelfall wirst du allerdings an der betreffenden Stelle explizit dazu aufgefordert.

Definition der ganzrationalen Funktionen

Eine kleine Aufgabe zum Einstieg:
Vorlage:Arbeiten

$V(x) = (16 - 2x)^2x = 4x^3 - 64x^2 + 256x$

Die Funktion, die du gerade aufgestellt hast, ist eine sogenannte ganzrationale Funktion - sie setzt sich zusammen aus den einzelnen Summanden $4x^3$, $-64x^2$ und $256x$, den Potenzfunktionen. Der höchste Exponent gibt den Grad der Funktion an, d. h. es handelt sich hier um eine ganzrationale Funktion dritten Grades. Die Vorfaktoren der einzelnen Summanden werden entsprechend den zugehörigen Exponenten von x mit $a_3$ - $a_1$ bezeichnet ($a_3 = 4$, $a_2 = -64$, $a_1 = 256$) - sie heißen Koeffizienten.

Nun in allgemeiner Form:

Definition

Ein Term der Form $a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0$ mit $n \in N$; $a_0$, $a_1$, $a_2$, ..., $a_{n - 1}$, $a_n \in R$ und $a_n \neq 0$ heißt Polynom. Die Zahlen $a_0$, $a_1$, $a_2$, $a_3$, ..., $a_{n - 1}$, $a_n$ nennt man Koeffizienten des Polynoms. Als Grad des Polynoms wird der höchste Exponent n von x bezeichnet, dessen zugehöriger Koeffizient $a_n$ nicht Null ist.
Eine Funktion f, deren Funktionswert f(x) als Polynom geschrieben werden kann, heißt ganzrationale Funktion.

Der Grad des Polynoms heißt auch Grad der ganzrationale Funktion. Die Definitionsmenge einer ganzrationalen Funktion ist die Menge der reellen Zahlen, also R.

Nicht erschrecken, die Definition sieht viel komplizierter aus als das Ganze in Wirklichkeit ist. Hier nochmal langsam zum Üben:

Pluspunkt für eine richtige Antwort:
Punkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere die Fragen-Koeffizienten:

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 0.5x^4 + 3x^3 + 7x^2 - 1.3x - 18$.

1) Der der Polynoms ist , da 4 der höchste vorkommende Exponent ist.

2) Die lauten wie folgt: $a_4$ = , $a_3$ = , $a_2$ = , $a_1$ = , $a_0$ = . Der Index des jeweiligen a entspricht immer den des zugehörigen x. Achte auf die ! Laut Definition kommen für die Koeffizienten alle Zahlen in Frage, wundere dich also nicht, wenn in der Funktion z. B. eine Wurzel auftaucht.

3) Da für x alle möglichen Zahlen eingesetzt werden können, ist also hier entsprechend der Definition D = .

Mit den folgenden Übungen kannst du überprüfen, ob du alles verstanden hast:
Vorlage:Arbeiten

1) Grad: 7, Koeffizienten: $a_7 = \frac{1}{2}, a_5 = -3, a_3 = \sqrt{2}, a_1 = -1, a_0 = 13$
2) Grad: 0, Koeffizienten: $a_0 = 7$
3) Grad: 1, Koeffizienten: $a_1 = \frac{1}{2}$
4) Grad: 6, Koeffizienten: $a_6 = 0,12345$, $a_1 = 9,87654$

5) Grad: 4, Koeffizienten: $a_4 = 1$, $a_3 = 1$, $a_2 = -1$, $a_1 = -1$

Entscheide: Handelt es sich um eine ganzrationale Funktion? Begründe in deinem Lerntagebuch.

1 $f(x) = \frac{x}{\sqrt{3}}$

	ja
	nein

2 $g(x) = 1$

	ja
	nein

3 $h(x) = \frac {\sqrt{3}}{x}$

	ja
	nein

4 4) $i(x) = \frac {1}{x + 1}$

	ja
	nein

5 $j(x) = x^2$

	ja
	nein

Wichtige Eigenschaften ganzrationaler Funktionen

-2x-1	-10x3+2x	2x3+3x	2x4-x2+3	5x3-2x2-3

x2-x	x3	x4	x4-3x2-2x-2	x5+3x2

x6+x2	-x3	-x4+3x2	-x4

Im Folgenden sollst du die gerade geordneten Funktionen noch einmal genauer untersuchen hinsichtlich möglicher Symmetrien sowie ihrem Verhalten für sehr große und sehr kleine x (Verhalten im Unendlichen):

Symmetrie

Merke

Der Graph einer ganzrationalen Funktion f verläuft genau dann

• achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f(x) nur Potenzen mit geraden Exponenten enthält.
• punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f(x) nur Potenzen mit ungeraden Exponenten enthält.

