Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/Funktionsgleichung und Funktionsgraph: Unterschied zwischen den Versionen
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Die Gerade fällt <u>flach</u> für '''-1 < m < 0''' und <u>steil</u> für '''m < -1'''. | Die Gerade fällt <u>flach</u> für '''-1 < m < 0''' und <u>steil</u> für '''m < -1'''. | ||
</div>{{Box|Übung 3: Steigende und fallende Geraden|Bearbeite die nachfolgenden Apps um dein Wissen über steigende und fallende Geraden und die Bedeutung von m in der Funktionsgleichung.|Üben | </div>{{Box|Übung 3: Steigende und fallende Geraden|Bearbeite die nachfolgenden Apps um dein Wissen über steigende und fallende Geraden und die Bedeutung von m in der Funktionsgleichung.|Üben}} | ||
}}{{LearningApp | {{LearningApp|app=pcwv0txpt20|width = 100%| height = 400px}} | ||
| app = pcwv0txpt20 | |||
| width = 100% | |||
| height = 400px | |||
}} | |||
{{h5p-zum|id=14434|height=300}}<br /> | {{h5p-zum|id=14434|height=300}}<br /> | ||
{{Box|Übung 4| 2 = Erfinde Aufgaben für deinen Sitznachbarn in der Art:<br> | {{Box|Übung 4| 2 = Erfinde Aufgaben für deinen Sitznachbarn in der Art:<br> | ||
"Nenne mir eine proportionale Funktion, deren Graph <span style="color:green">flach</span> <span style="color:red">fällt</span>." Lösung z.B. f(x) = <span style="color:red">'''-'''</span>[[Datei:Einhalb grün.png|rahmenlos|30x30px]]x. | "Nenne mir eine proportionale Funktion, deren Graph <span style="color:green">flach</span> <span style="color:red">fällt</span>." Lösung z.B. f(x) = <span style="color:red">'''-'''</span>[[Datei:Einhalb grün.png|rahmenlos|30x30px]]x. | ||
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Übertrage jeweils das Beispiel in dein Heft und bearbeite anschließend die LearningApp.|Üben}} | Übertrage jeweils das Beispiel in dein Heft und bearbeite anschließend die LearningApp.|Üben}} | ||
1. Beispiel: m ist eine positive ganze Zahl (also eine natürliche Zahl): | 1. Beispiel: m ist eine positive ganze Zahl (also eine natürliche Zahl): | ||
[[Datei:Steigungsdreieck m ganze Zahl (positiv).png|rahmenlos|600x600px]]<br> | |||
{{LearningApp| app =p4u99frac21|width =100%|heigth =600px}} | |||
| app =p4u99frac21 | |||
}} | |||
2. Beispiel: m ist eine negative ganze Zahl: | 2. Beispiel: m ist eine negative ganze Zahl: | ||
[[Datei:Steigungsdreieck m ganze Zahl (negativ).png|rahmenlos|500x500px]] | |||
{{LearningApp| app = p1e8uj53c21| width = 100%| heigth = 600px}} | |||
| app = p1e8uj53c21 | |||
| width = 100% | |||
| heigth = 600px | |||
}} | |||
3. Beispiel: m ist ein Bruch (positiv): | 3. Beispiel: m ist ein Bruch (positiv): | ||
[[Datei:Steigungsdreieck m Bruch (positiv).png|rahmenlos|500x500px]] | |||
[[Datei: | {{LearningApp| app = pyy290xt521| width = 100%| heigth = 600px}} | ||
| app = pyy290xt521 | |||
| width = 100% | |||
| heigth = 600px | |||
}} | |||
4. Beispiel: m ist ein Bruch (negativ): | 4. Beispiel: m ist ein Bruch (negativ): | ||
[[Datei:Steigungsdreieck m Bruch (negativ).png|rahmenlos|500x500px]] | |||
{{LearningApp| app = pqf5b16sj21| width = 100%| heigth = 600px}} | |||
<br /> | |||
| app = | {{Box|Übung 7|Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab.|Üben}} | ||
| width = 100% | {{LearningApp| app = p3f0yxqy321| width = 100%| height = 800px}} | ||
| | |||
}} | |||
{{Box|Übung 8|Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab. Verschiebe dazu den Punkt auf dem Graphen passend. | |||
Bearbeite je so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast. | Bearbeite je so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast. | ||
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradeablesen.php Level 1] | * [https://realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradeablesen.php Level 1] | ||
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/linearefunktion/punktaufg.php Level 2]|Üben | * [https://realmath.de/Neues/Klasse8/linearefunktion/punktaufg.php Level 2]|Üben}} | ||
}}{{Box|Übung 9 | |||
| 2 = Löse aus die folgenden Aufgaben aus dem Buch. Notiere wie folgt:<br> | {{Box|Übung 9| 2 = Löse aus die folgenden Aufgaben aus dem Buch. Notiere wie folgt:<br> | ||
