Benutzer:Ozan/ Lineare Funktionen Klausurvorbereitung

Einleitung

Dieser Lernpfad soll dich in den kommenden vier Unterrichtsstunden auf die Klausur am 22.02.2025 vorbereiten. Jedes Kapitel bereitet dich auf ein anderes Thema für die Klausur vor und kann auch gerne zur Klausurvorbereitung zu Hause genutzt werden.

Das bedeutet, ihr müsst nicht alle Aufgaben im Unterricht schaffen, denn der Lernpfad ist so aufgebaut, dass die restlichen Aufgaben zur freiwilligen Vorbereitung zu Hause genutzt werden können!

Ohne Tadchnrechner - Bruchrechnung

Die Lösungen befinden sich immer am Ende der Aufgabe und dienen zur Kontrolle. Teilweise findest du aber auch Hinweise und kleine Tipps zur Bearbeitung einzelner Aufgaben.

In diesem Lernpfad begegnest du verschiedenen Aufgabentypen:

⭐️ Grundlegende Aufgaben zum Üben und Wiederholen. Die sollten sicher klappen.

⭐️⭐️ Etwas anspruchsvollere Aufgaben, durch die du dein Wissen anwenden kannst.

⭐️⭐️⭐️ Anspruchsvolle Aufgaben für Fortgeschrittene, die dich besonders herausfordern.

👉 Tipp: Beginne mit den ⭐-Aufgaben, wenn du dir unsicher bist. Dann kannst du dich Schritt für Schritt an die schwierigeren Aufgaben herantasten.

Wenn du dich sicher fühlst, kannst du direkt zu den ⭐⭐ oder ⭐⭐ ⭐-Aufgaben gehen.

Wichtig ist, du musst nicht alle Aufgaben bearbeiten!

Ich wünsche dir viel Erfolg bei der Bearbeitung, du schaffst das!!!

Und wenn du eine Frage hast, kannst du gerne zum Lehrertisch kommen, denn ChatGPT weiß auch nicht alles oder kann dir nicht immer helfen 😉

Schaffst du es diesen Berg hochzufahren?

Kapitel 1

Kapitel 1: Darstellung durch Graph und Tabelle

Kompetenzen und Lernziele

Nach Abschluss des digitalen Lernpfad solltest du folgende Kompetenzen und Kenntnisse gefestigt haben, um die Klausur am 22.02.2025 erfolgreich absolvieren zu können:

Kompetenzen:

Lernziele:

Aufbau des Kapitels

Dieses Kapitel ist so aufgebaut, dass dich zunächst einmal eine kleine Einführung zu linearen Funktionen und die verschiedenen Darstellungen erwartet. Anschließend darauf folgen verschiedene Aufgaben, die in unterschiedlichen Schwierigkeitsgraden geordnet sind. Wähle hierbei nach deinem Schwierigkeitslevel.

Für die Bearbeitung des Kapitels solltest du nicht mehr als 45 Minuten einplanen.

Als Tipp: In dem Kapitel befinden sich mehr Aufgaben, als du in dieser Zeit schaffen kannst. Den Rest kannst du gerne als Übung für zu Hause nutzen.

Lineare Funktionen und Darstellungswechsel

Eine lineare Funktion beschreibt einen Zusammenhang (oder auch "eindeutige Zuordnung" genannt), bei dem sich y bei gleichen Schritten in x immer um den gleichen Betrag verändert. Der Graph ist deshalb eine Gerade. Bei nicht-linearen Funktionen ist diese Veränderung nicht konstant (dann ist der Graph z. B. gekrümmt). Die Funktionsvorschrift ist die Rechenregel, mit der du zu jedem x-Wert den passenden y-Wert berechnest.