Verhalten im Unendlichen / Verlauf des Graphen

Merke

Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion f für sehr große x wird von dem Summanden mit der höchsten Potenz von x, d. h. dem Summanden mit dem höchsten Exponenten, bestimmt. Der Graph zur Funktion verhält sich also wie der Graph zur Funktion y = $a_nx^n$, wobei n der Grad von f ist.

Vorlage:Arbeiten

Merke

Der Graph zur Funktion verhält sich so wie der Graph zur Funktion y = $a_nx^n$, wobei n der Grad von f ist. Alle weiteren Summanden beeinflussen den Verlauf nur geringfügig.

Mithilfe der folgenden Übung kannst du Verlauf und Symmetrie von ganzrationalen Funktionen untersuchen und so überprüfen, ob du alles verstanden hast.

Transformationen

Die ganzrationalen Funktionen, die du in diesem Lernpfad kennen gelernt hast, weisen bestimmte Transformationen auf, d. h. die Funktionsgleichung gibt an, inwiefern der Graph gestreckt oder gestaucht, in Richtung der x- oder y-Achse verschoben oder an der x-Achse gespiegelt ist.

Mit zwei Arten von ganzrationalen Funktionen hast du dich in den vergangenen Wochen im Unterricht bereits näher beschäftigt, und zwar mit den linearen und den quadratischen Funktionen. Dabei handelt es sich um nichts anderes als um ganzrationale Funktionen ersten und zweiten Grades. Eine lineare Funktion wird entsprechend der Definition als Polynom folgendermaßen geschrieben: $f(x) = a_1x + a_0$ - der zugehörige Graph heißt - wie du weißt - Gerade. Die dementsprechende Schreibweise der quadratischen Funktionen sieht folgendermaßen aus: $g(x) = a_2x^2 + a_1x + a_0$ (Normalform) - der zugehörige Graph heißt Parabel.

Vorlage:Arbeiten

Im Folgenden sollst du dich genauer mit Verschiebungen, Streckungen / Stauchungen und Spiegelungen von ganzrationalen Funktionen (speziell dritten und vierten Grades) beschäftigen. Los geht es mit den einfachsten ganzrationalen Funktionen - den Geraden. Mit verschiedenen Aspekten im Zusammenhang mit linearen Funktionen hast du dich im Unterricht zwar schon beschäftigt, aber noch nicht mit Transformationen von Geraden im Koordinatensystem. Das sollst du nun nachholen:

f(x) = a(a₁x - d) + (a₀ + e). Eine Spiegelung an der x-Achse kann erreicht werden durch die Multiplikation der gesamten Funktion mit (-1).

Eine Transformationsart, die bislang noch nicht betrachtet wurde, ist die Streckung / Stauchung in Richtung der x-Achse. Vorlage:Arbeiten

Folgende Fälle lassen sich unterscheiden:

• -1 < b < 1: Streckung in Richtung der x-Achse; dazu kommt für negative Werte die Spiegelung an der y-Achse
  
• b = 1: keine Veränderung, im negativen Fall nur Spiegelung an der y-Achse
• b < -1 bzw. b > 1: Stauchung in Richtung der x-Achse; dazu kommt für negative Fälle die Spiegelung an der y-Achse

Automatisch hast du jetzt also auch schon die Spiegelung an der y-Achse als weitere Transformationsart mit bearbeitet.

Es ist möglich, zu g(x) zu gelangen, indem man f(x) mit dem Faktor 4 in Richtung der y-Achse streckt und um $+\frac{1}{2}$ auf der y-Achse verschiebt. Demzufolge ist es bei linearen Funktionen nicht notwendig, die Streckung / Stauchung in Richtung der x-Achse gesondert zu betrachten. Um eine Spiegelung an der y-Achse hervorzurufen, gibt es allerdings keine andere Möglichkeit.

Vorlage:Arbeiten

Die Möglichkeit, die Normalform in die Scheitelpunktform zu überführen, ist allerdings nur bei quadratischen Funktionen so einfach möglich. Ganzrationale Funktionen mit n > 2 werden im Regelfall in Polynomschreibweise angegeben und lassen sich nicht in eine Art "Scheitelpunktform" überführen, an der alle Transformationsarten ablesbar sind.
Auch für die Funktionen mit n > 2 gibt es eine Art "Scheitelpunktform", also eine Funktionsgleichung, an der direkt die verschiedenen Transformationen abgelesen werden können. Aber diese Gleichung kann nicht wie bei den quadratischen Funktionen durch die quadratische Ergänzung aus der Polynomschreibweise hergeleitet werden - man kann lediglich diese "Scheitelpunktform" durch Ausmultiplizieren in die Polynomschreibweise überführen. Beide Schreibweisen werden im Rahmen der Unterrichtseinheit betrachte - ihr sollt euch mit der etwas schwierigeren Polynomschreibweise auseinandersetzen, während die andere Darstellungsform von der Gruppe "Potenzfunktionen" bearbeitet wird.
Du hast ja bereits herausgefunden, wie die verschiedenen Transformationen sich bei linearen Funktionen (also den einfachsten der ganzrationalen Funktionen) in die Funktionsgleichung einbauen lassen; im Folgenden sollst du versuchen, dein Wissen bezüglich der einzelnen Transformationsarten auf ganzrationale Funktionen zweiten, dritten und vierten Grades zu übertragen.