g<sub>1</sub>: f(x) = ...<br> | g<sub>1</sub>: f(x) = ...<br> | ||
g<sub>2</sub>: f(x) = ...<br> | g<sub>2</sub>: f(x) = ...<br> | ||
* S. 126 Nr. 5 | * S. 126 Nr. 5 | ||
* S. 126 Nr. 6 | * S. 126 Nr. 6| 3 = Üben}} | ||
| 3 = Üben | |||
}}{{Lösung versteckt|Prüfe deine Lösungen anhand der eingezeichneten Steigungsdreiecke.<br>|Tipp: Steigungsdreiecke|Verbergen}}{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g1.png]]|Tipp zu g1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g2.png]]|Tipp zu g2|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g3.png]]|Tipp zu g3|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g4.png]]|Tipp zu g4|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 g5 Tipp.png]]|Tipp zu g5|Verbergen}}|Tipps zu S. 126 Nr. 5|Verbergen}}{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 g1.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 g2.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g2|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr.6 g3.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g3|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g4.png]]|Tipp zu g4|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g5.png]]|Tipp zu g5|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g6 und g7.png]]|Tipp zu g6 und g7|Verbergen}}|Tipps zu S. 126 Nr. 6|Verbergen}} | {{Lösung versteckt|Prüfe deine Lösungen anhand der eingezeichneten Steigungsdreiecke.<br>|Tipp: Steigungsdreiecke|Verbergen}}{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g1.png]]|Tipp zu g1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g2.png]]|Tipp zu g2|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g3.png]]|Tipp zu g3|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g4.png]]|Tipp zu g4|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 g5 Tipp.png]]|Tipp zu g5|Verbergen}}|Tipps zu S. 126 Nr. 5|Verbergen}}{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 g1.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 g2.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g2|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr.6 g3.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g3|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g4.png]]|Tipp zu g4|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g5.png]]|Tipp zu g5|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g6 und g7.png]]|Tipp zu g6 und g7|Verbergen}}|Tipps zu S. 126 Nr. 6|Verbergen}} | ||
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Ist die Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion gegeben, kannst du den Graphen (also eine Ursprungsgerade) mithilfe eines '''Steigungsdreiecks''' zeichnen. | Ist die Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion gegeben, kannst du den Graphen (also eine Ursprungsgerade) mithilfe eines '''Steigungsdreiecks''' zeichnen. | ||
Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei gegebener Steigung mit dem Steigungsdreieck den Graphen (Ursprungsgerade) einer proportionalen Funktion zeichnest. {{#ev:youtube|fGcJaqTueak|800|center}}{{Box|Übung 12|Zeichne die Ursprungsgerade zur Funktionsgleichung. Verschiebe dazu den Punkt P, so dass ein geeignetes Steigungsdreieck ensteht. | Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei gegebener Steigung mit dem Steigungsdreieck den Graphen (Ursprungsgerade) einer proportionalen Funktion zeichnest. {{#ev:youtube|fGcJaqTueak|800|center}} | ||
{{Box|Übung 12|Zeichne die Ursprungsgerade zur Funktionsgleichung. Verschiebe dazu den Punkt P, so dass ein geeignetes Steigungsdreieck ensteht. | |||
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradezeichnen.php Level 1] | * [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradezeichnen.php Level 1] | ||
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradezeichnenneu.php Level 2]|Üben | * [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradezeichnenneu.php Level 2]|Üben}} | ||
