Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Ziegen

Das „Ziegenproblem“

Aufgabe

Ist es vorteilhaft für den Kandidaten zu wechseln? Löse die Aufgabe mit einem Baumdiagramm!

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• Oder hast du das „Ziegenproblem“ noch nicht so richtig verstanden?

Dann öffne folgende Seite mit einer anschaulichen Beschreibung in einem neuen Fenster. Betrachte aber noch nicht die Lösung!

Vorlage:Rechtsklick Fenster Ziegenproblem anschaulich erklärt

• Hast du dir schon überlegt, ob sich die Wahrscheinlichkeit beim Wechseln ändert und möchtest deine Hypothese überprüfen?

Oder möchtest du einfach die Quiz-Show nachspielen?

Dann öffne das Java-Applet und spiele das „Ziegenproblem“ nach! Die Türen öffnen sich durch anklicken. „Reset Doors“ schließt die Türen wieder.

Versuche dich an zwei Strategien: Behalte deine ausgewählte Tür oder wechsle die Tür jedes mal.

Vorlage:Rechtsklick FensterZiegenproblem, nur mit Schweinchen

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→ Versuche dich nun selbst an der Lösung des „Ziegenproblems“!

Brauchst du ein wenig Unterstützung, so bearbeite die folgenden Aufgaben Schritt für Schritt.

Vorlage:Aufgaben-M

Das Auto steht hinter jeder Tür mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{3}\ .$

Vorlage:Aufgaben-M

Der Kandidat wählt sofort die Tür mit dem Hauptgewinn mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{3}\ .$

Vorlage:Aufgaben-M

Lösungshilfe: Vorlage:Versteckt

Lese die Wahrscheinlichkeiten im Baudiagramm ab:

Vorlage:Aufgaben-M

Lösungshinweis: Vorlage:Versteckt

• Addiere die Wahrscheinlichkeiten der Pfade, bei denen der Kandidat gewinnt, wenn er prinzipiell die Tür wechselt. So erhälst du die Gewinnwahrscheinlichkeit „mit Wechsel“:

$\Rightarrow \quad p(\mathrm{Gewinn\ mit\ Wechsel})=6 \cdot \frac{1}{9}=\frac{2}{3}$

• Betrachten wir nun noch die Gegenwahrscheinlichkeit: die Gewinnwahrscheinlichkeit „ohne Wechsel“. Der Kandidat gewinnt in diesem Fall nur, wenn er sofort die richtige Tür wählt:

$\Rightarrow \quad p(\mathrm{Gewinn\ ohne\ Wechsel})=3 \cdot \frac{1}{9}=\frac{1}{3}$

• Fazit: Wenn man die Türe wechselt, so verdoppelt sich die Gewinnwahrscheinlichkeit von   $\frac{1}{3}$  auf  $\frac{2}{3}$  . Es ist also vorteilhaft, die Tür noch einmal zu wechseln.

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Für Interessierte:

Interessiert dich das Ziegenproblem genauer, oder leuchtet dir die Lösung noch nicht ein?

• Öffne noch einmal das Ziegenproblem mit den Schweinchen. Du kannst die Anzahl der Türen erhöhen: Schiebe den Regler „Number of doors“ weiter nach rechts. Hast du eine Tür gewählt, öffnet der Moderator alle anderen Türen, bis auf die mit dem Hauptgewinn.

Würdest du jetzt wechseln???

Vorlage:Rechtsklick Fenster Ziegenproblem, nur mit Schweinchen

• Du kannst jetzt auch unter dieser Seite die Erklärungen lesen.

Vorlage:Rechtsklick Fenster Ziegenproblem anschaulich erklärt

• Unter dem Wikipedia-Link kannst du dich noch genauer über die Hintergründe des Ziegenproblems informieren:

Vorlage:Rechtsklick Fenster Das Ziegenproblem

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Du hast den Lernpfad nun erfolgreich bewältigt. Vielen Dank fürs Mitmachen!

→ zurück zur Übersicht!

Siehe auch

• Materialien aus Mathematik-Seminaren/SII/Das Ziegenproblem - bedingte Wahrscheinlichkeiten