Beginnen wir mit der Streckung bzw. Stauchung in Richtung der y-Achse:

Merke

Eine Streckung bzw. Stauchung einer ganzrationalen Funktion wird erreicht durch die Multiplikation der gesamten Funktion mit dem Streckfaktor a. Für a lassen sich drei verschiedene Fälle unterscheiden:

• -1 < a < 1: Es handelt sich um eine Stauchung; im Falle eines negativen Streckfaktors kommt eine Spiegelung an der x-Achse hinzu.
• a = 1: Die Funktionsgleichung ändert sich nicht, es handelt sich weder um eine Stauchung noch um eine Streckung.
• a > 1 bzw. a < -1: Es handelt sich um eine Streckung. Für negatives a ist es zusätzlich eine Spiegelung an der x-Achse.
  

Durch eine Streckung oder Stauchung ändern sich alle Werte der Funktion mit Ausnahme der Nullstellen - Nullstellen bleiben von Streckungen (bzw. Stauchungen) in Richtung der y-Achse grundsätzlich unberührt.

Mit Bearbeitung dieser Aufgabe hast du bereits implizit die Spiegelung an der x-Achse mit untersucht und damit bereits eine weitere Transformationsart "abgehakt".

Weiter geht es mit den Verschiebungen in Richtung der beiden Achsen:
Der Abwechselung halber betrachten wir nun eine Funktion 3. Grades.

Vorlage:Versteckt

Vorlage:Arbeiten

Merke

Eine Verschiebung um d in Richtung der x-Achse lässt sich darstellen durch (x - d), das überall dort in die Funktionsgleichung eingesetzt wird, wo vorher ein x stand. Eine Verschiebung um e in Richtung der y-Achse lässt sich darstellen durch das Anhängen von e an die gesamte Gleichung. Formal kann diese Verschiebung des Graphen um (d / e) ausgedrückt werden durch g(x) = f(x - d) + e.

Nun ein konkretes Beispiel: Vorlage:Arbeiten

$g(x) = (x - 2)^4 + 2(x - 2)^3 - (x - 2)^2 + 2 + 3 = x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 4x + 1$

Zum Abschluss noch die Streckung / Stauchung in Richtung der x-Achse:

Vorlage:Arbeiten

• $f(\frac{1}{2}x) = 2(\frac{1}{2}x)^3 - 6(\frac{1}{2}x)^2 + 3(\frac{1}{2}x)$
• Die Fallbetrachtungen für b können übertragen werden.
• Prinzipiell sind die Transformationsarten auch bei ganzrationalen Funktionen im Allgemeinen durcheinander ersetzbar, aber in der Polynomschreibweise ist es kaum möglich, dies ohne weiteres zu sehen und einzubauen.

Übungen

$f(x) = 0.5x^4$

• Verschiebung um -2 in y-Richtung: $f(x) = 0.5x^4-2$
• Verschiebung um 2 Einheiten in x-Richtung nach rechts: $f(x) = 0.5(x-2)^4$
• Streckung in y-Richtung mit Faktor 2: $f(x) = 2(0.5x^4) = x^4$
• Streckung in y-Richtung mit dem Faktor 4 und Spiegelung an der x-Achse: $f(x) = -4(0.5x^4) = -2x^4$

Gruppe 1	Gruppe 2
$f_1(x) = 8x^3 - 3$	$g_1(x) = 81x^4 + 3$
$f_2(x) = (3x)^4 + 3$	$g_2(x) = -0.0625x^4$
$f_3(x) = (-0.5x)^4$	$g_3(x) = (2x)^3 - 3$
$f_4(x) = (b(x - c))^4$	$g_4(x) = -8x^3 - 72x^2 - 216x + 30$
$f_5(x) = (-2(x + 3))^3 + 3$	$g_5(x) = b^4(x - c)^4$

• $f_1(x) = g_3(x)$
• $f_2(x) = g_1(x)$
• $f_3(x) = g_2(x)$
• $f_4(x) = g_5(x)$
• $f_5(x) = g_4(x)$

Zusammenfassung

Vorlage:Arbeiten