Einführung in die Differentialrechnung: Unterschied zwischen den Versionen
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In der Graphik der Lösung der vorherigen Aufgabe kann man den Punkt B bewegen, indem man mit der Maus auf ihn zeigt und bei gedrückter linker Maustaste die Maus bewegt. | In der Graphik der Lösung der vorherigen Aufgabe kann man den Punkt B bewegen, indem man mit der Maus auf ihn zeigt und bei gedrückter linker Maustaste die Maus bewegt. | ||
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{{Kasten_blau| | {{Kasten_blau| | ||
Die Gerade ist dann keine Sekante (die einen Graphen ja in zwei Punkten schneiden muss) mehr. Man nennt dies Gerade ''Tangente an den Graphen der Funktion f im Punkt A''. | Die Gerade ist dann keine Sekante (die einen Graphen ja in zwei Punkten schneiden muss) mehr. Man nennt dies Gerade ''Tangente an den Graphen der Funktion f im Punkt A''. Die Steigung der Tangenten gibt die Steigung des Graphen der Funktion im Berührpunkt an. | ||
''Weitere Erläuterung des Begriffs Tangente.'' | ''Weitere Erläuterung des Begriffs Tangente.'' | ||
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* Die Steigung ist (ungefähr) 3. | * Die Steigung ist (ungefähr) 3. | ||
* Die Steigung ist (ungefähr) 2,5. | * Die Steigung ist (ungefähr) 2,5. | ||
* | * Die Steigung ist (ungefähr) 2. | ||
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{{Aufgaben-M|4| | {{Aufgaben-M|4| | ||
Wir betrachten witerhin die Funktion f mit <math>f(x)=x^2</math>. | |||
* Bestimmen Sie rechnerisch für die Werte <math>x_0=1</math> und <math>x_1=1</math> mit Hilfe der obigen Formel die Steigung der Sekante durch die Punkte A(1;f(1)) und B(2;f(2)). Vergleichen Sie mit dem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe. | * Bestimmen Sie rechnerisch für die Werte <math>x_0=1</math> und <math>x_1=1</math> mit Hilfe der obigen Formel die Steigung der Sekante durch die Punkte A(1;f(1)) und B(2;f(2)). Vergleichen Sie mit dem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe. | ||
* Näheren Sie nun die Steigung der Tangenten im Punkt A(1;1) an den Graphen besser an, indem Sie für x<sub>1</sub> einen Wert wählen, der näher an x<sub>0</sub> liegt. Vergleichen Sie mit Ihrem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe. | * Näheren Sie nun die Steigung der Tangenten im Punkt A(1;1) an den Graphen besser an, indem Sie für x<sub>1</sub> einen Wert wählen, der näher an x<sub>0</sub> liegt. Vergleichen Sie mit Ihrem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe. | ||
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}} | }} | ||
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{{Aufgaben-M|6| | {{Aufgaben-M|6| | ||
Gegeben ist wieder die Funktion f mit <math> f(x)=x^2</math>. | |||
Berechnen Sie für <math>h = 0,1</math> (<math>h= 0,01</math> und <math>h = 0,001</math>) die Steigung der Sekanten für <math>x_0= 1</math> und <math>x_1= 1+h </math>. (Verwenden Sie die Tabellenfunktion Ihres Taschenrechners; Schreiben Sie dazu <math>h= | Berechnen Sie für <math>h = 0,1</math> (<math>h= 0,01</math> und <math>h = 0,001</math>) die Steigung der Sekanten für <math>x_0= 1</math> und <math>x_1= 1+h </math>. (Verwenden Sie die Tabellenfunktion Ihres Taschenrechners; Schreiben Sie dazu <math>h=0,1^n}</math> mit n gleich 0, 1, 2, 3,...) | ||
''Wer das Thema Folgen hatte, kann hier in seiner Variante des Lernpfads ändern.'' | ''Wer das Thema Folgen hatte, kann hier in seiner Variante des Lernpfads ändern.'' | ||
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Bestimmen Sie einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an die Parabel im Punkt A(1;1). Vergleichen Sie mit den Ergbnissen der vorherigen Aufgaben. | Bestimmen Sie einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an die Parabel im Punkt A(1;1). Vergleichen Sie mit den Ergbnissen der vorherigen Aufgaben. | ||
}} | }} | ||
:{{Lösung versteckt|1= | |||
Die Sekantensteigung ist <math>m=\frac{(1+h)^2-1^2}{h}=\frac{(1+0,1^n)^2-1}{0,1^n}</math>. | |||
Dies muss für verschiedene n ausgerechnet werden. (Bei der Tabellenfunktion des Taschenrechners muss statt n als Variable x gewählt werden.) | |||
}} | |||
:{| class="wikitable" | |||
!'''n''' !! '''h''' !!'''x<sub>1</sub>''' !!'''Sekantensteigung m''' | |||
|- | |||
| 0 || 1|| 2 || 3 | |||
|- | |||
| 1 || 0,1 || 1,1 || 2,1 | |||
|- | |||
| 2 || 0,01 || 1,01 || 2,01 | |||
|- | |||
| 3 || 0,001 || 1,001 || 2,001 | |||
|- | |||
| 4 || 0,0001 || 1,0001 || 2,0001 | |||
|- | |||
| 5 || 0,00001 || 1,00001 || 2,00001 | |||
|} | |||
{{Aufgaben-M|7| | {{Aufgaben-M|7| |
Version vom 29. Oktober 2013, 10:38 Uhr
Achtung: Baustelle: Lernpfad zur Einführung in die Differentialrechnung
Einstiegsaufgaben
Blumenvase
In eine Vase wird gleichmäßig Wasser eingefüllt. Die Höhe des Wasserstandes in Abhängigkeit von der Zeit kann mit folgender Funktion beschrieben werden:
Mit welcher Geschwindigkeit nimmt die Wasserhöhe zum Zeitpunkt t=12 Sekunden zu?