}}{{Box|Übung 13|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne höchstens 4 Geraden in ein Koordinatenkreuz. Wenn die Aufgabe mehr Graphen enthält, zeichne ein weiteres Koordinatenkreuz. | |||
{{Box|Übung 13|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne höchstens 4 Geraden in ein Koordinatenkreuz. Wenn die Aufgabe mehr Graphen enthält, zeichne ein weiteres Koordinatenkreuz. | |||
* S. 126 Nr. 2 | * S. 126 Nr. 2 | ||
* S. 126 Nr. 4 | * S. 126 Nr. 4 | ||
* S. 126 Nr. 3|Üben | * S. 126 Nr. 3|Üben}} | ||
}}{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|Gib die Funktionsgleichung bei GeoGebra ein und vergleiche den Verlauf des angezeigten Graphen mit deiner Zeichnung.|Tipp 1|Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|Gib die Funktionsgleichung bei GeoGebra ein und vergleiche den Verlauf des angezeigten Graphen mit deiner Zeichnung.|Tipp 1|Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|Tipp zum Zeichnen der Steigungsdreiecke, wenn m eine ganze Zahl ist(bei a,b und c): Gehe vom Ursprung aus 1 Schritt nach rechts und m Schritte nach oben (m positiv) bzw. nach unten (m negativ)|Tipp 2 zu a, b, c|Verbergen}} | {{Lösung versteckt|Tipp zum Zeichnen der Steigungsdreiecke, wenn m eine ganze Zahl ist(bei a,b und c): Gehe vom Ursprung aus 1 Schritt nach rechts und m Schritte nach oben (m positiv) bzw. nach unten (m negativ)|Tipp 2 zu a, b, c|Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke abc.png]]|Tipp 3 Steigungsdreiecke a,b,c|Verbergen}} | {{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke abc.png]]|Tipp 3 Steigungsdreiecke a,b,c|Verbergen}} | ||
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Der Graph ist eine Gerade.<br> | Der Graph ist eine Gerade.<br> | ||
Diese Gerade hat die Steigung m und schneidet die y-Achse im Punkt (0|b).<br> | Diese Gerade hat die Steigung m und schneidet die y-Achse im Punkt (0|b).<br> | ||
'''b''' ist der '''y-Achsenabschnitt'''. | '''b''' ist der '''y-Achsenabschnitt'''.| 3 = Arbeitsmethode}} | ||
| 3 = Arbeitsmethode | |||
}}{{Box|Übung 14|Lies in der nachfolgenden App jeweils den y-Achsenabschnitt b am Graphen bzw. in der Funktionsgleichung ab.|Üben | {{Box|Übung 14|Lies in der nachfolgenden App jeweils den y-Achsenabschnitt b am Graphen bzw. in der Funktionsgleichung ab.|Üben}} | ||
}}{{LearningApp | {{LearningApp| app = pfeqzdf8521| width = 100%| height = 600px}} | ||
| app = pfeqzdf8521 | |||
| width = 100% | |||
| height = 600px | |||
}} | |||
<br> | <br> | ||
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===Von der Geraden zu Funktionsgleichung=== | ===Von der Geraden zu Funktionsgleichung=== | ||
{{Box|Ablesen der Funktionsgleichung am Funktionsgraphen - Erklärung|Übe das Aufstellen der Funktionsgleichung einer linearen Funktion bei gegebenem Graphen. Bestimme dazu zunächst den y-Achsenabschnitte b und danach die Steigung m mithilfe des Steigungsdreiecks.|Kurzinfo | {{Box|Ablesen der Funktionsgleichung am Funktionsgraphen - Erklärung|Übe das Aufstellen der Funktionsgleichung einer linearen Funktion bei gegebenem Graphen. Bestimme dazu zunächst den y-Achsenabschnitte b und danach die Steigung m mithilfe des Steigungsdreiecks.|Kurzinfo}} | ||
}} | |||
[[Datei: | <div class="grid"><div class="width-1-2">Erklärvideo:{{#ev:youtube|D1ohhkkIUoM|460|center}}</div><div class="width-1-2">und noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|2j4V10V5Gnc|460|center}}</div></div>Und nun noch einmal übersichtlich als Bild: Beispiel 1 (leicht): m ist eine natürliche Zahl | ||
[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=2.png|rahmenlos|600x600px]] | |||
Beispiel 2 (mittel): m ist eine negative ganze Zahl | Beispiel 2 (mittel): m ist eine negative ganze Zahl | ||
[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=-1,5.png|rahmenlos|600x600px]] | |||
[[Datei: | Beispiel 3 (schwer): m ist ein Bruch | ||
[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=drei Fünftel.png|rahmenlos|600x600px]] | |||
{{Box|Übung 15: Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden|Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu. Wähle eine passende Schwierigkeit aus.|Üben}} | |||