Lineare Funktionen kann man auf verschiedene Arten darstellen:

verbal (als Beschreibung, z. B. „Der Startwert ist 1 und pro Schritt in x-Richtung erhöht sich der y-Wert um +2“),

tabellarisch (Wertetabelle mit x- und y-Werten),

graphisch (als Gerade im Koordinatensystem)

und als Term (Funktionsgleichung). In der Darstellung als Term schreibt man lineare Funktionen meist als f(x)=mx+b. m ist die Steigung (wie stark y pro x-Schritt steigt oder fällt) und b ist der y-Achsenabschnitt (der Funktionswert bei x=0). Um nicht durcheinander zu kommen, benutzt man bei mehreren Funktionen dann auch weitere Buchstaben anstelle von f

⭐️Aufgabe 1

a) Zeichne Graphen zu den zugehörigen Funktionen in ein Koordinatensystem.

f(x)

x	-1	0	1	2
y	1	0,5	0	-0,5

g(x)

x	-1	0	1	2
y	0	1	2	3

b) Fülle die Wertetabelle mit den Werten aus dem Graphen aus und beschreibe den Verlauf den Funktion.

⭐️⭐️Aufgabe 2

a) Zeichne drei Graphen. Der erste Graph f hat die Funktionsvorschrift "Nimm die Hälfte von x und addiere 1". Der zweite Graph h schneidet die x-Achse bei x=3 und geht durch den Punkt P(2|1). Beim dritten Graph g ist der Funktionswert konstant bei 4.

Schreibe zu allen Graphen den Funktionsterm auf.

bild

b) Zeichne die Graphen der Funktionen j und k. Für welche Werte von x sind die Funktionswerte von k größer als die Funktionswerte von j?

j(x) = 2 x + 2

k(x) = 0,5 x - 1

k(x) ist größer als j(x) für x < -2 .

⭐️⭐️-⭐️⭐️⭐️Aufgabe 3

Ist die Zuordnung linear? Begründe und nenne zu den linearen Zuordnungen die jeweilige Funktionsvorschrift.

a)

x	-1	-0,5	0	0,5	1	3
y	-5	-4	-2	1	5	10

b)

x	-2	-1	0	1	2	3
y	4/3	2/3	0	-2/3	-4/3	-6/3

Nutze die Differenzen zum begründen.

c) y = (-2x-2)-(8x+4) d) y = $4-(x+1)^2$

Lassen sich die Funktionen in der Form y=mx+b schreiben?

a)nein, b) ja, c) ja, d) nein

⭐️⭐️⭐️Aufgabe 4

Suche ein Beispiel für lineares Wachstum. Skizziere die das Beispiel in Form eines Graphen und erstelle zudem noch einen passenden Funktionsterm.

Kompetenzen und Lernziele

Nach Abschluss des digitalen Lernpfad solltest du folgende Kompetenzen und Kenntnisse gefestigt haben, um die Klausur am 22.02.2025 erfolgreich absolvieren zu können:

Kompetenzen:

Lernziele:

Aufbau des Kapitels

Dieses Kapitel ist so aufgebaut, dass dich zunächst einmal eine kleine Einführung zu Verschiebungen und Y-Achsenabschnitte von linearen Funktionen erwartet. Anschließend darauf folgen verschiedene Aufgaben, die in unterschiedlichen Schwierigkeitsgraden geordnet sind. Wähle hierbei nach deinem Schwierigkeitslevel.

Für die Bearbeitung des Kapitels solltest du nicht mehr als 45 Minuten einplanen.

Als Tipp: In dem Kapitel befinden sich mehr Aufgaben, als du in dieser Zeit schaffen kannst. Den Rest kannst du gerne als Übung für zu Hause nutzen.

Was sind Achsenabschnitt und Verschiebung

Der Achsenabschnitt (auch y-Achsenabschnitt oder Startwert) ist der Funktionswert bei x=0, also f(0)=b. Im Graphen ist das der Schnittpunkt mit der y-Achse, in der Tabelle ist es der y-Wert in der Zeile/Spalte zu x=0. In Sachaufgaben bedeutet b oft etwas wie Startwert, Grundgebühr oder Anfangsbestand.