Barringer-Krater
In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater.
Der Krater hat einen Durchmesser von etwa 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An der flachsten Stelle kann der Kraterrand durch die folgende Funktion beschrieben werden: für
Hier kommt noch ein Koordinatensystem mit der Funktion hin
Im Krater befindet sich ein Fahrzeug, das eine Steigung von bus zu 100% bewältigen kann. Kann das Fahrzeug den Kraterrand erreichen und aus dem Krater herausfahren?
Durchschnittliche Änderungsrate
Blumenvase
Beantworte die Fragen, indem du die Schieberegler für t und t1 entsprechend einstellst:
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 14 Sekunden?
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 13 Sekunden?
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 12,5 Sekunden?
...
Sekantensteigung
Barringer-Krater
Die durchschnittliche Steigung des Kraters zwischen den Punkten A(x0|f(x0)) und B(x1|f(x1)) kann mit berechnet werden. Dies enspricht der Steigung der Geraden, die durch die Punkte A und B geht. Eine soche Gerade, die den Graphen einer Funktion in zwei Punkten scheidet, nennt man Sekante. ist dann die Sekantensteigung.
In der Graphik der Lösung der vorherigen Aufgabe kann man den Punkt B bewegen, indem man mit der Maus auf ihn zeigt und bei gedrückter linker Maustaste die Maus bewegt.
Die beiden Schnittpunkte der Sekante nähern sich immer mehr einander an. Wenn der Punkt B mit dem Punkt A zusammenfällt, gibt es nur noch einen Schnittpunkt der Geraden mit dem Graphen der Funktion.
- Die Steigung ist (ungefähr) 3.
- Die Steigung ist (ungefähr) 2,5.
- Die Steigung ist (ungefähr) 2.
- Die Steigung ist .
- Wählt man , so ergibt sich .
- Wenn man x1 sehr dicht an 1 wählt, ist die Näherung recht genau.
Anstatt x1 immer mehr x0 anzunähern, kann man auch die Differenz klein werden lassen. Es ist dann .
Die Sekantensteigung ist .
Dies muss für verschiedene n ausgerechnet werden. (Bei der Tabellenfunktion des Taschenrechners muss statt n als Variable x gewählt werden.)
n h x1 Sekantensteigung m 0 1 2 3 1 0,1 1,1 2,1 2 0,01 1,01 2,01 3 0,001 1,001 2,001 4 0,0001 1,0001 2,0001 5 0,00001 1,00001 2,00001
Differenzenquotient
Reflexionsaufgabe: Gemeisamkeiten herausarbeiten als Vorbereitung der Plenumsphase
Plenumsphase? Möglicher Inhalt: Verbindung zwischen durchschnittlicher Änderungsrate, Sekantenssteigung und Differenzenquotient (allgemeine Beschreibung für die beiden Konzepte) herstellen.
Differentialquotient
Der Differentialquotient f'(x0 )
- beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x0 und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x0 und x1 den Wert x1 immer mehr dem Wert x0 annnährt,
- beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x0|f(x0)) und entsteht, wenn man in Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x0|f(x0)) und B(x1|f(x1)) den Punkt B(x1|f(x1)) immer mehr dem Punkt A(x0|f(x0)) annähert.
Vorlage:ProtokollierenSchreiben Sie die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer Skizze in Ihr Heft.
Andere Schreibweise:
Statt den Wert x1 immer mehr dem Wert x0 anzunähern, können wir auch die Differenz der beiden Werte immer kleiner werden lassen.
Dies nennt man die h-Schreibweise des Differentialquotienten.
Vorlage:Untersuchen Vergleichen Sie die beiden Applets und untersuchen Sie die Veränderungen.
Ableitungsfunktion
Ableitungsfunktion Applet als Link übernehmen?Passt doch eigentlich so.
Kontext plus Übung
Diagnoseinstrument