<div class="grid"><div class="width-1-3">leicht (*){{LearningApp| app = phd8q7we221| width = 100%| height = 400px}} | |||
{{LearningApp| app = p2rwidw3t20| width = 100%| height = 400px}}</div> | |||
<div class="width-1-3">mittel (**){{LearningApp| app = popvxxk2v21| width = 100%| height = 400px}} | |||
{{LearningApp| app = pw8bbo2st20| width = 100%| height = 400px}}</div> | |||
<div class="width-1-3">schwer (***){{LearningApp| app = p5mxjgbpt21| width = 100%| height = 400px}} | |||
{{LearningApp| app = ppn4q2oe320| width = 100%| height = 400px}}</div> | |||
</div> | |||
{{Box|Übung 16|2=Gib auf der Seite realmath jeweils die Funktionsgleichung f(x) = mx + b an. Bestimme dazu m und b, wie oben beschrieben. | |||
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/linfkt/geradeablesen.php Übung: Funktionsgleichung ablesen]| 3 = Üben}} | |||
{{Box|Übung 17|Gib die Funktionsgleichung an, die zur Geraden gehört. Notiere deine Lösung übersichtlich im Heft. | |||
* S. 129 Nr. 2 | * S. 129 Nr. 2 | ||
* S. 129 Nr. 4 | * S. 129 Nr. 4 | ||
* S. 130 Nr. 6 | * S. 130 Nr. 6 | ||
* S. 130 Nr. 7|Üben | * S. 130 Nr. 7|Üben}} | ||
}}{{Lösung versteckt|Öffne das GeoGebra-Applet zu S. 129 Nr. 2 und verändere den Wert des Schiebereglers b.<br> | {{Lösung versteckt|Öffne das GeoGebra-Applet zu S. 129 Nr. 2 und verändere den Wert des Schiebereglers b.<br> | ||
https://www.geogebra.org/classic/fuuc9dcy|Tipp zu S. 129 Nr. 2|Verbergen}}{{Lösung versteckt|Öffne das GeoGebra-Applet zu S. 129 Nr. 4 und verändere den Wert des Schiebereglers m. Stelle m so ein, dass der Graph g1, g2,... entspricht. Die Funktionsgleichung wird dir angezeigt. | https://www.geogebra.org/classic/fuuc9dcy|Tipp zu S. 129 Nr. 2|Verbergen}}{{Lösung versteckt|Öffne das GeoGebra-Applet zu S. 129 Nr. 4 und verändere den Wert des Schiebereglers m. Stelle m so ein, dass der Graph g1, g2,... entspricht. Die Funktionsgleichung wird dir angezeigt. | ||
https://www.geogebra.org/classic/qfasm3eg|Tipp zu S. 129 Nr. 4|Verbergen}}{{Lösung versteckt|Für g1 ist das Vorgehen noch einmal in einem Bild gezeigt, für g2, g3, usw. stellen die Schieberegler des GeoGebra-Applets so ein, dass der entsprechende Graph dargestellt ist. Die Funktionsgleichung wird dir dann angezeigt.{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 130 Nr. 6 Tipp zu g1.png]]|Tipp zu g1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|https://www.geogebra.org/classic/w8n4uabh|GeoGebra-Applet zu Nr. 6|Verbergen}}|Tipps zu S. 130 Nr. 6|Verbergen}}{{Lösung versteckt|Nutze auch hier das GeoGebra-Applet, um die Graphen nachzustellen und die Funktionsgleichung abzulesen | https://www.geogebra.org/classic/qfasm3eg|Tipp zu S. 129 Nr. 4|Verbergen}}{{Lösung versteckt|Für g1 ist das Vorgehen noch einmal in einem Bild gezeigt, für g2, g3, usw. stellen die Schieberegler des GeoGebra-Applets so ein, dass der entsprechende Graph dargestellt ist. Die Funktionsgleichung wird dir dann angezeigt.{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 130 Nr. 6 Tipp zu g1.png]]|Tipp zu g1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|https://www.geogebra.org/classic/w8n4uabh|GeoGebra-Applet zu Nr. 6|Verbergen}}|Tipps zu S. 130 Nr. 6|Verbergen}}{{Lösung versteckt|Nutze auch hier das GeoGebra-Applet, um die Graphen nachzustellen und die Funktionsgleichung abzulesen | ||
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===Von der Funktionsgleichung zur Geraden=== | ===Von der Funktionsgleichung zur Geraden=== | ||
{{Box|Und nun umgekehrt...|Zeichne zu einer Funktionsgleichung den Graphen.|Kurzinfo | {{Box|Und nun umgekehrt...|Zeichne zu einer Funktionsgleichung den Graphen.|Kurzinfo}} | ||
}}Dabei gehst du ähnlich vor, wie beim Bestimmen der Funktionsgleichung. | Dabei gehst du ähnlich vor, wie beim Bestimmen der Funktionsgleichung. | ||
1. Schritt: Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein: P(0|b) | 1. Schritt: Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein: P(0|b) |
Version vom 2. Mai 2022, 13:09 Uhr
Wertetabelle und Funktionsgraph
Berechne den y-Wert der Funktion, indem du den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt.
