Ganzrationale Funktionen

Herzlich willkommen zum Lernpfad zu ganzrationalen Funktionen! In unserer aktuellen Unterrichtseinheit geht es um Transformationen von Funktionen, d. h. also, ihr sollt herausarbeiten, mithilfe welcher Operationen bzw. Veränderungen in der Funktionsgleichung unterschiedliche Funktionsarten im Koordinatensystem 'verschoben' werden können. In diesem Lernpfad sollst du dich nun speziell mit den ganzrationalen Funktionen auseinandersetzen. Kompetenzen Du kennst bereits: verschiedene Begriffe / Eigenschaften im Zusammenhang mit Funktionen allgemein (Definitions- und Wertemenge, Symmetrie, ...) abschnittsweise definierte (lineare) Funktionen Transformationen im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen (Verschiebung auf der x-Achse, Verschiebung auf der y-Achse, Streckung bzw. Stauchung in Richtung der y-Achse) Nach Bearbeitung dieses Pfades: weißt du, was ganzrationale Funktionen sind. kennst du wichtige Eigenschaften der ganzrationalen Funktionen. weißt du, wie du diese Funktionen auf der x- und y-Achse verschieben kannst. weißt du, wie du diese Funktionen in Richtung der x- und der y-Achse stauchen sowie an der x-Achse spiegeln kannst.   Und nun .... Viel Spaß beim Bearbeiten!!

Infos vor Beginn

Während der gesamten Unterrichtseinheit sollst du ein Lerntagebuch führen: Das Tagebuch dient einerseits als "normales" Heft und andererseits als Reflexionsinstrument. Das heißt, du sollst nicht nur die gegebenen Arbeitsaufträge im Lerntagebuch bearbeiten, sondern dir darüber hinaus auch (schriftlich) Gedanken über deine Lernfortschritte und die Eignung des Arbeitsmaterials machen. Das Tagebuch wird nicht bewertet, es dient ausschließlich dazu, dir selbst klar zu machen, wie groß dein Lernfortschritt ist und wo vielleicht noch Probleme liegen.
Mögliche Fragen, an denen du dich dabei orientieren kannst, sind:

Mache spätestens nach jeder Stunde einen Eintrag ins Lerntagebuch und reflektiere über deine Arbeit in der Unterrichtseinheit.

Allgemeine Hinweise:

• Bearbeite den Lernpfad mit einem Partner oder einer Partnerin - so könnt ihr gemeinsam über die Aufgaben sprechen und schneller zu sinnvollen Ergebnissen gelangen.
• Übernimm alle wichtigen Definitionen, Merksätze, Erläuterungen in dein Lerntagebuch - im Regelfall wirst du allerdings an der betreffenden Stelle explizit dazu aufgefordert.
• ...

Definition der ganzrationalen Funktionen

Eine kleine Aufgabe zum Einstieg:
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$V(x) = (16 - 2x)^2x = 4x^3 + 52x^2 + 256x$

Die Funktion, die du gerade aufgestellt hast, ist eine sogenannte ganzrationale Funktion - sie setzt sich zusammen aus den einzelnen Summanden $4x^3$, $52x^2$ und $256x$, den Potenzfunktionen. Der höchste Exponent gibt den Grad der Funktion an, d. h. es handelt sich hier um eine ganzrationale Funktion dritten Grades. Die Vorfaktoren der einzelnen Summanden werden entsprechend den zugehörigen Exponenten von x mit $a_3 - a_1$ bezeichnet ($a_3 = 4, a_2 = 52, a_1 = 256$) - sie heißen Koeffizienten.

Nun in allgemeiner Form:

Definition

Ein Term der Form $a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0 mit n \in N; a_0, a_1, a_2, ..., a_{n - 1}, a_n \in R und a_n \neq 0$ heißt Polynom. Die Zahlen $a_0, a_1, a_2, a_3, ..., a_{n - 1}, a_n$ nennt man Koeffizienten des Polynoms. Als Grad des Polynoms wird der höchste Exponent n von x bezeichnet, dessen zugehöriger Koeffizient $a_n$ nicht Null ist.
Eine Funktion f, deren Funktionswert f(x) als Polynom geschrieben werden kann, heißt ganzrationale Funktion.

Der Grad des Polynoms heißt auch Grad der ganzrationale Funktion. Die Definitionsmenge einer ganzrationalen Funktion ist die Menge der reellen Zahlen, also R.

Nicht erschrecken, die Definition sieht viel komplizierter aus als das Ganze in Wirklichkeit ist. Hier nochmal langsam am Beispiel:

Pluspunkt für eine richtige Antwort:
Punkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere die Fragen-Koeffizienten:

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 0.5x^4 + 3x^3 + 7x^2 - 1.3x - 18$.

1) Der der Polynoms ist , da 4 der höchste vorkommende Exponent ist.

2) Die lauten wie folgt: $a_4$ = , $a_3$ = , $a_2$ = , $a_1$ = , $a_0$ = . Der Index des jeweiligen a entspricht immer den des zugehörigen x. Achte auf die ! Laut Definition kommen für die Koeffizienten alle Zahlen in Frage, wundere dich also nicht, wenn in der Funktion z. B. eine Wurzel auftaucht.

3) Da für x alle möglichen Zahlen eingesetzt werden können, ist also hier entsprechend der Definition D = .

Mit den folgenden Übungen kannst du überprüfen, ob du alles verstanden hast:
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{{{1}}}

Entscheide: Handelt es sich um eine ganzrationale Funktion? Begründe in deinem Lerntagebuch.

