Benutzer:KiaraundSarah/Geradewegs zum Erfolg - Dein Lernpfad zu linearen Funktionen/Gerade aus Punkten

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Zur Orientierung

• Zu Beginn eines jeden Kapitels kannst du noch einmal die Grundlagen wiederholen, die du zur Bearbeitung der darauffolgenden Übungsaufgaben im 👟 Training beherrschen solltest.
  Lies sie dir durch, bevor du mit der Bearbeitung der Aufgaben startest, oder wenn du bemerkst, dass du während der Bearbeitung Schwierigkeiten hast.
• Zu den Aufgaben, die sich in einer gelben Box befinden:
  • Klickst du auf die 💡 oben links in der Ecke, wird die ein Hinweis angezeigt, der dir helfen kann, die Aufgabe zu lösen.
  • Oben rechts in der Ecke findest du ein Symbol (vier rote Pfeile zeigen in die Ecken eines Kastens), welches dir ermöglicht, die Aufgabe in Vollbildmodus zu bearbeiten.
  • Hast du die Aufgabe bearbeitet und möchtest wissen, ob deine Ergebnisse richtig sind, klicke auf den ☑️ unten rechts in der Ecke. Achtung! Manchmal verstecken sich hinter einer Aufgabe, mehrere Teilaufgaben. Um sie zu sehen, klicke auf den ➡️, der erscheint, nachdem du eine Aufgabe korrekt bearbeitet hast.
• Bei den anderen Aufgaben...
  • ... kannst du die Hinweise (sofern vorhanden) und Lösungen anschauen, indem du auf „💡 Hinweis anzeigen“ bzw. „Lösung anzeigen“ klickst. Der Button befindet sich unter der jeweiligen Aufgabenstellung.
  • ... solltest du Stift und Papier zur Hand haben, um deine Ergebnisse zu notieren und dich selbst überprüfen zu können. Es bietet sich an, direkt in dein Heft zu schreiben oder dir für diesen Lernpfad ein separates Heft anzulegen.

In diesem Kapitel befasst du dich noch einmal genauer mit dem Zusammenhang zwischen Punkten und und Geraden.

📌 Gerade aus Punkten

Zuerst muss die Steigung m berechnet werden. Die Formel hierfür ist dir bereits bekannt:
m = $\frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}$. Setze die Koordinaten zweier dir bekannter Punkte (x₁; y₁) und (x₂; y₂) in die Formel ein. So erhälst du dein m. Danach setzt du m sowie einen der beiden Punkte in die Gleichung y=mx+b ein. Dann kannst du die Gleichung nach b umstellen und somit erhälst du dein b. Nun schreibst du ein letztes Mal die Gleichung auf, bei der nun für m und b Zahlen stehen. So hast du die gesuchte Geradengleichung aufgestellt.

Punktprobe

Um rechnerisch festzustellen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, benötigst du zusätzlich zu dem Punkt, den du untersuchen willst, die Funktionsgleichung der Geraden. In die Funktionsgleichung setzt du den Punkt ein und rechnest die rechte Seite der Gleichung aus. Nun musst zu dieses Ergebnis mit der linken Seite der Gleichung, also dem y-Wert des Punktes vergleichen. Stimmen beide Werte überein, liegt der Punkt auf der Geraden. Das bezeichnet man als eine wahre Aussage.

Beispiel: Liegt der Punkt A(1;5) auf der Geraden mit der Funktionsgleichung f(x) = 4x + 1?

1. Punkt einsetzen: 5 = 4 • 1 + 1
2. rechte Seite ausrechnen: 5 = 5
3. Vergleichen: Die Werte auf der linken und der rechten Seite der Gleichung stimmen überein. Es handelt sich also um eine wahre Aussage. Daher liegt der Punkt A auf der Geraden.

Stimmen die beiden Werte nicht überein, liegt der Punkt nicht auf der Geraden und man sagt, dass es sich um eine falsch Aussage handelt.

👟 Training

Aufgabe 1

a) Berechne die Funktionsgleichung der Geraden durch die Punkte A(2|3) und B(6|11).

Um die Funktionsgleichung aufzustellen, brauchst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Beginne mit der Berechnung der Steigung.

Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 2x - 1.

b) Berechne die Funktionsgleichung der Geraden durch die Punkte A(1|5) und B(5|1).

Um die Funktionsgleichung aufzustellen, brauchst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Beginne mit der Berechnung der Steigung.
Achtung: Die Steigung ist negativ.

Die Funktionsgleichung lautet f(x) = -x + 6.

c) Berechne die Funktionsgleichung der Geraden durch die Punkte A(−1|2) und B(3|10).

Um die Funktionsgleichung aufzustellen, brauchst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Beginne mit der Berechnung der Steigung.

Trage die Punkte bei GeoGebra ein und überprüfe damit dein Ergebnis.

Aufgabe 2

a) Gegeben ist die Gerade f(x) = 2x + 1. Untersuche rechnerisch, ob der Punkt P(3|7) auf der Geraden liegt.

Setze den Punkt in die Funktionsgleichung ein. Erhältst du eine wahre Aussage?

7 = 2 • 3 + 1 = 7
Dies ist eine wahre Aussage. Der Punkt P liegt also auf der Geraden.

b) Gegeben ist die Gerade g(x) = −x + 4. Liegt der Punkt Q(4|−1) auf dieser Geraden? Begründe rechnerisch.

Setze den Punkt in die Funktionsgleichung ein. Erhältst du eine wahre Aussage?

-1 = -4 + 4 = 0
Dies ist eine falsche Aussage. Der Punkt Q liegt also nicht auf der Geraden.

c) Gegeben ist die Gerade h(x) = 0,5x − 2. Liegt der Punkt R(8|2) auf der Geraden? Begründe zeichnerisch.

Trage die Gerade und den Punkt in ein Koordinatensystem ein. Liegt der Punkt auf der Geraden?

Der Punkt R liegt nicht auf der Geraden.

d) Gib einen Punkt S an, der auf der Geraden h(x) = 0,5x − 2 liegt.

Trage deinen gewählten Punkt in dieser GeoGebra-Datei ein und überprüfe so, ob er auf der Geraden liegt.

Aufgabe 3

a) Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden durch A(1|2) und B(4|8). Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt C(5|10) auf dieser Geraden liegt.

Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 2x. Der Punkt C liegt auf der Geraden, denn 10 = 2 • 5 = 10 ist eine wahre Aussage.

b) Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden durch A(−2|3) und B(2|−1). Liegt der Punkt C(0|1) auf dieser Geraden? Begründe zeichnerisch.

Die Funktionsgleichung lautet f(x) = -x - 1.

Der Punkt C liegt auf der Geraden.

Aufgabe 4

Welche der folgenden Punktpaare ergeben dieselbe Gerade? Stelle zuerst Vermutungen an und überprüfe sie dann, indem du die Geraden in ein Koordinatensystem in dein Heft zeichnest.

a) A(0|0) und B(2|2), b) C(1|1) und D(3|3), c) E(0|1) und F(2|3).

📌 Darstellungswechsel

🤔 Weitere Übungen