Beispiel Bootsverleih: y = 2x + 5
Für x = 1 gilt: y = 2· 1 + 5
= 7
Für x = 2 gilt: y = 2· 2 + 5
= 9
Übertrage die Werte in die Wertetabelle:
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ... |
y | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | ... |
Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:
Applet von Hans Scharrer, jkreitner
Lege jeweils eine Wertetabelle an und zeichne den Graphen der Funktion. Zeichne a,b und c in ein Koordinatenkreuz und b, d und e in ein zweites Koordinatenkreuz. Nutze verschiedene Farben.
a) y = x
b) y = 2x
c) y = 0,5x
d) y = 2x + 1
e) y = 2x - 3
Fällt dir etwas auf?
Aufgabe | x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
a) | y=x | |||||||
b) | y=2x | |||||||
c) | y=0,5x | |||||||
d) | y=2x+1 | |||||||
e) | y=2x-3 |
Funktionsgleichung und Funktionsgraph
f(x) = mx + b Bedeutung von m und b für den Funktionsgraphen
Damit du einen Eindruck von der Bedeutung der Parameter m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x) = mx + b erhältst, verändere in der folgenden Animation mithilfe der Schieberegler die Größe von m und b. Notiere deine Beobachtungen stichpunktartig.
Nun schauen wir uns die Steigung m genauer an. Dazu wählen wir den y-Achsenabschnitt b = 0, die Gerade geht also durch den Ursprung (0|0).
Erinnerung: Diese Funktionen heißen "proportionale Funktionen", da ihr Graph eine Ursprungsgerade ist.
Die Steigung m
Wir unterscheiden steigende und fallende Geraden. Eine Gerade "steigt", wenn bei steigenden x-Werten auch die y-Werte steigen. Für die Steigung m gilt also:
Ist m > 0, steigt die Funktion.
Ist m < 0, fällt die Funktion.Anschaulich vorstellen kannst du dir, dass die Funktion steigt, wenn der Wanderer den Berg hochsteigen muss.
Fällt die Funktion, "fällt" der Wanderer bergab.
Um zu unterscheiden, ob eine Gerade steil oder flach verläuft (steigt oder fällt), beobachte in der nächsten Simulation den Maulwurf, der seinen Maulwurfshügel hinaufklettert.
Wenn die Steigung m steil ist, muss der Maulwurf sehr mutig sein! Fülle den nachfolgenden Lückentext aus und übertrage ihn in dein Heft:
Die Steigung m einer proportionalen (linearen) Funktion f(x) = mx bestimmt den Verlauf der Geraden:
Für steigt die Gerade und für fällt die Gerade.
Die Gerade steigt flach für und steil für .
Die Gerade fällt flach für und steil für .
m < 0m > 0m > 10< m < 1m < -1-1 < m < 0
Teste dein Wissen mit einem Kahoot (im Unterricht).
Das Steigungsdreieck
Untersuche mithilfe der Animation in GeoGebra die Steigung von Geraden. Du kannst mit den Schiebereglern m verändern. Außerdem kannst du das Steigungsdreieck durch Verschieben der Punkte A und B verändern. Beobachte, was geschieht. Probiere aus.
Beobachtung: Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Dazu zeichnen wir von einem beliebigen Punkt auf der Geraden ein Dreieck zu einem anderen Punkt auf der Geraden, bei dem die eine Seite parallel zur x-Achse liegt und die andere parallel zur y-Achse. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.
Egal, wie das Steigungsdreieck gezeichnet wird, der Quotient aus bleibt immer gleich, dies ist die Steigung m.
Originallink zum Applet: https://www.geogebra.org/m/gjbxvqr5
Du kannst das jeweilige Steigungsdreieck einblenden lassen. Verschiebe das Steigungsdreieck durch Verschieben der angezeigten Punkte. Diskutiere deine Beobachtungen mit deinem Partner/deiner Partnerin.