Bei linearen Funktionen der Form y=mx+b sorgt b für eine Verschiebung nach oben oder unten: b verändert die Lage der Geraden, aber nicht ihre Steilheit (die kommt von m). Ein größeres b verschiebt den Graphen nach oben, ein kleineres b nach unten. Haben zwei Geraden die gleiche Steigung m, aber unterschiedliche Achsenabschnitte b, dann sind sie parallel.

Wenn eine lineare Funktion die y-Achse bei f(0)=0 (bzw. y=0) schneidet, und somit durch den Ursprung geht, nennt man sie auch eine proportionale Funktion.

Beim Vergleich mehrerer Geraden gilt: Geraden sind parallel, wenn sie die gleiche Steigung m haben. Die Gerade mit dem größten Startwert (bzw. y-Achsenabschnitt) ist die, deren b am größten ist bzw. die die y-Achse am weitesten oben schneidet.

Aufgaben-Typen

• ⭐️a )b ablesen (aus Graph / Tabelle): „Bestimme den y-Achsenabschnitt.“ (Geogebra Benutzen); b)Graph-Vergleich: „Welche Funktion hat den größten Startwert?“ (Geogebra)
• ⭐️(Zuordnen: Gleichungen ↔ Graphen (mit gleichem m, unterschiedlichem b))
• ⭐️Verschieben: „Verschiebe den Graphen um +3 nach oben / −2 nach unten.“
• ⭐️⭐️Auswirkung beschreiben: „Was passiert mit dem Graphen, wenn b um 4 erhöht wird?“
• ⭐️⭐️⭐️Sachkontext-Startwert: „Grundgebühr 5€ plus … → Was ist der Achsenabschnitt?“

Kapitel 3: Steigungsdreieck Punktprobe Funktionsgleichungen zu Graphen angeben

Kompetenzen und Lernziele

Nach Abschluss des digitalen Lernpfad solltest du folgende Kompetenzen und Kenntnisse gefestigt haben, um die Klausur am 22.02.2025 erfolgreich absolvieren zu können:

Kompetenzen:

Lernziele:

Aufbau des Kapitels

Dieses Kapitel ist so aufgebaut, dass dich zunächst eine kurze Einführung mit einer kleinen Checkliste erwartet, mit der du dein Wissen zu linearen Gleichungen überprüfst. Anschließend folgen mehrere Übungen mit unterschiedlichen Schwierigkeitsgraden.

Für die Bearbeitung des Kapitels solltest du nicht mehr als 45 Minuten benötigen. Den Rest kannst du dann zur Vorbereitung der Klausur für zu Hause nutzen.

Zunächst einmal erwarten dich ein kleiner Lückentext, mit dem du dein Wissen zu den linearen Gleichungen und Steigung überprüfen kannst.

⭐️ Wie berechne ich Steigung einer Grade?

Vielleicht kannst du dich ja doch daran erinnern, was das Steigungsdreieck ist und wie das angewendet wird? Überprüfe dies mit dem einfach Quiz

Wenn du merkst, dass du noch einzelne Fragen zur Anwendung des Steigungsdreiecks hast und dir die Umsetzung noch schwerfällt, schau dir noch einmal das Video zum Steigungsdreieck an und frische deine Kenntnisse auf.

Tipp

Nutze die Aufgabe ab Minute 4:00 zur Überprüfung, ob du Anwendung des Steigungsdreiecks verstanden hast.

⭐️ Aufgabe 1

Zeichne folgenden Geraden in dein Heft:

a) $y= 2x$

b) $y= −x+2$

c) ​$y= \frac{2}{3} x−4$

d) $y= -0,5​x+1$

Überprüfe dein Ergebnis mit GeoGebra.