1 $f(x) = \frac{x}{\sqrt{3}}$

	ja
	nein

2 $g(x) = 1$

	ja
	nein

3 $h(x) = \frac {\sqrt{3}}{x}$

	ja
	nein

4 4) $i(x) = \frac {1}{x + 1}$

	ja
	nein

5 $j(x) = x^2$

	ja
	nein

Wichtige Eigenschaften ganzrationaler Funktionen

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Im Folgenden sollst du die gerade geordneten Funktionen noch einmal genauer untersuchen hinsichtlich möglicher Symmetrien sowie ihrem Verhalten für sehr große und sehr kleine x (Verhalten im Unendlichen):

Symmetrie

Merke

Der Graph einer ganzrationalen Funktion f verläuft genau dann

• achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f(x) nur Potenzen mit geraden Exponenten enthält.
• punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f(x) nur Potenzen mit ungeraden Exponenten enthält.

Verhalten im Unendlichen / Verlauf des Graphen

Merke

Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion f für sehr große x wird von dem Summanden mit der höchsten Potenz von x, d. h. dem Summanden mit dem höchsten Exponenten, bestimmt. Der Graph zur Funktion verhält sich also wie der Graph zur Funktion y = $a_nx^n$, wobei n der Grad von f ist.

Transformationen

Die ganzrationalen Funktionen, die du in diesem Lernpfad kennen gelernt hast, weisen bestimmte Transformationen auf, d. h. die Funktionsgleichung gibt an, inwiefern der Graph gestreckt oder gestaucht, in Richtung der x- oder y-Achse verschoben oder an der x-Achse gespiegelt ist.

Mit zwei Arten von ganzrationalen Funktionen hast du dich in den vergangenen Wochen im Unterricht bereits näher beschäftigt, und zwar mit den linearen und den quadratischen Funktionen. Dabei handelt es sich um nichts anderes als um ganzrationale Funktionen ersten und zweiten Grades. Eine lineare Funktion wird entsprechend der Definition als Polynom folgendermaßen geschrieben: $f(x) = a_1x + a_0$ - der zugehörige Graph heißt - wie du weißt - Gerade. Die dementsprechende Schreibweise der quadratischen Funktionen sieht folgendermaßen aus: $g(x) = a_2x^2 + a_1x + a_0$ (Normalform) - der zugehörige Graph heißt Parabel.

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Im Folgenden sollst du dich genauer mit Verschiebungen, Streckungen / Stauchungen und Spiegelungen von ganzrationalen Funktionen (speziell dritten und vierten Grades) beschäftigen. Los geht es mit den einfachsten ganzrationalen Funktionen - den Geraden. Mit verschiedenen Aspekten im Zusammenhang mit linearen Funktionen hast du dich im Unterricht zwar schon beschäftigt, aber noch nicht mit Transformationen von Geraden im Koordinatensystem. Das sollst du nun nachholen:

{{{1}}}

Eine Transformationsart, die bislang noch nicht betrachtet wurde, ist die Streckung / Stauchung in Richtung der x-Achse. Vorlage:Arbeiten

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Es ist möglich, zu g(x) zu gelangen, indem man f(x) mit dem Faktor 4 in Richtung der y-Achse streckt und um +\frac{1}{2} auf der y-Achse verschiebt. Demzufolge ist es bei linearen Funktionen nicht notwendig, die Streckung / Stauchung in Richtung der x-Achse gesondert zu betrachten.

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Die Möglichkeit, die Normalform in die Scheitelpunktform zu überführen, ist allerdings nur bei quadratischen Funktionen so einfach möglich. Ganzrationale Funktionen mit n > 2 werden im Regelfall in Polynomschreibweise angegeben und lassen sich nicht in eine Art "Scheitelpunktform" überführen, an der alle Transformationsarten ablesbar sind.
Auch für diese Fälle gibt es eine solche Funktionsgleichung, aber die Auseinandersetzung damit ist nicht die Aufgabe eurer Gruppe, sondern die der Gruppe "Potenzfunktionen". Ihr sollt euch mit der etwas schwierigeren Polynomschreibweise auseinandersetzen.
Du hast ja bereits herausgefunden, wie die verschiedenen Transformationen sich bei linearen Funktionen (also den einfachsten der ganzrationalen Funktionen) in die Funktionsgleichung einbauen lassen; im Folgenden sollst du versuchen, dein Wissen bezüglich der einzelnen Transformationsarten auf ganzrationale Funktionen zweiten, dritten und vierten Grades zu übertragen.

Beginnen wir mit der Streckung bzw. Stauchung in Richtung der y-Achse:

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Merke

Eine Streckung bzw. Stauchung einer ganzrationalen Funktion wird erreicht durch die Multiplikation der gesamten Funktion mit dem Streckfaktor a. Für a lassen sich drei verschiedene Fälle unterscheiden:

• -1 < a < 1: Es handelt sich um eine Stauchung; im Falle eines negativen Streckfaktors kommt eine Spiegelung an der x-Achse hinzu.
• a = 1: Die Funktionsgleichung ändert sich nicht, es handelt sich weder um eine Stauchung noch um eine Streckung.
• a > 1 bzw. a < -1: Es handelt sich um eine Streckung. Für negatives a ist es zusätzlich eine Spiegelung an der x-Achse.
  

Durch eine Streckung oder Stauchung ändert sich alle Werte mit Ausnahme der Nullstellen der Funktion - Nullstellen bleiben von Streckungen (bzw. Stauchungen) in Richtung der y-Achse grundsätzlich unberührt.