Substitution

Als Substitution bezeichnet man das Ersetzen eines Terms durch einen neuen Term, um Terme zu vereinfachen und Lösungsmethoden zu ermöglichen. Nach einer Substitution sind Terme oder Gleichungen so geformt, dass z. B. die Mitternachtsformel angewendet werden kann.

Als Resubstitution oder Rücksubstitution bezeichnet man das Rückgängigmachen dieses Vorgangs.

Gegeben ist die Gleichung:

$x^4-3x^2+2= 0$

Diese Gleichung lässt sich lösen, indem man $x^2$ durch $z$ ersetzt, also substituiert.

Das $x^4=(z^2)^2$ ist, wird $x^4$ durch Substitution zu $z^2$ ersetzt.

$z^2-3z+2=0$

Diese Gleichung kann nun mithilfe der Mitternachtsformel (oder dem Satz von Vieta) gelöst werden:

$z_1=1;$ $z_2=2$

Um nun die Lösungen der Ursprungsgleichung bestimmen zu können, muss man resubstituieren:

$z= x^2 \Rightarrow x=\pm \sqrt{z}$

und für die Lösungen gilt:

$x_1=\sqrt{1}=1 ;$

$x_2=-\sqrt{1}=-1$

$x_3=\sqrt{2}$

$x_4=-\sqrt{2}$

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