⭐️ - Hast du noch Probleme? Dann mache Aufgabe e)-h)

e) $y= 4x+3$

f) $y= −2x+3$

g) $y= \frac{1}{4} x−2$

h) $y= 2x+6$

⭐️⭐️ - Lief es gut. Dann mache Aufgabe i)-l)

i) y= $\frac{1}{5}$ x+0,5

j) $y= −(-4)+3$

k) $y= 0,6x−2$

l) $y= 2x+\frac{1}{3}$

⭐️⭐️ Aufgabe 2

Berechne die Funktionen, mit folgenden Punkten. Beim Lösungshinweis 1 stecken Tipps zur Bearbeitung.

a) A(0∣2) und B(2∣6)

b) A(1∣−1) und B(3∣1)

c) A(−2∣3) und B(2∣1)

d) A(−2,5∣5) und B(1∣3)

1. Berechne zuerst die Steigung. 2. Bestimme danach den y-Achsenabschnitt, indem du in die Funktionsgleichung einen Punkt (A oder B) einsetzt. 3. Gib die Funktionsgleichung in der Form y= mx + b

Lief es gut, dann kannst du jetzt zur Aufgabe 3. Möchtest du noch ein wenig üben, dann mach Aufgabe e)-h).

e) A(4∣1) und B(3∣5)

f) A(0∣−1) und B(2∣4)

g) A(−5∣6) und B(7∣4)

h) A(−2∣5) und B(1,5∣6)

⭐️⭐️⭐️ Aufgabe 3

Bestimme rechnerisch, ob der Punkt P (20∣380) unterhalb oder oberhalb des Graphen zu $y=21x-30$ liegt.

a) Zeichne zunächst mit GeoGebra die Punkte und den Graphen in ein Koordinatensystem

b) Belege danach mit einer Rechnung deine Aussage.

⭐️⭐️⭐️ Aufgabe 4

Ein Fallschirmspringer hat 20 Sekunden nach dem Öffnen des Fallschirmes noch ein Höhe von 250 m über den Boden. Er sinkt gleichmäßig in jeder Sekunde um 5m.

a) Berechne, in welcher Höhe der Fallschirm geöffnet wurde?

b) Stelle die Funktionsgleichung für die Funktion Fallzeit bei geöffneten Fallschirm (in s) => Höhe über den Boden (in m) auf. Berechne, wie lange das Absinken bei geöffneten Fallschirms dauert?

Kapitel 4: Nullstellen und Anwendungsaufgaben

Kompetenzen und Lernziele

Nach Abschluss des digitalen Lernpfad solltest du folgende Kompetenzen und Kenntnisse gefestigt haben, um die Klausur am 22.02.2025 erfolgreich absolvieren zu können:

Kompetenzen:

Lernziele:

Aufbau des Kapitels

Dieses Kapitel ist so aufgebaut, dass du dich zunächst noch einmal mit der Nullstelle beschäftigst. Anschließend folgen verschiedene Anwendungsaufgaben, die in unterschiedlichen Schwierigkeitsgraden geordnet sind. Wähle hierbei nach deinem Schwierigkeitslevel.

Für die Bearbeitung des Kapitels solltest du nicht mehr als 45 Minuten einplanen.

Als Tipp: In dem Kapitel befinden sich mehr Aufgaben, als du in dieser Zeit schaffen kannst. Den Rest kannst du gerne als Übung für zu Hause nutzen.

Nullstellens

Teste dein Wissen zu Nullstellen

Wenn du noch Fragen hast oder nicht alle Fragen richtig beantworten kannst, schau dir gerne noch einmal das YouTube Video zu den Nullstellen an.

Aufgaben zu den Nullstellen

⭐️ Aufgabe 1

Lese die Nullstellen der Funktionen f(x) bis f6(x) im Koordinatensystem ab, runde dabei klug und überprüfe deine Antworten anschließend.

