Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Vorwissen

Zufallsexperiment

Versuche dich zu erinnern und schreibe eine möglichst genaue Beschreibung des Begriffs "Zufallsexperiment" auf. Informiere dich wenn nötig in deinen Unterlagen aus der Schule oder recherchiere im Internet danach.

Hier kannst du du deine Überlegungen anhand einer sehr guten Beschreibung überprüfen: Vorlage:Versteckt

Vorlage:Aufgaben-M

(Ziehung der Lottozahlen) (Schere, Stein, Papier) (!Wettervorhersage) (!Elfmeterschießen im WM-Finale) (dreimaliges Werfen eines Würfels) (ein Marmeladenbrot fällt vom Tisch) (!Benotung deiner Klassenarbeit) (Werfen einer Münze) (Werfen eines gezinkten Würfels) (!Geschwindigkeitsmessung der Polizei) (!physikalisches Experiment)

Vorlage:Aufgaben-M

Durch Markieren der grauen Fläche wird ein Lösungsvorschlag sichtbar: Es wird festgelegt, dass die Münze auf den gebeugten Zeigefinger gelegt und mit dem Daumen in die Luft geschnipst werden soll. Die Münze wird gefangen und auf den Handrücken gelegt. Die Seite gewinnt, welche nach der Landung oben liegt.

Ergebnis und Ereignis

an Standardbeispielen die Grundlagen wiederholen

• Baumdiagramm (mehrstufig, Vereinfachung)
• Zählprinzip (Produktregel)
• Begriffe und Schreibweisen (Ereignis, Ergebnis, Ergebnisraum, Gegenereignis)-->

Zur mathematischen Beschreibung von Zufallsexperimenten benötigt man eine formale Sprache. In der folgenden Aufgabe, kannst du am Beispiel des Würfelwurfs kontrollieren, ob du die richtige Schreibweise beherrschst.

Ergebnis	$\omega_i$	$6$
Ereignis	$E$	$\left\{2,4,6\right\}$
Elementarereignis	$\left\{6\right\}$	$\left\{\omega\right\}$
Ergebnismenge	$\Omega$	$\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$
Gegenereignis	$\overline{E}$
unmögliches Ereignis	$\emptyset$
Mächtigkeit des Ergebnisraums	$\left| \Omega \right|$

Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt

1 Eine Münze und ein Würfel werden gleichzeitig geworfen.

	8
	12
	36

2 Es wird dreimal gewürfelt.

	18
	56
	216

3 Drei Münzen und zwei Würfel werden geworfen.

	18
	54
	72
	288

4 Aus einer Urne, die jeweils fünf blaue, rote und grüne Kugeln enthält, werden nacheinander drei Kugeln gezogen.

	9
	27
	72

Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt

Vorlage:Aufgaben-M

Lösungshinweise: Vorlage:Versteckt

Laplace-Wahrscheinlichkeit

→ Hast du Lust auf eine kleines Spiel zu zweit, oder gegen den Computer?

„Racing Game with One Dice“ ist ein englischsprachiges Autorennspiel mit Hilfe des einfachen Würfelwurfs. Die Augenzahl entscheidet, welches Auto nach vorne fahren darf.

• Öffne den Link in einem neuen Fenster.
• Entscheidet euch, wer das rote oder das blaue Auto „fährt“.
• Klickt nun so oft auf „Roll Dice“, bis ein Auto über die Ziellinie fährt! <br!> Es ist eingestellt, dass rot bei ungerader Augenzahl fährt („Red moves on“) und blau bei gerader Augenzahl weiterkommt.
• Wenn ihr auf „Restart“ klickt, kann es von vorne los gehen. <br!> Beim nächsten Rennen könnt ihr die „Versuchsbedingungen“ nach euren Wünschen verändern:
  • Mit dem Schieberegler „Race segments“ stellt ihr die Länge der Rennbahn ein.
  • Jetzt müsst ihr noch untereinander aushandeln, bei welchen Augenzahlen euer Auto fahren darf.
  • Im unteren Fenster könnt ihr viele Rennen auf einmal durchführen lassen.

Los geht's!

Vorlage:Rechtsklick Fenster Racing Game with One Dice

Aufgabe

Um welche Art von Zufallsexperiment handelt es sich in dem Spiel?

Das Zufallsexperiment, welches der Coumputer mehrmals ausführt, ist ein Vorlage:Hintergrund gelb, weil beim Würfelwurf jedes Ergebnis gleichwahrscheinlich ist.

Das weißt du schon: Die Laplace- Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis E eintritt, ist die Anzahl der für E günstigen Ergbnisse geteilt durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse $p(E)=\frac{\left| E \right|}{\left| \Omega \right|}$

Wenn wir ab jetzt von einem Würfel oder Spielwürfel sprechen, meinen wir in der Regel einen Vorlage:Hintergrund gelb. Dieser hat sechs Seiten und ist symmetrisch. Das bedeutet, dass jede Augenzahl mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$ gewürfelt wird. Man sagt, der Würfel ist fair.

Beachte: In der Realität gibt es eigentlich keinen Laplace-Würfel! Warum?

Vorlage:Aufgaben-M

$\Omega=\{(1,1),(1,2),(1,3),...,(6,5),(6,6)\}, \quad \left| \Omega \right| = 6 \cdot 6 = 36$

$E_{Pasch} = \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}, \quad \left| E_{Pasch} \right| = 6$

$\Rightarrow \quad p(E_{Pasch}) = \frac{6}{36} =\frac{1}{6}$.

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→ Weiter zum „Drei-Würfel-Problem“!