Applet von Buß-Haskert
Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgabe
- 15
Die Steigung m eines Graphen ablesen
Ist der Graph einer linearen Funktion gegeben (also eine Gerade im Koordinatensystem), kannst du die Steigung m mithilfe eines Steigungsdreiecks bestimmen.
Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei einem gegebenen Graphen ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst.
Die Bilder zeigen dir noch einmal, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst.
1. Beispiel: m ist eine positive ganze Zahl (also eine natürliche Zahl):
2. Beispiel: m ist eine negative ganze Zahl:
3. Beispiel: m ist ein Bruch (positiv):
4. Beispiel: m ist ein Bruch (negativ):
Löse aus die folgenden Aufgaben aus dem Buch. Notiere wie folgt:
g1: f(x) = ...
g2: f(x) = ...
- S. 126 Nr. 5
- S. 126 Nr. 6
Teste dein Wissen mit einem Kahoot (im Unterricht).
- 1. Thomas fährt mit seinem Fahrrad in einer Sekunde durchschnittlich 5 m.
- 2. Die Eintrittskarte für einen Kletterpark kostet pro Person 13 €.
- 3. Das Fitness-Training kostet für eine halbe Stunde 3,50 €.
- 4. Erfinde selbst ein Beispiel.
x | 1 | 2 | 3 | ... |
y-Strecke | 5 | 10 | ... | |
y-Eintrittskosten | 13 | ... | ||
y-Trainingskosten | ... |
Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.
- S. 127 Nr. 10
- S. 127 Nr. 11
- S. 127 Nr. 12
Den Graphen zeichnen mit einem Steigungsdreieck
Ist die Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion gegeben, kannst du den Graphen (also eine Ursprungsgerade) mithilfe eines Steigungsdreiecks zeichnen.
Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei gegebener Steigung mit dem Steigungsdreieck den Graphen (Ursprungsgerade) einer proportionalen Funktion zeichnest.
Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne höchstens 4 Geraden in ein Koordinatenkreuz. Wenn die Aufgabe mehr Graphen enthält, zeichne ein weiteres Koordinatenkreuz.
- S. 126 Nr. 2
- S. 126 Nr. 4
- S. 126 Nr. 3
Zusammenfassung: Schau dazu das nachfolgende Video zu Steigungsdreiecken an:
Der y-Achsenabschnitt b
Lineare Funktionen: f(x) = m·x + b
Nachdem wir uns ausführlich mit der Bedeutung von m, also der Steigung einer linearen Funktion beschäftigt haben, schau noch einmal im Applet, welche Bedeutung der Parameter b für den Graphen der Funktion hat.
Eine Funktion mit der Gleichung f(x) = m·x + b ist eine lineare Funktion.
Der Graph ist eine Gerade.
Diese Gerade hat die Steigung m und schneidet die y-Achse im Punkt (0|b).
Im Weiteren betrachten wir lineare Funktionen f(x) = mx + b.
Auch hier lernst du, wie du anhand eines Graphen die Funktionsgleichung bestimmst bzw. wie zu einer Funktionsgleichung eine passende Gerade zeichnen kannst.
Von der Geraden zu Funktionsgleichung
Und nun noch einmal übersichtlich als Bild: Beispiel 1 (leicht): m ist eine natürliche Zahl
Beispiel 2 (mittel): m ist eine negative ganze Zahl
Beispiel 3 (schwer): m ist ein Bruch
Gib auf der Seite realmath jeweils die Funktionsgleichung f(x) = mx + b an. Bestimme dazu m und b, wie oben beschrieben.
Gib die Funktionsgleichung an, die zur Geraden gehört. Notiere deine Lösung übersichtlich im Heft.
- S. 129 Nr. 2
- S. 129 Nr. 4
- S. 130 Nr. 6
- S. 130 Nr. 7
Von der Funktionsgleichung zur Geraden
Dabei gehst du ähnlich vor, wie beim Bestimmen der Funktionsgleichung.
1. Schritt: Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein: P(0|b)
2. Schritt: Zeichne das Steigungsdreieck ein. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten).
3. Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte.
Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = x - 1.
Übertrage das Beispiel mit den Anmerkungen in dein Heft! Die Videos zeigen das Vorgehen noch einmal:
Applet von Wolfgang Wengler
Bearbeite die Aufgaben aus dem Buch.
- S. 129 Nr. 5 (immer 4 Geraden in ein Koordinatenkreuz)
- S. 130 Nr. 8 (Beachte die Alternative zur Partnerarbeit).