⭐️⭐️ Aufgabe 2

Berechne die Nullstellen der folgenden Funktionen:

1. Setze zuerst die Gleichung 0: y=0 2. Löse die Gleichung, indem du den Parameter x bestimmst. 3. x0= Nullstelle

a) $y= 2x+5$

b) $y= -4x+3$

c) $y= 6x+7$

d) $y= 3x+8$

e) $y= {2 \over 3}x -6$

hier steht die Lösung

Wenn das schon gut klappt, kannst du gerne mit Aufgabe 3 weitermachen. Wenn du doch noch einmal üben willst, dann berechne die Nullstelle von f)-i).

f) $y= -5x+6$

g) $y= 2x-9$

h) $y= {5 \over 3}x +2$

i) $y= {7 \over 3}x -8$

hier steht die Lösung

⭐️⭐️⭐️ Aufgabe 3

Leas Konto lässt sich mit der Funktion $f(x)= -20x-200$ beschreiben. Dabei ist x die Anzahl an Wochen.

a) Erkläre in eigen Worten, was die einzelnen Parameter (m,b) der Funktion aussagen. Nutze GeoGebra zu Zeichnung der Funktion und als Hilfestellung. b) Bestimme nach wie viel Wochen ihr Konto leer ist, wenn sie kein Geld mehr dazu bekommt.

hier steht die Lösung

⭐️⭐️⭐️ Aufgabe 4

In einer Whirlpool befinden sich zu Beginn 500 Liter Wasser. Das Wasser muss einmal abgelassen werden, bevor dieser gereinigt werden kann. Pro Minute fließen 25 Liter Wasser ab.

a) Bestimme die Funktion

b) Nach wie viel Minuten ist der Whirlpool leer?

hier steht die Lösung

Anwendungsspezifische Aufgaben

Jetzt kannst du dein Wissen zeigen. Es folgen nun verschiedene Anwendungsaufgaben zu verschiednen Themengebieten, die dich auf die Textaufgaben in der Klausur vorbereiten.

⭐️ Aufgabe 1

hier steht die Lösung

⭐️ Aufgabe 2

hier steht die Lösung

⭐️⭐️ Aufgabe 3

Lea möchte am Montag ins Kino mit ihren Freunden Anna, Marie, Robin und Jonas gehen. Um die besten Plätze zu bekommen, wollen sie die Tickets am Samstag online bestellen.

Das Kino am Marktplatz verlangt für jedes Ticket einen festen Preis von 10 €. Zusätzlich muss eine allgemeinen Servicegebühr von 1,87 € für ein Onlineticket bezahlen.

Das Kino am Rathaus verlangt für jedes Ticket einen festen Preis von 8 €. Zusätzlich muss eine allgemeinen Servicegebühr von 5,,21 € für ein Onlineticket bezahlen.

a) Stelle eine Funktionsgleichung für beide Kinos auf, die den Gesamtpreis für das Ticket y in Abhängigkeit von der Anzahl der Tickets x beschreibt.

b) Berechne, wie viel die Freundesgruppe für die Tickets in beiden Kinos bezahlen muss.

c) Entscheide, in welches Kino die Freundesgruppe gehen soll und begründe deine Antwort.

hier steht die Lösung

⭐️⭐️ Aufgabe 4

hier steht die Lösung

⭐️⭐️⭐️ Aufgabe 5

Ein E-Roller-Anbieter verlangt eine Grundgebühr von 2€ und zusätzlich Kosten pro gefahrenem Kilometer. Überleg dir, wie viel

a) Lege selbst einen sinnvollen Preis pro Kilometer fest und begründe, warum du diesen Wert gewählt hast.

b) Stelle eine Funktion auf, die die Gesamtkosten K in Abhängigkeit von der gefahrenen Strecke x (in km) beschreibt und zeichne diese anschließend mit GeoGebra

c) Erkläre in eigen Worten, was die Steigung und der y-Achsenabschnitt in diesem Modell bedeuten.

d) Berechne die Kosten für drei verschiedene Streckenlängen

1.1 5 km

1.2 17 km

1.3 38 km

e) .Ein Freund behauptet: „Ab 10 km wird der Roller zu teuer.“ Überprüfe die Aussage deines Freund mithilfe der Ergebnisse aus b) bis d) und erkläre deine Entscheidung in eigenen Worten

hier steht die Lösung

⭐️⭐️⭐️ Aufgabe 6

hier steht die Lösung

⭐️⭐️⭐️ Aufgabe 7

hier steht die Lösung