Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Vorwissen

Zufallsexperiment

Aufgabe 1.1

Weißt du noch, was genau ein Zufallsexperiment ist? Schreibe es auf!

Versuche dich zu erinnern und schreibe eine möglichst genaue Beschreibung des Begriffs "Zufallsexperiment" auf. Informiere dich wenn nötig in deinen Unterlagen aus der Schule oder recherchiere im Internet danach.

Aufgabe 1.2

Welche der folgenden Beispiele sind Zufallsexperimente? <br!> Kreuze die richtigen Antworten an und klicke anschließend auf „prüfen!“

(Ziehung der Lottozahlen) (Schere, Stein, Papier) (!Wettervorhersage) (!Elfmeterschießen im WM-Finale) (dreimaliges Werfen eines Würfels) (ein Marmeladenbrot fällt vom Tisch) (!Benotung deiner Klassenarbeit) (Werfen einer Münze) (Werfen eines gezinkten Würfels) (!Geschwindigkeitsmessung der Polizei) (!physikalisches Experiment)

Hinweis: Du kannst das Multiplechoice-Quiz nochmal versuchen, indem du nach Aufgabe 1.5 die Buttons „Korrektur“ und „Neustart“ anklickst!

Aufgabe 1.3

Anna wirft mit ihrem Banknachbar Fritz eine Münze, um zu entscheiden wer morgen das Mathebuch in die Schule mitbringen muss. <br!> Lege für die beiden die oben angesprochenen Versuchsbedingungen vor dem Zufallsexperiment „Münzwurf“ fest.

Durch Markieren der grauen Fläche wird ein Lösungsvorschlag sichtbar: Es wird festgelegt, dass die Münze auf den gebeugten Zeigefinger gelegt und mit dem Daumen in die Luft geschnipst werden soll. Die Münze wird gefangen und auf den Handrücken gelegt. Die Seite gewinnt, welche nach der Landung oben liegt.

Ergebnis und Ereignis

Zur korrekten mathematischen Beschreibung von Zufallsexperimenten benötigt man eine formale Sprache.

In der folgenden Aufgabe, kannst du am Beispiel des Würfelwurfs kontrollieren, ob du die richtige Schreibweise beherrschst.

Aufgabe 1.4

Orden die Begriffe, Schreibweisen und Beispiele richtig zu! <br!> Ziehe dazu die grünen Kästchen in die richtige Zeile.

Fallen dir noch mehr Beipiele ein?

(Sollte dieses Quiz auf deinem Computer nicht funktionieren, musst du unter deinen ZUM-Wiki Einstellungen PNG statt HTML als Anzeigeformat von TeX-Umgebungen einstellen!)

$\omega_i$	Ergebnis	6
$E$	Ereignis	$\left\{2,4,6\right\}$
Elementarereignis	$\left\{6\right\}$	$\left\{\omega\right\}$
$\Omega$	Ergebnismenge	$\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$
Gegenereignis	$\overline{E}$
unmögliches Ereignis	$\emptyset$
Mächtigkeit des Ergebnisraums	$\left| \Omega \right|$

Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt

Aufgabe 1.5

Bestimme für die folgenden vier Zufallsexperimente eine geeignete Ergebnismenge $\Omega$.

Kreuze zur Überprüfung jeweils dessen Mächtigkeit $n=|\Omega|$ an.

1 Eine Münze und ein Würfel werden gleichzeitig geworfen.

	8
	12
	36

2 Es wird dreimal gewürfelt.

	18
	56
	216

3 Drei Münzen und zwei Würfel werden geworfen.

	72
	216
	288

4 Aus einer Urne, die jeweils fünf blaue, rote und grüne Kugeln enthält, werden nacheinander drei Kugeln gezogen.

	9
	27
	72

Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt

Aufgabe 1.6

a) Notiere dir für folgende Ergebnismengen alle Ereignisse. Wie viele sind es jeweils? Kannst du ein Gesetz erkennen?

$\quad \Omega_1=\left\{1\right\},\qquad \Omega_2=\left\{1,2\right\},\qquad \Omega_3=\left\{1,2,3\right\},\qquad \Omega_4=\left\{1,2,3,4\right\}$

b) Wie viele Ereignisse gibt es bei dem Zufallsexperiment „Werfen von drei Münzen“?

Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt

Lösung:

a) Das vermutete Gesetz lautet:

b) $\left|\Omega\right|=8 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{Es\ gibt\ } 2^8=256\ \mathrm{Ereignisse\ .}$

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) war ein Physiker und Mathematiker, unter anderem auch am Hofe Napoleons. <br!> Er beschäftigte sich mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung, vor allem in Verbindung mit dem Glücksspiel.

Aufgabe 1.7

Schreibe auf, was man unter den Begriffen Laplace-Experiment, Laplace-Würfel und Laplace-Wahrscheinlichkeit versteht!

„Racing Game with One Die“ (Rennspiel mit einem Würfel)

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Hast du Lust auf eine kurzes Laplace-Experiment zu zweit, oder gegen den Computer?

Vorlage:Rechtsklick FensterRacing Game with One Die ist ein Autorennspiel auf einer englischsprachigen Internetseite (dazu muss Java installiert sein).

Mit Hilfe des einfachen Würfelwurfs wird entschieden, welches Auto nach vorne fahren darf.

Anleitung:

• Öffne den Link in einem neuen Fenster.
• Entscheidet euch im mittleren Kasten, wer von euch das rote oder das blaue Auto „fährt“.
• Klickt nun im oberen Kasten so oft auf den Buton „Roll Die“, bis ein Auto über die Ziellinie fährt!
  Es ist voreingestellt, dass rot bei ungerader Augenzahl fährt („Red moves on“) und blau bei gerader Augenzahl weiterkommt.
• Wenn ihr auf den Button „Restart“ klickt, kann es von vorne los gehen.
• Verändere die Einstellungen nach deinen Wünschen:
  • Mit dem Schieberegler „Race segments“ stellt ihr die Länge der Rennbahn, also die Anzahl der Spiele ein.
  • Jetzt müsst ihr noch untereinander aushandeln, bei welchen Augenzahlen euer Auto fahren darf.
  • Im unteren Kasten könnt ihr viele Rennen auf einmal durchführen lassen.

Auf die Plätze, fertig, los!

Aufgabe 1.8

Anna würfelt mit zwei unterscheidbaren Würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie einen Pasch würfelt?

Lösungshilfe: Vorlage:Versteckt

Man kann aus der Tabelle prima die Ergebnismenge und das Ereignis „Pasch“ ablesen:

Man sagt dazu „36-Feldertafel“, auf Grund der Mächtigkeit der Ergebnismenge.

$\Omega=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),...,(6,5),(6,6)\}, \quad \left| \Omega \right| = 6^2 = 36$

$E_{Pasch} = \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}, \quad \left| E_{Pasch} \right| = 6$

$\Rightarrow \quad p(E_{Pasch}) = \frac{6}{36} =\frac{1}{6}\ .$

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Vorlage:Kasten Mathematik