Einführung in die Differentialrechnung

Achtung: Baustelle: Lernpfad zur Einführung in die Differentialrechnung

Einstiegsaufgaben

Beispiel 1 - Blumenvase

In eine Vase wird gleichmäßig Wasser eingefüllt. Die Höhe des Wasserstandes in Abhängigkeit von der Zeit kann mit folgender Funktion beschrieben werden: $h(t)=0,001(t+8)^3$

Mit welcher Geschwindigkeit nimmt die Wasserhöhe zum Zeitpunkt t=12 Sekunden zu?

Beispiel 2 - Barringer-Krater

In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater.

Der Krater hat einen Durchmesser von etwa 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An der flachsten Stelle kann der Kraterrand durch die folgende Funktion beschrieben werden: $f(x)=0,002x^2$ für $0<=x<=300$

Hier kommt noch ein Koordinatensystem mit der Funktion hin

Im Krater befindet sich ein Fahrzeug, das eine Steigung von bus zu 100% bewältigen kann. Kann das Fahrzeug den Kraterrand erreichen und aus dem Krater herausfahren?

durchschnittliche Änderungsrate

Beispiel 1 - Blumenvase

Beantworte die Fragen, indem du die Schieberegler für t und t1 entsprechend einstellst:
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 14 Sekunden?
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 13 Sekunden?
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 12,5 Sekunden?
...

Beispiel 2 - Barringer-Krater

Differenzenquotient im Kontext

Ich schreibe in den nächsten Tagen an diesem Abschnitt noch weiter (Roland)

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion zwischen zwei Werte $x_0$ und $x_1$ wird mit dem Differenzenquotienten

$\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$

berechnet. Dies entspricht der Steigung der Geraden durch die Punkte $A(x_0,f(x_0))$ und $B(x_1,f(x_1))$ des Graphen der Funktion.

Verändere im Applet die Punkte A und B und ...

Berechne ..., indem du die Funktionswerte mit Hilfe der Funktionsvorschrift berechnest.

Vorlage: Differenzenquotient

Übungen? Übung

Sekantensteigung

Beispiel 2 - Barringer-Krater

Differenzenquotient im Kontext

Ich schreibe in den nächsten Tagen an diesem Abschnitt noch weiter (Roland)

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion zwischen zwei Werte $x_0$ und $x_1$ wird mit dem Differenzenquotienten

$\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$

berechnet. Dies entspricht der Steigung der Geraden durch die Punkte $A(x_0,f(x_0))$ und $B(x_1,f(x_1))$ des Graphen der Funktion.

Verändere im Applet die Punkte A und B und ...

Berechne ..., indem du die Funktionswerte mit Hilfe der Funktionsvorschrift berechnest.

Vorlage: Differenzenquotient

Übungen? Übung

Sekante

Übung? Übung Sekante

Differentialquotient

Vorlage: Differentialquotient

Anwendung im Kontext, Bezug zur Tangentensteigung, Übung

Übung1

Übung 2

Ableitungsfunktion

Ableitungsfunktion

Kontext plus Übung